20.2.3 二次根式的除法（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的定义、双重非负性、积的算术平方根、除法法则及最简二次根式等核心知识。通过正方形花坛边长、直角三角形斜边等生活实例导入，引出√8、√34等式子，衔接算术平方根知识，搭建学习支架。 这份资料以“观察—猜想—归纳—应用”为主线，通过算式对比推导乘除公式，培养学生推理意识，分层练习结合易错点辨析提升运算能力，情境导入体现数学应用意识。助力学生构建知识体系，教师可高效突破重难点，提升教学质量。

3.二次根式的除法20.1 认识二次根式 教学设计 一、教材分析 《认识二次根式》是八年级下册二次根式章节的开篇内容，是学生在掌握平方根、算术平方根知识基础上的延伸拓展。二次根式是初中数学重要的代数式形式，不仅是后续学习二次根式化简、运算的基础，也是勾股定理、一元二次方程、二次函数等知识的重要铺垫，在初中数学知识体系中起到承上启下的关键作用。本节课通过具象实例抽象数学概念，培养学生的符号意识与数学抽象思维，帮助学生建立代数式学习的系统思维。 二、学情分析 八年级学生已经熟练掌握有理数、算术平方根的概念与计算方法，具备一定的观察、归纳和简单推理能力。但学生对“含字母的代数式取值范围”“式子的双重属性”理解较为薄弱，难以快速理解二次根式的双重非负性。同时，学生容易混淆平方根与二次根式的概念，在判断二次根式、确定字母取值范围时容易出错，需要通过实例辨析、分层练习突破难点。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式的定义，熟记二次根式的表示形式，能准确判断一个式子是否为二次根式；掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解二次根式中字母的取值范围，理解二次根式的双重非负性。 2. 过程与方法：通过情境探究、实例观察、小组讨论，经历二次根式概念的形成过程，提升抽象概括、逻辑推理和归纳总结的数学能力。 3. 情感态度与价值观：感受二次根式在实际生活中的应用，体会数学源于生活、用于生活，激发数学学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯。 四、教学重难点 重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件。 难点：理解二次根式的双重非负性，并能运用其解决简单的求值、取值问题。 五、教学准备 多媒体课件、课堂练习题单、几何图形教具 六、教学过程 （一）情境导入，激趣设疑（5分钟） 课件展示生活实例：1. 已知正方形花坛面积为8平方米，求花坛边长；2. 直角三角形两条直角边分别为3和5，求斜边长度。引导学生列式，得到√8、√34等式子。 提问学生：这些式子有什么共同特征？和之前学的算术平方根有什么联系？通过问题引发学生思考，引出本节课课题——认识二次根式，让学生感知二次根式的实际应用价值。 （二）探究新知，构建概念（20分钟） 1. 归纳二次根式定义：结合导入实例，回顾算术平方根的定义，引导学生观察总结：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中“√”是二次根号，a是被开方数。教师强调核心要点：二次根式必须含有二次根号，且被开方数必须是非负数。 2. 概念辨析练习：出示√5、√(-2)、√x（x<0）、³√4等式子，让学生判断是否为二次根式，通过对比辨析，明确二次根式的两大判定条件，规避易错点。 3. 探究双重非负性：教师引导学生思考，√a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，由此推导双重非负性：一是被开方数a≥0，二是二次根式的值√a≥0。结合实例讲解，让学生理解这一性质的本质，为后续解题奠定基础。 4. 求解字母取值范围：结合例题讲解：求√(x-3)中x的取值范围。总结解题方法：二次根式有意义，只需保证被开方数为非负数，列不等式求解即可。拓展简单综合题型，巩固解题思路。 （三）巩固练习，学以致用（12分钟） 设计分层练习题：基础题，判断各式是否为二次根式、求简单二次根式中字母的取值范围；提升题，利用二次根式非负性求解简单代数式的值。学生独立完成后，小组互评，教师针对共性错误集中讲解，查漏补缺，强化重难点知识。 （四）课堂小结，梳理知识（5分钟） 引导学生自主梳理本节课知识点：二次根式的定义、判定条件、双重非负性、字母取值范围的求解方法。教师补充总结，构建完整的知识框架，帮助学生内化知识。 （五）积的算术平方根（15分钟） 1. 公式探究推导：在学生掌握二次根式定义与非负性的基础上，开展新知探究。教师出示两组算式：①$$\sqrt{4\times9}$$与$$\sqrt{4}\times\sqrt{9}$$；②$$\sqrt{25\times16}$$与$$\sqrt{25}\times\sqrt{16}$$。让学生分组计算结果，对比每组式子的数值关系，自主发现规律。引导学生结合二次根式有意义的条件，归纳得出积的算术平方根性质：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}（a\geq0，b\geq0）$$。 2. 公式核心解读：教师重点强调公式成立的前提条件，a、b必须均为非负数，这是学生最易出错的关键点。明确公式含义：两个非负数乘积的算术平方根，等于这两个数算术平方根的积。同时讲解公式的逆用，即$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a\geq0，b\geq0）$$，可用于二次根式的化简与简单运算，为后续根式运算奠定基础。 3. 例题精讲示范：结合基础例题规范解题步骤，例1：化简$$\sqrt{16\times81}$$；例2：化简$$\sqrt{4x^2y}（x\geq0，y\geq0）$$。讲解过程中，引导学生优先将被开方数拆分为完全平方数与其他数的乘积，再利用积的算术平方根公式拆解计算，逐步简化式子，培养学生规范解题的习惯。 4. 易错点辨析：出示易错题型$$\sqrt{(-4)\times(-9)}$$，让学生判断能否直接套用公式。通过辨析明确：公式中a、b必须非负，负数不能直接开方，需先将式子转化为$$\sqrt{4\times9}$$，再利用公式化简，彻底规避学生直接套用公式的常见错误。 （六）巩固练习，学以致用（12分钟） 优化分层练习题，新增积的算术平方根专项练习。基础题：利用公式化简简单二次根式，巩固公式应用；提升题：结合字母取值范围，化简含字母的根式式子；拓展题：综合运用二次根式非负性与积的算术平方根性质解题。学生独立完成后小组核对答案，教师针对公式误用、忽略取值条件等共性问题集中讲解。 （七）课堂小结，梳理知识（5分钟） 引导学生完整梳理本节课知识：二次根式的定义、判定条件、双重非负性、字母取值范围求解方法，重点回顾积的算术平方根公式、成立条件及正反双向应用。教师整合知识脉络，串联前后知识点，帮助学生构建完整的二次根式基础知识体系。 （八）布置作业（3分钟） 1. 基础作业：完成课后二次根式化简习题，重点巩固积的算术平方根公式应用；2. 拓展作业：整理本节课公式易错点，自主编写2道积的算术平方根化简习题并解答。 （九）二次根式的除法（15分钟） 1. 公式探究推导 在学生掌握二次根式定义、非负性及积的算术平方根性质基础上，开展除法法则探究。教师出示两组计算题，让学生分组口算、对比结果：①$$\sqrt{\dfrac{36}{4}}$$与$$\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}$$；②$$\sqrt{\dfrac{100}{25}}$$与$$\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{25}}$$。学生通过计算发现两组式子结果完全相等，顺势引导学生归纳二次根式的除法法则：$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}（a\geq0，b>0）$$。 教师着重对比积的算术平方根条件，强调除法公式的特殊限制：被开方数分子$$a\geq0$$，分母$$b$$必须大于0，不能等于0，避免分母为0无意义，这是除法法则与乘法性质最核心的区别。 2. 公式双向应用与最简二次根式 讲解公式正用与逆用：正用可以将分式形式的被开方数拆分为两个根式相除；逆用$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}（a\geq0，b>0）$$，可用于合并根式、简化运算。同时引入最简二次根式初步概念：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，为后续根式化简标准建立依据。 3. 例题精讲与规范步骤 设置梯度例题，规范解题格式。例1：基础化简 $$\sqrt{\dfrac{64}{121}}$$；例2：含字母化简 $$\sqrt{\dfrac{9x}{16y^2}}（x\geq0，y>0）$$；例3：根式除法运算 $$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$$。讲解中明确解题步骤：先判断字母取值是否符合公式条件，再利用除法法则拆分或合并，最后化简至最简二次根式。 4. 易错点专项辨析 梳理学生高频错误：一是忽略分母$$b>0$$的条件，出现分母为0的错误；二是直接对负数分式开方；三是化简不彻底，残留可开方因数。通过错题展示$$\sqrt{\dfrac{-4}{9}}$$、$$\sqrt{\dfrac{4}{0}}$$，让学生自主判断对错，明确：负数分式无意义、分母不能为0，彻底规避解题误区。 （十）巩固练习，学以致用（12分钟） 整合全课分层练习，新增二次根式除法专项训练。基础题：利用除法公式化简数值、字母型二次根式；提升题：混合运用积的算术平方根与除法法则综合化简；拓展题：结合二次根式有意义条件，判断除法式子的取值范围。学生独立完成后小组互评，教师针对公式条件混淆、化简不彻底等共性问题集中讲评，夯实新知。 （十一）课堂小结，梳理知识（5分钟） 引导学生系统梳理全课知识：回顾二次根式定义、双重非负性、字母取值范围求解；重点总结积的算术平方根、二次根式除法两大性质，对比记忆乘法与除法公式的成立条件，区分异同；熟记最简二次根式的基本要求，梳理公式正逆用的解题场景，形成完整的二次根式基础运算知识体系。 （十二）布置作业（3分钟） 1. 基础作业：完成教材对应课后习题，熟练掌握二次根式乘除化简运算；2. 拓展作业：对比整理二次根式乘法、除法公式的区别与易错点，整理错题笔记。 七、板书设计 20.1 认识二次根式 1. 定义：形如√a（a≥0）的式子 2. 判定条件：含二次根号、被开方数非负 3. 双重非负性：a≥0，√a≥0 4. 运算性质：积的算术平方根$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}（a\geq0，b\geq0）$$ 5. 二次根式除法$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}（a\geq0，b>0）$$ 6. 核心要求：化简为最简二次根式 八、教学反思 本节课围绕二次根式基础概念、双重非负性、积的算术平方根、二次根式除法层层展开，遵循“观察—猜想—归纳—应用”的数学探究流程，贴合八年级学生认知特点。课堂通过算式对比推导公式、错题辨析突破易错点，搭配分层练习落实基础，多数学生能够掌握二次根式的判定、取值求解及基础乘除化简运算。但教学中发现，学生容易混淆乘除公式的取值条件，尤其忽略除法公式中分母大于0的要求，同时部分学生化简式子不彻底，对最简二次根式的把握不够精准。后续教学中，可增加乘除公式对比专项练习，强化条件记忆，通过典型错题精讲、规范解题步骤，提升学生运算的准确性与严谨性，同时适当增加综合性习题，锻炼学生的知识整合与灵活运用能力。 1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 计算下列各题，观察有什么规律？ (1)＝________；＝________． (2)＝________；＝________． ________；________. 二、合作探究 探究点一：二次根式的除法 【类型一】 二次根式的除法运算 计算： (1)；(2)－÷； (3)；(4)÷. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分． 解：(1)＝＝＝2； (2)－÷＝－＝－＝－＝－3； (3)＝＝； (4)÷＝－÷5＝－××＝－×＝－. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简． 【类型二】 二次根式的乘除混合运算 计算： (1)9÷3×； (2)a2··b÷. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×××＝18； (2)原式＝a2·b·＝. 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 探究点二：商的算术平方根的性质 【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围 若＝，则a的取值范围是(　　) A．a＜2 B．a≤2 C．0≤a＜2 D．a≥0 解析：根据题意得解得0≤a＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式 化简： (1)；　　(2)(a＞0，b＞0，c＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)＝＝＝； (2)＝＝. 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式． 探究点三：最简二次根式 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)＝3，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2)＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； (4)＝＝，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)＝＝，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 探究点四：二次根式除法的综合运用 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)? 解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数． 解：∵T＝2π≈1.42，＝≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声． 方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一． 三、板书设计 1．二次根式的除法运算 2．商的算术平方根 3．最简二次根式 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展． 学科网（北京）股份有限公司 $