湖南省邵阳市2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷3（湘教版）

**基本信息** 八年级下学期期末模拟卷，以核心素养为导向，融合几何直观与数据意识，通过浮箭漏计时函数建模、矩形折叠动态问题等，梯度覆盖基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|多边形内角和、一次函数性质、四分位数|结合鹤壁马拉松行程图像分析，考查几何直观| |填空题|6/18|菱形性质、正方形顶点规律、动态几何最值|以正方形中心对称规律探究，培养抽象能力| |解答题|8/72|平行四边形证明、统计图表分析、新定义“衍生点”|浮箭漏实验函数建模，体现数学语言表达现实世界；折叠操作探究，发展推理意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为，由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意知，， 解得，， ∴这个多边形的边数为9． 2．在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 【答案】B 【分析】掌握“左减右加，上加下减”的平移规则是解题关键，先根据平移规则得到平移后点的坐标，再结合平移后的点与原点重合列方程求出的值，最后计算即可． 【详解】解：点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为， ∵平移后该点与原点重合，原点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 3．若将一组数据中的每个数都减，则所得的这组新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变 【答案】D 【分析】先按要求写出新数据，再分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，对比即可得出结论． 【详解】解：原数据为，每个数减后得到的新数据为， A、，，，选项说法错误； B、原数据排序，中位数为，新数据排序，中位数为，，选项说法错误； C、原数据的众数为，新数据众数为，，选项说法错误； D、原数据方差为，新数据方差为 ，，方差不变，选项说法正确． 4．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 5．我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据函数图象，对四个选项逐一分析，作出判断即可． 【详解】解：根据函数图象提供的信息逐项分析判断如下： 起跑后1小时内，乙已经超过甲，故①错误； 在1小时的时候乙跑了10千米，甲不到10千米，故②错误； 在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先到达终点，故③正确； 甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了21.0975公里，故④正确； 综上所述：正确的有③④． 6．如图，是的中线，点E是边的中点，连接．若，则的长为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由中线的定义可知点D是的中点，易得是的中位线，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴D是的中点， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 7．已知一次函数，则下列选项正确的是（     ） A．函数图象经过 B．随的增大而减少 C．直线平行于直线 D．函数图象在第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 8．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质、30度角的性质及勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律进行求解，平移过程中一次项系数保持不变，仅常数项发生变化即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，得到的函数解析式为，即． 12．已知n边形的内角和为，则n的值是______． 【答案】 【分析】边形的内角和公式为． 【详解】解：根据题意得， 解得． 13．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 【答案】8 【分析】根据第5组的百分比和数据总数可求出第5组的频数，再利用总频数减去第1、2、3、4、5组的频数之和即可求出答案． 【详解】解：∵这组数据共个，第5组所占的百分比为， ∴第5组的频数为：（个） 则第6组数据有：（个）． 14．如图，在菱形中，对角线，则__________． 【答案】9 【分析】根据菱形的对角线互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∴． 15．如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【答案】 【分析】观察图形及题干描述可知，正方形的顶点坐标变化具有规律性，每4个顶点为一个循环组，分别位于第三、二、一、四象限．根据除以的商和余数，确定点所在的象限以及所属正方形的序号，结合正方形边长规律即可求解． 【详解】解：由题意可知，正方形的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，每个正方形有个顶点，从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次排列， ∵第个正方形的边长为， ∴正方形顶点到坐标轴的距离均为， ∵， ∴点位于第个正方形，且是该正方形的第个顶点，该点位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， ∵第个正方形的顶点坐标绝对值为 ∴点的坐标为． 16．如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识.解题的关键是作辅助线构造直角三角形，将转化为，从而将的最小值转化为线段的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， 在中，，， ， ， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ； ， 为的中点， ，，， ， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ， 当，，三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平面直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ， 点的坐标为； （2）解：直线轴，点的坐标为，点的坐标为， 则有点的纵坐标与点的纵坐标相等， ，解得， ， 点的坐标为． 线段的长为． 18．（6分）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点C在该一次函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将代入，根据计算得到的y值与的纵坐标是否相等进行判断． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 将点和点代入，得：， 解得， 故该一次函数的解析式为； （2）解：点C在该一次函数的图象上．理由如下： 将代入，得： ∵计算得到的y值与的纵坐标相等， 点C在该一次函数的图象上． 19．（8分）如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 20．（8分）为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据调查信息，回答下列问题： (1)_____； (2)设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图； (3)在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____； (4)若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数． 【答案】(1)480 (2)120；见解析 (3)120，96 (4)估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人 【分析】（1）由条形统计图，可知选A类课程有人，由扇形统计图可知选A类课程占了名学生的，即可求； （2）把随机抽取的总人数减去选课程A、B、D、E的人数即可得出选C课程的人数； （3）根据众数和中位数的定义即可获得答案； （4）先算出选D课程的人数占随机抽取的人数的百分比，再把2400乘以这个百分比即可解决． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，条形图补充如下： （3）120出现次数最多，所以众数为120， 排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96 （4）， 答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人． 21．（10分）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 【答案】(1) (2)晚上八点半 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，代入数值求出，即可得到答案； （2）当时，，解得，上午9：30过了11个小时后是晚上8：30，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为， 由题意可得， 解得， ； （2）解：当时，， 上午9：30过了11个小时后是晚上8：30， 当箭尺读数为72厘米时是晚上八点半． 22．（10分）如图，在中，点、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若的周长为80，矩形的面积为120，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 、、分别是、、的中点， 、、是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形， (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是矩形， （2）设，根据勾股定理以及矩形的性质可得，根据已知得出①，②，进而求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 设， ∴ 依题意，①，② 由②得 ∴ 代入得， ∴即． 23．（12分）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标中，点． (1)点C，D，E中，点O关于线段的衍生点是______； (2)将点O关于线段的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线上存在点O关于四边形的衍生点，求b的取值范围． 【答案】(1)E (2)①；② 【分析】（1）根据衍生点的定义解答； （2）①因为平行四边形的面积最大时，称点T是点O关于线段的最佳衍生点，画图直接得出答案； ②利用两个边界点确定两个b的值，将衍生点代入直线中可得，衍生点代入直线中可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点C，D，E中， （2）解：①如图，点O关于线段的最佳衍生点记为点T，即四边形的面积最大，则点； （2）将直线上存在点O关于四边形的衍生点记为点H， ∵点A，B，T，C的坐标为， ∴四边形是正方形， ∵正方形及其内部的任意点K（除顶点A，B，T，C外），总能够在正方形及其内部找到两点M，N，使点K作为点M，N的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形的性质可知，点O，H的中点也为点K， ∴可能所有的点H组成正方形（顶点除外）， 如图所示，将它记为图形G， 依题意，只需直线与图形G有公共点即可， 当直线过点时，； 当直线过点时，， 所以． 24．（12分）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 【答案】(1)①30；② (2)15， (3)或 【分析】（1）①根据折叠的性质，得，取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果； ②由，得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得； （2）根据折叠的性质，可证即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处， 如图1，取的中点，连接， 为等边三角形， 故答案为：30； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， 由折叠性质得：， 同法（1）可得：， 在中，， 根据勾股定理：， ， 即， 解得(负值舍去)， 在中，， 根据勾股定理：，即， 故答案为：； （3）解：当点在点的下方时，如图3.1， ， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 当点在点的上方时，如图3.2， 由(2)可知，， 设， 即， 解得， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，恰好与原点重合，则的值为（     ） A．1 B．-1 C．3 D． 3．若将一组数据中的每个数都减，则所得的这组新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变 4．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 5．我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 6．如图，是的中线，点E是边的中点，连接．若，则的长为（     ） A．3 B． C．4 D． 7．已知一次函数，则下列选项正确的是（     ） A．函数图象经过 B．随的增大而减少 C．直线平行于直线 D．函数图象在第一、三、四象限 8．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为______． 12．已知n边形的内角和为，则n的值是______． 13．一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 14．如图，在菱形中，对角线，则__________． 15．如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 16．如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 18．（6分）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由． 19．（8分）如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 20．（8分）为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据调查信息，回答下列问题： (1)_____； (2)设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图； (3)在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____； (4)若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数． 21．（10分）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间/时 0 2 4 6 8 箭尺读数/厘米 6 18 30 42 54 (1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出与之间的函数表达式． (2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米） 22．（10分）如图，在中，点、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若的周长为80，矩形的面积为120，求的长． 23．（12分）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标中，点． (1)点C，D，E中，点O关于线段的衍生点是______； (2)将点O关于线段的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线上存在点O关于四边形的衍生点，求b的取值范围． 24．（12分）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下： (1)【操作发现】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，． 根据以上操作，当点在上时： ①则图1中_____°； ②若，，则_____． (2)【迁移探究】 如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____； (3)【拓展应用】 如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $