专题26.3二次函数与一元二次方程 （重难点突破+过关检测）九年级数学人教版

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.3 二次函数与一元二次方程 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 求抛物线与坐标轴的交点个数、坐标 题型2 根据交点情况求参数 题型3 列交点式求解析式 题型4 图象法求解一元二次不等式 题型5数形结合法 · 理解二次函数y=ax²+bx+c、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系。 · 掌握抛物线与 x 轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系： · △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点，方程有两个不相等实数根； · △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴），方程有两个相等实数根； · △<0：抛物线与 x 轴无交点，方程无实数根。 · 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根。 · 能根据函数值正负求解简单一元二次不等式。 · 已知抛物线与坐标轴交点，会求函数解析式、参数取值。 知识点讲解 1. 抛物线与坐标轴的交点 （1）抛物线与y轴交点——（0，c） （2）抛物线与x轴交点 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 (a>0) 一元二次方程 =0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次不等式 >0 图像在x轴上方的部分 x< 图像在x轴上方的部分 x 图像在x轴上方的部分 x为任意数 一元二次不等式 <0 图像在x轴下方的部分 空集 空集 3. 二次函数的交点式—— 题型归纳 题型1 抛物线与坐标轴的交点情况 【例1】探究下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2 x2＋x－3 （2） y = 4 x2 －4x +1 （3） y = x2 – x+ 1 【例2】已知抛物线． (1)指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴及y轴的交点坐标． 【例3】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【变式练习】 1．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 2．抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），则点B的横坐标为__________ 3．二次函数的图象与x轴的交点坐标是________． 4．若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为____________． 5．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 题型2 根据交点情况求参数 【例1】已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标. 【例3】已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 【变式练习】 1．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 2．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 __________________ ． 4．已知抛物线经过点，请你解答下列问题： (1)求m的值和抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是______． 5．已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 6．已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 题型3 根据交点式求解析式 【例1】已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【变式练习】 1．已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 2．如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)分别求点A，D的坐标和抛物线的对称轴． 3．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 题型4 图象法解一元二次不等式 【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【例2】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例3】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式练习】 1．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 3．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 4．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 5．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 题型5 数形结合法解决问题 【例1】如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点，点和点，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． （1）二次函数的解析式为________________； （2）当自变量x___________________时，两函数的函数值都随x增大而减小； （3）当自变量x___________时，一次函数值大于二次函数值． 【例2】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【变式练习】 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 2．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点作轴的平行线交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； 过关练习 一、单选题 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 2．如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．已知抛物线，则下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标 D．与y轴交点坐标为 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 7．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 8．已知二次函数 与x轴相较于和，对称轴为则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，y 随 x 的增大而减小 C． D．方程 的两根是 9．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 12．若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 13．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 15．二次函数的图象如图，当时，则x的取值范围为_____． 16．抛物线与轴的交点坐标为______． 17．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 18．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 三、解答题 19．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数图象的解析式． (2)试判断点是否在该二次函数图像上，并说明理由． 20．如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 21．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 22．如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点在轴上，点是抛物线和轴的交点，点是直线和轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和点坐标； (2)连接、、三点，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 23．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 24．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 25．已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题26.3 二次函数与一元二次方程 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 求抛物线与坐标轴的交点个数、坐标 题型2 根据交点情况求参数 题型3 列交点式求解析式 题型4 图象法求解一元二次不等式 题型5数形结合法 · 理解二次函数y=ax²+bx+c、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的内在联系。 · 掌握抛物线与 x 轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系： · △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点，方程有两个不相等实数根； · △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴），方程有两个相等实数根； · △<0：抛物线与 x 轴无交点，方程无实数根。 · 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根。 · 能根据函数值正负求解简单一元二次不等式。 · 已知抛物线与坐标轴交点，会求函数解析式、参数取值。 知识点讲解 1. 抛物线与坐标轴的交点 （1）抛物线与y轴交点——（0，c） （2）抛物线与x轴交点 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 2. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 (a>0) 一元二次方程 =0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次不等式 >0 图像在x轴上方的部分 x< 图像在x轴上方的部分 x 图像在x轴上方的部分 x为任意数 一元二次不等式 <0 图像在x轴下方的部分 空集 空集 3. 二次函数的交点式—— 题型归纳 题型1 抛物线与坐标轴的交点情况 【例1】探究下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2 x2＋x－3 （2） y = 4 x2 －4x +1 （3） y = x2 – x+ 1 【详解】令 y= 0，解一元二次方程的根 （1） y = 2 x2＋x－3 解：当 y = 0 时，2 x2＋x－3 = 0 ∵△=13>0 ∴x 1 = ，x 2 = 1 所以与 x 轴有交点，有两个交点(，0),(1，0)。 （2） y = 4 x2 －4x +1 解：当 y = 0 时，4 x2 －4x +1 = 0 ∵△=0， ∴x 1 = x 2 = ， 所以与 x 轴有一个交点（）。 （3） y = x2 – x+ 1 解：当 y = 0 时 x2 – x+ 1 = 0 因为△=（-1）－4×1×1 = －3 < 0 所以与 x 轴没有交点。 【例2】已知抛物线． (1)指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴； (2)求抛物线与x轴及y轴的交点坐标． 【详解】（1）解： 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得：，． 抛物线与轴的交点坐标为，； 令，则， 抛物线与y轴的交点坐标为． 【例3】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式练习】 1．关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（   ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【详解】解：令，则， 解得， 即二次函数的图象与轴交点为和， 二次函数的图象与轴交点个数的情况是有两个交点， 故选：B． 2．抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），则点B的横坐标为__________ 【详解】解：令，得，即， 解得或 由于点A在点B的左侧，因此点A的横坐标为，点B的横坐标为3， 故答案为：3． 3．二次函数的图象与x轴的交点坐标是________． 【详解】解：由题意，∵令 ∴或， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 4．若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为____________． 【详解】解：当时， ∴， ∴， 解得：，， ∴两个交点的横坐标分别为，； ∴． 故答案是：4． 5．已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 题型2 根据交点情况求参数 【例1】已知抛物线经过点，则该抛物线与x轴的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴对称轴为直线， 假设抛物线与x轴的另一个交点是， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故选：B． 【例2】如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【答案】(1) (2)；， 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征： （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可求得m的值； （2）由（1）可得抛物线的解析式，进而可求抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 【例3】已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 【详解】（1）解：抛物线与轴一定有交点，理由如下： 令，则， ， 无论取何值，， 故抛物线与轴一定有交点； （2）设抛物线与轴的交点坐标为（）、（0） 则 两交点之间的距离为||=， 当两交点间的距离最短时，最小， ， 当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为． 【变式练习】 1．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 2．二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 3．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 __________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴令，则， ∴， 解得． 故答案为：． 4．已知抛物线经过点，请你解答下列问题： (1)求m的值和抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与x轴的交点坐标； (3)当时，y的取值范围是______． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当，且当时，函数有最大值，最大值为， ∴当时，． 5．已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 6．已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 题型3 根据交点式求解析式 【例1】已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． （2）， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【变式练习】 1．已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 2．如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)分别求点A，D的坐标和抛物线的对称轴． 【答案】(1)； (2)，，直线． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）直接利用交点式写出抛物线的解析式即可； （2）求出当时y的值，即可求出点A的坐标，将抛物线化为顶点式，即可求出点D的坐标和抛物线的对称轴． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，，即； ，即，对称轴为直线． 3．已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 题型4 图象法解一元二次不等式 【例1】二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【详解】观察图象知，当函数值时，图像为在x轴上方的部分。自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【例2】如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【例3】如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式练习】 1．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是； 故选C． 2．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是________． 【详解】解：由图象可知，在点的左侧和点的右侧不等式成立， 点的坐标是，点的坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 3．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 4．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是_________． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 5．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 题型5 数形结合法解决问题 【例1】如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点，点和点，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点． （1）二次函数的解析式为________________； （2）当自变量x___________________时，两函数的函数值都随x增大而减小； （3）当自变量x___________时，一次函数值大于二次函数值． 【详解】解：（1）根据题意，可设二次函数解析式为，把点和点代入解析式得： ，解得： ∴二次函数解析式为． 故答案为：； （2）∵， ∴对称轴为直线， 观察图象可知：当时，两函数的函数值都随x增大而减小． 故答案为：； （3）一次函数值大于二次函数值即一次函数图象在二次函数上方，根据图象知：x范围为：或． 故答案为：或 【例2】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 【变式练习】 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当是边上的高时，的值最小， ∵点是得顶点， ∴，即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为2， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令得， 令得， 解得或， ； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在第二象限的抛物线上，点在直线上， ，，， ， 当时，最大， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，将代入得， ， ， 直线的解析式为， ， 线段的中点坐标为， 平分线段， 线段的中点在直线上， 将代入得， 解得：，，（舍去） 直线的解析式为； 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过点P作y轴的平行线交于H， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时， ∴面积的最大时，点坐标为； 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点作轴的平行线交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； 【详解】（1）解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； 过关练习 一、单选题 1．抛物线与轴交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】令抛物线函数值为0，得到对应一元二次方程，通过根的判别式判断方程实数根个数，即可确定抛物线与x轴交点的个数． 【详解】解：当时， ， ∴该方程有2个不相等的实数根， ∴抛物线与x轴交点的个数为2． 2．如图，是二次函数与一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是二次函数落在直线的图象上方的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象在抛物线的下方， 由图象可知，当时，直线在抛物线的下方， ∴当时，， 故选：B． 3．已知抛物线，则下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为 C．顶点坐标 D．与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式，理解顶点式是解题的关键．根据抛物线顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和与y轴交点回答即可． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ ，开口向上，A正确，此选项不符合题意； 对称轴为 ，B正确，此选项不符合题意； 顶点坐标为 ，C正确，此选项不符合题意； 当 时，， ∴ 抛物线与y轴交点坐标为 ，不是 ，故D错误，此选项符合题意． 故选：D． 4．二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线的图象与x轴的交点，然后根据时，所对应的自变量x的变化范围． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示． ∴图象与x轴交在，， ∴当时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：． 故选：A． 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质（开口、对称轴、与轴交点、判别式）．关键是掌握系数a、b、c及判别式与图象的对应关系，易错点是判断b的符号时忽略a的影响． 由图象开口向下得；对称轴且，得；与y轴交于正半轴得；与x轴有两个交点得． 【详解】选项A：因为二次函数图象开口向下，所以，故不正确． 选项B：因为对称轴，且，所以，故不正确． 选项C：因为图象与y轴交点在正半轴，所以，故正确． 选项D：因为图象与x轴有两个交点，所以，故不正确． 故选：C． 6．已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的正数解为（   ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是求解出二次函数与x轴正半轴的交点． 根据二次函数的图像可知对称轴为，则可得二次函数与x轴正半轴的交点，由此可得一元二次方程的正数解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且与x轴负半轴的交点为， ∴二次函数与x轴正半轴的交点为， ∴关于x的一元二次方程的正数解为1． 故选：A ． 7．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知二次函数 与x轴相较于和，对称轴为则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，y 随 x 的增大而减小 C． D．方程 的两根是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的增减性，二次函数与x轴的交点问题，熟记二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解决问题是解此题的关键． 根据题意画出图象，结合图象逐项判断即可． 【详解】解：如图， A．由图可知，根据所给条件无法判断，故不正确； B．若，则当时，y 随 x 的增大而减小；若， 则当时，y 随 x 的增大而增大，故不正确； C．由图可知，根据所给条件无法判断，故不正确； D．方程 的两根是，正确． 故选D． 9．在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 二、填空题 11．已知抛物线与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题关键是一元二次方程根的判别式的应用，需注意抛物线的二次项系数不能为(否则为一次函数，不满足抛物线的定义)．首先明确抛物线与轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式；然后代入判别式公式建立关于的方程，求解后验证不为0即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴对应的一元二次方程有两个相等的实数根，且， 对于一元二次方程， 判别式，解得，且符合抛物线的条件； 故答案为：． 12．若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 利用根的判别式列不等式求解． 【详解】解：令， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 14．如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图像与不等式的关系，熟练掌握“抛物线在直线上方时对应的x取值范围即为不等式的解集”是解题的关键． 将不等式变形为抛物线表达式大于直线表达式的形式，结合图像中抛物线在直线上方的x取值范围求解． 【详解】解：∵不等式可变形为，抛物线与直线的交点为、， 从图像可知，当时，抛物线在直线的上方， ∴当时，， 故答案为： 15．二次函数的图象如图，当时，则x的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次不等式的关系，解题的关键是结合二次函数图象与x轴的交点，确定函数值小于0时对应的x的取值范围．先确定二次函数图象与x轴的交点横坐标，再根据图象开口方向，找出图象在x轴下方对应的x的取值区间． 【详解】解：由二次函数图象可知，其与轴的交点横坐标为和，且图象开口向上， 当时，对应图象在轴下方的部分， 故的取值范围为． 故答案为：． 16．抛物线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 17．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么方程的一个近似根的取值范围是________． x 1 y 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．观察表格确定函数值正负的自变量的值，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由表格数据，当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根的取值范围是． 故答案为：． 18．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线， 由图象可知二次函数过和，结合图像数形结合即可解决题目． 【详解】解：∵对称轴为直线 由图象知，二次函数过和， ∵抛物线开口向下， ∴当时，或． 故答案为：或． 三、解答题 19．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数图象的解析式． (2)试判断点是否在该二次函数图像上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 点不在该二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），将代入关系式求出y，再判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 所以二次函数的关系式为； （2）解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在二次函数的图象上． 20．如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 21．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为______，______； (2)当时，直接写出的取值范围为__________； (3)当时，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，当时，y取得最小值，y在顶点处取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， ，，     故答案为：，； （2）解：∵的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，取得最大值为， 当时，，解得，， 即图象经过， ∴当时，直接写出的取值范围为； 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 22．如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点在轴上，点是抛物线和轴的交点，点是直线和轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和点坐标； (2)连接、、三点，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 23．如图，抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，且在x轴上方，连接、，若的面积为6，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查待定系数法，求抛物线上点的坐标，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）把点、、代入抛物线，求出a，b，c的值，即可解答； （2）设点（），根据求出y的值，再代入抛物线解析式，即可得到点P的坐标； （3）根据垂线段最短可得当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、、三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵，， ∴， 设点（），则， 即，解得， 将代入抛物线解析式，得， 解得， ∴点P的坐标为或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∵点Q在对称轴上， ∴当垂直对称轴时，取得最小值，其值是点P到对称轴的距离，为． 24．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． （1）令，利用根的判别式进行判断即可； （2）令，利用根与系数的关系得出，，，根据，代入得到关于的方程，解方程即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 25．已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 【答案】(1)且 (2)另一个根是 (3)①或；②的面积为． 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根； （3）①画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或； ②求出，，再根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； （3）解：①由（2）知抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或； ②，， ， ， ， ， 的面积为． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $