2025-2026学年人教版八年级数学下册 期末模拟卷（五）

**基本信息** 本试卷全面覆盖人教版八年级下册核心知识，通过几何验证（勾股定理图形证明）、现实应用（新能源汽车充电方案）、综合实践（长方形折叠）等设计，考查运算能力、推理意识与模型意识，适配期末教学质量检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式、勾股定理、平行四边形性质|第4题以图形验证勾股定理，体现几何直观| |填空题|4/12|二次根式化简、新定义运算|第10题规定新运算，考查抽象能力| |解答题|6/64|统计分析、函数应用、几何证明|第16题结合新能源汽车充电方案，培养模型意识；第18题长方形折叠探究，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.如果是二次根式，那么的取值范围是(     ) A. B. C. D. 3.下面几组数能作为直角三角形三边长的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是  A. B. C. D. 5.在▱中，对角线，相交于点，若要使▱为矩形，可以添加下列哪个条件(     ) A. B. C. D. 6.如图，在▱中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为(      ) A. B. C. D. 7.如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是(     ) A. B. C. D. 8.如图，是▱的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.是整数，正整数的最小值是______． 10.规定，则的值是        ． 11.如图，，，，，数轴上点表示的数是______． 12.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ． ． 14.本小题分 如图，在四边形中，，，，． 求的度数； 求四边形的面积． 15.本小题分 王老师从本校九年级质量检测中随机抽取另一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表；又按分数段绘制成绩分布表，如表． 表： 等级 分数的范围 表： 分数段 人数 分数段为的人中，其成绩的中位数是分请根据以上信息回答下面问题： 王老师抽查了______人；的值是______； 小明在此考试中也正好得了分，他说自己在这次考试中数学成绩是等级，他说的对吗？为什么？ 若此次测试数学学科普高的预测线是分，该校九年级有名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？ 16.本小题分 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案家用充电：安装家用充电桩所需费用为元，电费每度元； 第二种方案公用充电：仅有电费，电费每度元． 设这辆新能源汽车的充电总量为度，第一种方案所需充电总费用包含安装家用充电桩所需费用为元，第二种方案所需充电总费用为元 请分别写出、与之间的函数关系式； 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 17.本小题分 四边形中，，，为对角线的中点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：四边形是平行四边形． 如果四边形与四边形的周长分别是与，求的周长． 18. 本小题分综合与实践  在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动    操作测量  操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平；  操作二：在上选一点，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平  如图，当点在折痕上时，连接，测量，的度数，得  ______ 度，  ______ 度  迁移探究  在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系？并说明理由  拓展应用  在的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 全 解 全 析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，原式，故该选项不符合题意； 选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：． 根据最简二次根式的概念判断即可． 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2.如果是二次根式，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得， 解得． 故选：． 根据被开方数为非负数，同时结合分式分母不为的条件，列不等式即可求解的取值范围． 本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 3.下面几组数能作为直角三角形三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】解：、，，  ，  不能组成直角三角形，  故A不符合题意；  B、，，  ，  能组成直角三角形，  故B符合题意；  C、，，  ，  不能组成直角三角形，  故C不符合题意；  D、，，  ，  不能组成直角三角形，  故D不符合题意；  故选：． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，  ，  在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，  ，  整理得，故可以证明勾股定理；  在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，  ，  整理可得，故可以证明勾股定理；  此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和，  所以 即，  整理：    故可以证明勾股定理；  能证明勾股定理的是  故选：． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 5.在▱中，对角线，相交于点，若要使▱为矩形，可以添加下列哪个条件？(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：若使▱变为矩形，可添加的条件是：对角线相等的平行四边形是矩形，  故选：． 因为矩形是特殊的平行四边形，所以根据矩形的判定方法来添加条件即可． 本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键． 6.如图，在▱中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在▱中， ，， ， 平分， ， ， ， ，分别为和的中点， ， ， ， 故选：． 根据平行四边形的性质证明，根据三角形中位线定理得，进而可以解决问题． 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 7.如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：． 根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.如图，是▱的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接， 是▱的边上的点， ， ，， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：． 连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.是整数，正整数的最小值是______． 【答案】  【解析】解：， 要使是整数，正整数的最小值是， 故答案是：． 如果一个根式的值是整数，则被开方数是完全平方数，首先把化简，然后求的最小值． 本题主要考查二次根式的基本概念，解题的关键是对二次根式先化简，再求正整数的最小值． 10.规定，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：由题意得， ． 故答案为：． 首先根据新定义得到，然后利用分母有理化求解即可． 本题考查的是实数的运算，熟知运算法则是解题的关键． 11.如图，，，，，数轴上点表示的数是______． 【答案】  【解析】解：根据勾股定理可得， ， ， 数轴上点表示的是． 故答案为：． 根据勾股定理可得，可得，即可算出的长度，根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行判定即可得出答案． 本题主要考查了实数与数轴及勾股定理，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及勾股定理进行求解是解决本题的关键． 12.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为______． 【答案】  【解析】解：，，， ， 于，于， 四边形是矩形， ，互相平分，且， ，的交点就是点． 当的值最小时，的值就最小， 当时，的值最小，即的值最小． ， ． ，，， ， ， ； 故答案为：． 先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可． 本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ． ． 【答案】解： ； ．  【解析】原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可； 原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可． 本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 14.本小题分 如图，在四边形中，，，，． 求的度数； 求四边形的面积． 【答案】解：连结， ，， ，， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 在中，， 在中，． ．  【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形． 连接，由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求； 利用四边形的面积为和面积之和进行计算即可． 15.本小题0分 王老师从本校九年级质量检测中随机抽取另一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表；又按分数段绘制成绩分布表，如表． 表： 等级 分数的范围 表： 分数段 人数 分数段为的人中，其成绩的中位数是分请根据以上信息回答下面问题： 王老师抽查了______人；的值是______； 小明在此考试中也正好得了分，他说自己在这次考试中数学成绩是等级，他说的对吗？为什么？ 若此次测试数学学科普高的预测线是分，该校九年级有名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？ 【答案】解：； 对的，理由如下： 分数段在的有人， 这个分数从大到小的顺序排列后，第个分数就是这组数据的中位数，即第个数据为， 等级的人数有：人， ， 小明的数学成绩是等级，他说的正确； 人， ， 人． 答：数学学科达到普高预测线的学生约有人．  根据小于的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以小于的人数所占的百分比求出小于的人数，再减去小于的人数，求出； 先求出等级的人数，再根据在分数段为的人数和中位数的定义即可推断出小明说的对不对； 用样本估计总体，用总人数乘以数学学科普高的预测线的人数所占的百分比即可． 本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16.本小题分 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案家用充电：安装家用充电桩所需费用为元，电费每度元； 第二种方案公用充电：仅有电费，电费每度元． 设这辆新能源汽车的充电总量为度，第一种方案所需充电总费用包含安装家用充电桩所需费用为元，第二种方案所需充电总费用为元 请分别写出、与之间的函数关系式； 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【答案】，  该车充电总量大于度时，选择方案一所需充电总费用较少  【解析】解：第一种方案家用充电：安装家用充电桩所需费用为元，电费每度元； 第二种方案公用充电：仅有电费，电费每度元．则： 与之间的函数关系式为； 与之间的函数关系式为 当时，则 解得， 该车充电总量大于度时，选择方案一所需充电总费用较少． 根据两种方案的计费方法表示即可； 根据题意列出不等式求解． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 17.本小题分 四边形中，，，为对角线的中点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：四边形是平行四边形． 如果四边形与四边形的周长分别是与，求的周长． 【解析】证明：，， 四边形是平行四边形， ， ，， 在与中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形； 解：四边形和四边形都是平行四边形， ，， 的周长为． 根据平行四边形的判定和性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可； 根据平行四边形的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 18.本小题分综合与实践  在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动  操作测量  操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平；  操作二：在上选一点，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平  如图，当点在折痕上时，连接，测量，的度数，得  ______ 度，  ______ 度  迁移探究  在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系？并说明理由  拓展应用  在的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 解：连接， 由题意可知是的垂直平分线， ， 由翻折可知，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：，； 由翻折可知， 如图，当点限制在长方形纸片内时，， 设，， ， 即； 当点限制在长方形纸片内时， 由可知， 当时，，， 解得：； 当点限制在长方形纸片外时， 由翻折可知， 且， ， 即， 当时，， 解得：， 故：或． 连接，由题意可知是的垂直平分线，依据垂直平分线的性质可得，由翻折可知，易证是等边三角形结合题意求解即可； 由翻折可知，当点限制在长方形纸片内时，根据可得结果； 当点限制在长方形纸片内时，由可知代入求解即可；当点限制在长方形纸片外时，如图，可求得，代入求解即可． 本题考查了与矩形有关的翻折问题以及等边三角形的判定和性质；解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末教学质量检测 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子是最简二次根式的是(     ) A. B. C. D. 2.如果是二次根式，那么的取值范围是(     ) A. B. C. D. 3.下面几组数能作为直角三角形三边长的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是  A. B. C. D. 5.在▱中，对角线，相交于点，若要使▱为矩形，可以添加下列哪个条件(     ) A. B. C. D. 6.如图，在▱中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为(      ) A. B. C. D. 7.如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是(     ) A. B. C. D. 8.如图，是▱的边上的点，是中点，连接并延长交于点， 连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.是整数，正整数的最小值是______． 10.规定，则的值是        ． 11.如图，，，，，数轴上点表示的数是______． 12.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ． ． 14.本小题分 如图，在四边形中，，，，． 求的度数； 求四边形的面积． 15.本小题分 王老师从本校九年级质量检测中随机抽取另一些同学的数学成绩做质量分析，他先按照等级绘制这些人数学成绩的扇形统计图，如图所示，数学成绩等级标准见表；又按分数段绘制成绩分布表，如表． 表： 等级 分数的范围 表： 分数段 人数 分数段为的人中，其成绩的中位数是分请根据以上信息回答下面问题： 王老师抽查了______人；的值是______； 小明在此考试中也正好得了分，他说自己在这次考试中数学成绩是等级，他说的对吗？为什么？ 若此次测试数学学科普高的预测线是分，该校九年级有名学生，求数学学科达到普高预测线的学生约有多少人？ 16.本小题分 新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案家用充电：安装家用充电桩所需费用为元，电费每度元； 第二种方案公用充电：仅有电费，电费每度元． 设这辆新能源汽车的充电总量为度，第一种方案所需充电总费用包含安装家用充电桩所需费用为元，第二种方案所需充电总费用为元 请分别写出、与之间的函数关系式； 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 17.本小题分 四边形中，，，为对角线的中点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点． 求证：四边形是平行四边形． 如果四边形与四边形的周长分别是与，求的周长． 18. 本小题分综合与实践  在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动    操作测量  操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平；  操作二：在上选一点，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平  如图，当点在折痕上时，连接，测量，的度数，得  ______ 度，  ______ 度  迁移探究  在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系？并说明理由  拓展应用  在的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $