20.1二次根式 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕二次根式的定义、有意义条件、双重非负性、两大性质及最简二次根式展开，通过回顾平方根和算术平方根概念搭建学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于突出数学思维与模型意识，通过双重非负性结合三大非负数培养抽象能力，对比性质1和性质2的运算逻辑强化推理意识，易错点汇总和典例精析助力学生形成全面思考习惯，教师可借助清晰脉络提升教学效率。

华东师大版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 20.1二次根式 第20章 二次根式 第二十章 20.1 二次根式 全节知识点总结 一、二次根式的定义 1. 定义 一般地，形如 $$\sqrt{a}\ (a\ge0)$$ 的式子叫做二次根式，其中 $$a$$ 叫做被开方数，“$$\sqrt{\ \ }$$”叫做二次根号。 2. 二次根式的两大必备条件（判定依据） ① 根指数必须是 2（省略不写）； ② 被开方数必须非负，即 $$a\ge0$$。 3. 常见判断易错 $$\sqrt{-2}$$、$$\sqrt{x-1}(x<1)$$ 都不是二次根式，因为被开方数为负数，无意义。 二、二次根式有意义的条件（必考） 核心口诀：被开方数 ≥ 0 式子 $$\sqrt{a}$$ 有意义 $$\iff a\ge0$$； 式子 $$\sqrt{a}$$ 无意义 $$\iff a<0$$。 常见综合有意义条件题型 1. $$\sqrt{x+2}$$ 有意义：$$x+2\ge0 \Rightarrow x\ge-2$$ 2. $$\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$$ 有意义：$$x-1>0 \Rightarrow x>1$$（根式在分母，不能为0） 3. $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}$$ 有意义：$$x\ge0$$ 且 $$-x\ge0 \Rightarrow x=0$$ 三、二次根式的双重非负性（超级重难点） 二次根式具有双重非负性： 1. 被开方数非负：$$a\ge0$$ 2. 根式结果非负：$$\sqrt{a}\ge0$$ 初中三大非负数： ① 平方：$$a^2\ge0$$ ② 绝对值：$$|a|\ge0$$ ③ 二次根式：$$\sqrt{a}\ge0$$ 核心结论：若干个非负数的和为0，则每一项都必须为0。 例：若 $$\sqrt{x-1}+(y+2)^2+|z|=0$$，则 $$x=1,\ y=-2,\ z=0$$。 四、二次根式的两大核心性质 性质1：$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\ge0)$$ 释义：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 例：$$(\sqrt{5})^2=5$$，$$(\sqrt{x+1})^2=x+1\ (x\ge-1)$$ 性质2：$$\sqrt{a^2}=|a|$$（考试最易错） 释义：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 分段化简： $$\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a\ge0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$ 举例： $$\sqrt{3^2}=3$$，$$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$$ 易错警示：$$\sqrt{a^2} eq a$$，必须加绝对值！ 五、最简二次根式（基础判定） 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 常见非最简：$$\sqrt{12},\sqrt{0.5},\sqrt{\dfrac{1}{3}},\sqrt{x^3}$$ 常见最简：$$\sqrt{2},\sqrt{7},\sqrt{x^2+1}$$ 六、本节高频易错点汇总 1. 忽略定义域：使用 $$(\sqrt{a})^2=a$$ 时，必须保证 $$a\ge0$$； 2. $$\sqrt{a^2}$$ 直接等于 $$a$$，忘记绝对值，负数化简出错； 3. 分式型根式有意义条件分不清：分母根式不能为0； 4. 多个非负数相加为0，只会做平方、绝对值，不会做根式题型； 5. 判定最简二次根式时，漏掉“被开方数不含分母”条件。 七、基础必考公式总结 1. 二次根式定义：$$\sqrt{a}\ (a\ge0)$$ 2. 非负性：$$\sqrt{a}\ge0\ (a\ge0)$$ 3. 平方还原：$$(\sqrt{a})^2=a\ (a\ge0)$$ 4. 开方去方：$$\sqrt{a^2}=|a|$$ 学习目标 1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. 2.掌握二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. 3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围， 在解题过程中利用不等式（组）模型来培养全面 思考问题的正确习惯. 学习目标 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于 a，则这个数就叫做 a 的平方根. 0 的算术平方根是 0. a 的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 正数有两个平方根且互为相反数； 0 有一个平方根就是 0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和 0 都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 下球体 S 圆形的下球体在平面图上的面积为 S，则半径为______. 如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 . b - 3 表示一些正数的算术平方根. 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 二次根式的定义及有意义的条件 1 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数 a ≥0 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号. 注意：a 可以是数，也可以是式. 归纳总结 2. 二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式 的认识！ 例1 x 是怎样的实数时，式子 有意义? 解：二次根式的被开方数必须是非负数，这里被开方数 x - 1≥0，即 x≥1. 所以，当 x≥1 时，式子 有意义. 典例精析 1. 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： √ √ √ × × √ × × × 练一练 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用 2 一般地，有性质1. = a (a≥0) 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负性的三种表现形式归纳如下：a2，︱a︱， 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 要点归纳 计算 解： （2）用到了 (ab)2 = a2b2 这个结论. 练一练 类似地，计算： 再计算： 0.5 0 0.5 二次根式的性质2及应用 3 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 性质2： 要点归纳 =∣a∣ 2.从取值范围来看， a≥0 a 取任何实数 1.从运算顺序来看， 先开方，后平方 先平方，后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a (a＜0) = 知识要点 化简 解： 练一练 解：由 x - 1≥0，得 x≥1 1. 当 x 取何值时， 二次根式有意义? 当 x≥1 时， 在实数范围内有意义. 试求当 x = 5 时，二次根式 的值. 当 x = 5 时， 思考：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x 为全体实数. 随堂练习 2.(1)若 ，则 a - b + c =___ ； 解： （1）由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. （2）由题意知 1 - x≥0，且 x - 1≥0，联立解得 x = 1. 从而知 y = 2026， 所以 x + 2y = 1+2×2026 = 4053. 随堂练习 （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 抓住被开数(或式)必须为非负数，从而建立不等式(或组)求出其解集. 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号.a 叫做被开方数. 随堂练习 二次根式 定义 性质 （a≥0） （即 表示一个非负数） 课堂小结 $