精品解析：2026年江西省南昌市江西师大附中2025-2026学年 九年级初中学业水平考试 模拟数学试卷

江西省2026年初中学业水平考试 数学试题卷（模拟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知规则确定公元年份的记法即可得出结果． 【详解】解：∵公元前600年记作年，说明规定公元前用负数表示，公元用正数表示， ∴公元2026年应记作年． 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体的上面看到的视图进行判断即可. 【详解】解：其俯视图为： ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 5. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 8. 某科技园区调查发现，园区每家企业平均每周使用生成式工具处理文档约552000次．数据552000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 设，是方程的两个根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， 则，， ∴， 解得：． 10. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为x千克，依题意列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先理解题意，再根据设制作1个榫需要的木材为x千克，得每个卯需要的木材是千克，再根据用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， ∴每个卯需要的木材是千克， ∵用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个， ∴ 11. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形．若矩形的周长为24，则大正方形的边长为____． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形边长为，由图2可得，小正方形的边长为，得出．根据矩形的周长为24，列方程求出，，再根据大正方形的边长为求解即可． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形边长为， 由图2可得，小正方形的边长为， ∴，即． ∵矩形的周长为24， ∴， 解得， ∴， ∴大正方形的边长为． 12. 矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 【答案】4或6或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质． 根据矩形及折叠的性质得，，进而可求出的值，分类讨论：若，若，若，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， 由折叠对称性：，， 在中，， 如图，由平移可知：，， ∴四边形是平行四边形， ，， ， 如图，过点作于H， ， ∴四边形是矩形， ， 分三种情况讨论： 若， ， ， 即平移的距离为4； 若， ，， ， 即平移的距离为6； 若， 在中，， 设， ， ， ， 解得：， 即平移的距离为； 综上所述，当是等腰三角形时，平移的距离为4或6或． 故答案为：4或6或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答问题： （1）计算：． （2）如图，，，AC、DB相交于点O．求证：． 【答案】（1） （2）证明：在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，立方根，绝对值的性质化简，进行计算即可求解； （2）证明，根据全等三角形性质得到，根据等角对等边即可得证． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 14. 以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② … （1）上面的运算过程中第_________步出现了错误；（填序号） （2）请你写出完整的解答过程，并在，1，0中选一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可； （2）根据分式混合运算的法则计算即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴第②步错误， 故答案为：②； 【小问2详解】 原式 ∵， ∴且， 故只能取0， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 15. 年月日～日，第五届全民阅读大会在南昌盛大举办，全城掀起书香阅读热潮．活动现场招募学生志愿者参与服务，大学生小华和李明随机选择一项志愿服务项目（假设选择每一项的可能性相同），服务项目如下： ．图书上架整理； ．阅读物资补给； ．书籍分类分发； ．读者秩序引导． （1）李明选择项目“：马拉松赛道指引”是_____事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一项志愿者项目活动的概率． 【答案】（1）不可能 （2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）根据不可能事件的定义可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数，以及两人恰好选择同一项志愿者活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，李明选择项目“：马拉松赛道指引”是不可能事件． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小华和李明恰好选择同一项志愿者项目活动（记为事件）的结果有种， ∴． 16. 图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点O和的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边AB与网格线交于点M，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点M的对称点． （2）在图②中，点N在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点F，使． 【答案】（1）如图，和点即为所求． （2）如图，点F即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图可得与网格线的交点为点． （2）连接并延长，交于点，则，即可得，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出双曲线的表达式，再根据题意即可求出点的坐标； （2）先确定中点的纵坐标，代入反比例函数解析式求出，即可确定平移的距离． 【小问1详解】 解：根据题意，得，． ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线的表达式为． ∵， 则， ∴； 【小问2详解】 解：∵． ∴中点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴平移的距离是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． （1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 【答案】（1）A型挂面单价为20元，B型挂面单价为30元； （2）购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 【解析】 【分析】（1）设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意列出方程组，求解即可； （2）设购买型挂面袋，总费用为w元，则购买A型挂面袋，根据题意列出关于的不等式组求出其取值范围，再表示出总费用为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A型挂面的单价是x元，B型挂面的单价是y元，由题意，得： ， 解得， ∴A型挂面的单价是20元，B型挂面的单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买型挂面袋，总费用为w元，则购买A型挂面袋， 根据题意得： ， 解得：， 总费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴购买10袋B型挂面时所需费用最小，最小购买费用为900元． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． （1）求的长； （2）“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 【答案】（1）的长约为5.4分米 （2）点上升的高度为4.5分米 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解； （2）作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米； 【小问2详解】 解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：根据以上信息，解答下列问题： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 92.5 97 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为人和人，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1），， （2） 参考答案：我认为七年级的参赛学生掌握得较好．因为七年级的平均成绩大于八年级，方差小，更稳定； 参考答案：我认为八年级的参赛学生掌握得更好．因为八年级的中位数更高，最高分更高，高分人数较多． （3）人 【解析】 【分析】（）先统计七年级成绩中出现次数最多的数，确定众数；再将八年级成绩排序，取中间两个数的平均数得到中位数；最后通过观察成绩分布，判断七年级成绩更集中，得出七年级方差小于八年级方差的结论； （）可以从两个角度分析：一是认为七年级学生掌握更好，依据是七年级平均成绩更高且方差更小，成绩更稳定；二是认为八年级学生掌握更好，依据是八年级成绩的中位数更高、最高分更高，高分人数相对更多； （）先分别计算七年级、八年级样本中分及以上的优秀占比，再用各自的优秀占比乘以对应年级的参赛总人数，最后将两个年级的优秀人数相加，得到七、八年级参赛学生中“优秀”等级的总人数为人． 【小问1详解】 解：七年级名学生成绩： 出现次数最多的是， 因此众数； 列出八年级名学生成绩，从小到大排序： ， 中位数为第个数的平均数，即； 观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小， 因此方差； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：样本中：七年级人里，分及以上有人，优秀 占比， 八年级人里，分及以上有人，优秀 占比， 因此估计总优秀人数：（人） ， 答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 22. 已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】 （1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】 （2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 【答案】（1） （2）（1）中的结论还成立． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）或． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解． （2）通过证明，可得可得． （3）分两种情况讨论：当点在点右侧时；当点在点左侧时．设与直线的交点为，由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵，均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴ ． （2） 略 (3)当点在点右侧时，如图，设与直线的交点为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如图，设与直线的交点为， 同理可求， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）不存在“双倍点”，理由见解析 （3）或 （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【小问1详解】 解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． 【小问2详解】 解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． 【小问4详解】 解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026年初中学业水平考试 数学试题卷（模拟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果公元前600年记作年，那么公元2026年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 6. 如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（ ） A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 某科技园区调查发现，园区每家企业平均每周使用生成式工具处理文档约552000次．数据552000用科学记数法表示为___________． 9. 设，是方程的两个根，且，则______． 10. 如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，设制作1个榫需要的木材为x千克，依题意列出方程为________． 11. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形．若矩形的周长为24，则大正方形的边长为____． 12. 矩形的边，，点E是边上一点，将沿折叠得到，点D恰好落在边上点F处，如图，将线段沿着射线方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答问题： （1）计算：． （2）如图，，，AC、DB相交于点O．求证：． 14. 以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② … （1）上面的运算过程中第_________步出现了错误；（填序号） （2）请你写出完整的解答过程，并在，1，0中选一个你喜欢的数代入求值． 15. 年月日～日，第五届全民阅读大会在南昌盛大举办，全城掀起书香阅读热潮．活动现场招募学生志愿者参与服务，大学生小华和李明随机选择一项志愿服务项目（假设选择每一项的可能性相同），服务项目如下： ．图书上架整理； ．阅读物资补给； ．书籍分类分发； ．读者秩序引导． （1）李明选择项目“：马拉松赛道指引”是_____事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一项志愿者项目活动的概率． 16. 图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点O和的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的边AB与网格线交于点M，画出，使与关于所在的直线成轴对称，并确定点M的对称点． （2）在图②中，点N在网格线上，且不在格点上，在线段上确定点F，使． 17. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是的直径，C是弧的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 19. 挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”深得大家喜欢，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，求购买多少袋B种挂面时，所需费用最小，并求出最小的购买费用． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． （1）求的长； （2）“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分分）中各随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：根据以上信息，解答下列问题： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 95 八年级 92.5 97 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为人和人，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 22. 已知，均为等腰直角三角形， 【观察发现】 （1）如图①，点，分别在线段，上，请直接写出与的数量关系； 【类比探究】 （2）如图②，将绕点顺时针旋转，连接，，且与所在的直线交于点．（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，在旋转的过程中，当直线时，则________． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． （1）求直线上的“双倍点”的坐标； （2）反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； （3）已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； （4）若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $