精品解析：江西省九江外国语学校2024-2025学年九年级上学期北师大版第三次模拟考试卷

第三次月考数学试卷 一、单选题 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，参加比赛的球队有x支，则x的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 10 二、填空题 7. 方程的根为__________ 8. 计算的结果是_________． 9. 对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 __． 10. 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则菱形的面积为_________； 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式________； 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 三、解答题 13. 解下列方程： （1）； （2） 14. 先化简，再求值： ，其中，． 15. 如图，点E在矩形ABCD内，且EB=EC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作边BC的中点M； （2）在图2中，作边CD的中点N． 16. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 17. 如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用篱笆），已知墙长为．当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米． 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 19. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． 21. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动． （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？ （3）当移动几秒时，与相似？ 22. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 23. 在学习“从特殊到一般”的数学思想方法时，数学兴趣小组了解到“当某些平面图形在从特殊到一般过渡时，特殊图形中的某些结论会在一般图形中继续存在或发生规律性的变化”，请根据活动提供的条件解决其中的问题； （1）如图1，中若点是的中点，且平分则与的数量关系是___________ （2）如图2，中，，点是的中点，平分，过点作，交于点，交（的延长线于点求证：； （3）如图3四边形中线段的垂直平分线交于点，交于点连接，，若则与的数量关系是___________ （4）如图4．四边形中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，且作于点（异于点），连接，若，，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三次月考数学试卷 一、单选题 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可． 【详解】解：. 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 3. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系． 【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 4. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 5. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵ ∴ 由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为， 由图象可以看出当或时，函数在上方，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键． 6. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，参加比赛的球队有x支，则x的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 18 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设参加比赛的球队有 x 支，根据 “ 每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛 28 场”即可列出方程 【详解】设参加比赛的球队有 x 支，由题意得：， 解得：（舍去） ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能够准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 二、填空题 7. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 8. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 9. 对于实数，，先定义一种新运算“※”如下：※，若※，则实数的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】分两种情况： 当时， ※， ， ， 或（舍去）； 当时， ※， ， （舍去）； 综上所述：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，分两种情况进行计算是解题的关键． 10. 一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则菱形的面积为_________； 【答案】24 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 【详解】解： （x−5）（x−3）＝0， 所以x1＝5，x2＝3， ∵菱形一条对角线长为8， ∴菱形的边长为5， ∴菱形的另一条对角线为2＝6， ∴菱形的面积＝×6×8＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质． 11. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式________； 【答案】1 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，，整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查韦达定理，掌握韦达定理是解题的关键． 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 【答案】5或或 【解析】 【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】解：①当AO=AB时，AB=5； ②当AB=BO时，AB=5； ③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0）， 设A（a，）（a>0）， ∵OA=5， ∴， 解得：，， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB=或AB=； 综上所述，AB的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 三、解答题 13. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 14. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先合并括号里的分式，再将分式各部分因式分解并化简，代值求解即可； 【详解】解：原式= = = = ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查分式的化简并求值，掌握分式化简的相关运算法则是解本题的关键． 15. 如图，点E在矩形ABCD内，且EB=EC，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作边BC的中点M； （2）在图2中，作边CD的中点N． 【答案】（1） 如图所示，点M即为所求； （2） 如图所示，点N即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接AC、BD，AC与BD交于O，连接EO并延长交BC于M，点M即为所求； （2）在（1）的解析图的基础上，连接DM交OC于F，连接BF并延长交CD于N，点N即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，点M即为所求； ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OC， 又∵EB=EC， ∴EO在线段BC的垂直平分线上， ∴EM垂直平分线BC，即M为BC的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，点N即为所求； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD=90°，O为BD的中点， 由（1）得M为BC的中点，则DM为△BCD中BC边上的中线， 又∵直角三角形三条中线交于一点， ∴CD边上的中线也经过点F， ∴点N即为所求； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质，解题的关键在于掌握相关知识进行正确的画图． 16. 如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 17. 如图，某中学课外兴趣小组准备围建一个矩形花园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用篱笆），已知墙长为．当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米． 【答案】当矩形的长为12米时，矩形花园的面积为300平方米． 【解析】 【分析】设矩形花园的长为x米，则宽为米，根据面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长28米，舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设矩形花园的长为x米，则宽为米， 依题意列方程得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴（不合题意，舍去）， ∴， 答：当矩形的长为12米时，矩形花园的面积为300平方米； 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2）当时，四边形是矩形，理由： 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 19. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 【答案】（1）60，108°；（2）336；（3） 【解析】 【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案； （2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可； （3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率． 【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人）， 最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人）， 扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°， 故答案为：60，108°； （2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%， 估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）； （3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁， 其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种， 故所求概率P==． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）12 【解析】 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可． 【小问1详解】 将A(2，-4)代入得到，即：． 反比例函数的表达式为：． 将B(-4，m)代入，得：， ， 将A，B代入，得： ，解得： 一次函数的表达式为：． 【小问2详解】 设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F． 令，则， ∴点D的坐标为(-2，0)， ∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C， ∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)， ∴点C、点D横坐标相同， ∴CDy轴， ∴ =12． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 21. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动． （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形APQC的面积为，当移动几秒时，四边形APQC的面积为？ （3）当移动几秒时，与相似？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）3秒 （3）当移动3秒或秒时，与相似． 【解析】 【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB＝12−2t，BQ＝4t， 由题意得：S△BPQ＝PB·BQ＝（12−2t）·4t＝＝32， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：t＝3， 答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2； 【小问3详解】 分两种情况： ①当△BPQ∽△BAC时， 则，即， 解得：， ②当△BPQ∽△BCA时， 则，即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键． 22. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①仍然成立，理由如下： 如图2， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即； ②四边形是平行四边形，理由如下： 如图3，过作，连接, 交于点， ，， ， ， ， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得； （2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得； ②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得, 根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图1， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， 即； （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 在学习“从特殊到一般”的数学思想方法时，数学兴趣小组了解到“当某些平面图形在从特殊到一般过渡时，特殊图形中的某些结论会在一般图形中继续存在或发生规律性的变化”，请根据活动提供的条件解决其中的问题； （1）如图1，中若点是的中点，且平分则与的数量关系是___________ （2）如图2，中，，点是的中点，平分，过点作，交于点，交（的延长线于点求证：； （3）如图3四边形中线段的垂直平分线交于点，交于点连接，，若则与的数量关系是___________ （4）如图4．四边形中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，且作于点（异于点），连接，若，，求的长 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在中， ∴ ∴，， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，进而证明得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至点，使得，连接，证明，根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，进而得出，即可得证； （3）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （4）取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，，根据对角互补的四边形得出，等量代换得出，进而证明，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：， 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵平分 ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴ 又∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $