第26章 二次函数【章末复习】（ 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理二次函数的概念、图象性质、与一元二次方程关系及实际应用，通过性质对比表格、应用流程梳理等方式，串联定义、解析式、平移规律等核心内容，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于以“概念辨析-性质探究-实际建模”为主线，设计分层例题与练一练，如用拱桥问题引导学生建系列函数式，培养数学建模与应用意识，易错点汇总助力精准突破，教师可据此实施个性化复习，提升学生知识巩固与解题能力。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 章末复习 第二十六章 二次函数 第二十六章 二次函数 全章总复习 一、二次函数基础概念（26.1） 1. 定义 一般地，形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$ 为常数，$$\boldsymbol{a eq0}$$）的函数叫做二次函数。 三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数 $$a eq0$$。 2. 三种解析式形式 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点） 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值） 交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点） 二、二次函数图象与性质（26.2 核心重点） 1. 最简形式：$$y=ax^2$$ 图象：抛物线，顶点 $$(0,0)$$，对称轴为y轴； $$a>0$$ 开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增； $$a<0$$ 开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减； 开口宽窄：$$|a|$$ 越大，开口越窄；$$|a|$$ 越小，开口越宽。 2. 平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$ $$y=ax^2+k$$上下平移 ：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点 $$(0,k)$$，仅改变最值； $$y=a(x-h)^2$$左右平移 ：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线 $$x=h$$，增减性以$$x=h$$ 分界。 3. 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式） 顶点$$(h,k)$$，对称轴直线 $$x=h$$； $$a>0$$，最小值 $$y=k$$；$$a<0$$，最大值 $$y=k$$； 所有平移均可由 $$y=ax^2$$ 先左右、后上下平移得到。 4. 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$ 对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 系数符号规律： ① $$a$$：定开口；② $$c$$：定与y轴交点 $$(0,c)$$；③ $$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。 三、二次函数与一元二次方程（26.3） 1. 核心关系 令 $$y=0$$，二次函数 $$y=ax^2+bx+c$$ 转化为方程 $$ax^2+bx+c=0$$； 方程的根 = 抛物线与x轴交点的横坐标。 2. 判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 三种对应关系 $$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点； $$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）； $$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 方程近似解 夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。 四、二次函数实际应用（26.4 中考必考大题） 1. 几何图形最大面积问题 解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值； 经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。 2. 商品最大利润问题 核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量； 两类模型：涨价少卖、降价多卖； 关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。 3. 抛物线实物与运动轨迹问题 解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义； 静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）； 动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。 五、全章高频易错点汇总 1. 平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆； 2. 顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$ 顶点横坐标为 $$-h$$； 3. 对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 是高频计算错误点； 4. 实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点； 5. 方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$； 6. 增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。 六、全章解题技巧总结 1. 求最值优先配方或用顶点公式，无需描点； 2. 图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除； 3. 实际问题优先设变化量为x，简化列式； 4. 抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。 实际问题 归纳 抽象 二次函数 y = ax2 + bx + c 实际问题的答案 利用二次函数的图象和性质求解 图象 目标 性质 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫作二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 【注意】(1) 等号右边必须是整式； (2)自变量的最高次数是 2； (3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 2. 二次函数的图象与性质： 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗ y最小= y最大= 3. 二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移，自变量左加右减 上、下平移，常数项上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿 x 轴对称 4. 二次函数解析式的求法 (1) 一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) (2) 顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 ) (3) 交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 ) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac) 有两个公共点 有两个不同的实数根 b2 - 4ac＞0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2 - 4ac＜0 6. 二次函数的应用 (1) 二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系， 解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． (2) 一般步骤： ① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； ② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； ③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； ④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义． 例1 已知 y = (m + 2)x| m | + 2 是关于 x 的二次函数， 那么 m 的值为 (　　) A．−2 B．2 C．±2 D．0 B 分析：根据二次函数定义可知 m + 2≠0 且 | m | = 2，则 m = 2. 考点一 二次函数的概念、图象与性质 1. 已知函数：① y = 2x − 1；② y = −2x2 − 1； ③ y = 3x3 − 2x2；④ y = 2x2 − x − 1；⑤ y = ax2 + bx + c. 其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B 【练一练】 例2 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象下列叙述正确的是 ( ) A．顶点坐标为 (－3，2) B．对称轴为 y＝3 C．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大 D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小 C 分析：可画出草图来判断. x y O (3，2) x＝3 x＝3 2. 关于抛物线 y = −x2 + 2x − 3 的判断，下列说法正确的是 (　　) A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线 x = -1 C．抛物线对称轴左侧部分从左往右是下降的 D．抛物线顶点到 x 轴的距离是 2 D 【练一练】 例3 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 B 分析：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大． ∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. O 1 x y 3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( ) A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1 D x y O b 1 分析： ∵二次项系数为－1＜0， 对称轴为 ，画出草图. ∵当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小， ∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. ∴ b≤1. 【练一练】 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( ) A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3 【分析】①化为顶点式：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ② 根据平移性质：向上平移 2 个单位长度→常数项＋2 向右平移 1 个单位长度后→自变量－1 ③ 写解析式：y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. B 4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ） A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位 B 【练一练】 例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2．求二次函数的解析式． 解：∵ 当 x = −2 或 4 时，y = −16，且函数的最大值为 2. ∴ 顶点为 (1，2). 设二次函数解析式为 y = a(x − 1)2 + 2， 把 (−2，−16) 代入得 −16 = 9a + 2，解得 a = −2. ∴ y = −2(x − 1)2 + 2. ∴ 二次函数解析式为 y = −2x2 + 4x. 顶点式 ∴ 对称轴为直线 . 5. 如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c 经过 A (−1，0)、 B (3，0) 两点，与 y 轴交于点 C(0，−3)． (1) 求二次函数的解析式； 解：设二次函数解析式为 y = a(x + 1)(x − 3)， 将点(0，−3)代入，得 −3 = a(0 + 1)(0 − 3). 解得 a = 1. ∴二次函数的解析式为 y = (x + 1)(x − 3) = x2 − 2x − 3. 交点式 x y O C A B 【练一练】 (2) 点 Q 为抛物线上一点，若 S△QAB = 8，求出此时点 Q 的坐标． 解：设 Q (x，y)， ∴ y = ±4． 则 Q 的坐标为 ② 当 y = -4 时，即 x2 − 2x − 3 = −4. 解得 x3 = x4 = 1. 则 Q 点的坐标为(1，−4). ① 当 y = 4 时， 即 x2 − 2x − 3 = 4. x y O C A B 则 S△QAB = AB • | y | = 2| y | = 8. 考点二 二次函数与一元二次方程 例6 已知二次函数 y = x2 − 2mx + m2 − 1( m 为常数). 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 分析：函数的图象与 x 轴总有两个公共点，即方程 x2 − 2mx + m2 − 1 = 0 有两个不相等的实数根，根据根的判别式求解即可. 证明：(−2m)2 − 4(m2 − 1) = 4＞0， 故不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. 6. 二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c − 2 = 0 的根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不正确 B x y O 3 【练一练】 例7 如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为 (　 ) C 方法归纳：①建立合适的平面直角坐标系， ② 抽象出函数模型，求解析式→ y＝-0.5x2 ③ 解决相关问题.→ 当 y＝-10，x＝ 考点三 二次函数的应用 (5，-12.5) 10 O C D A B y x 例8 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y (件)与销售单价 x (元) 符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝75 时，y＝45. (1) 求一次函数的解析式； 故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120. 解得 k = -1，b = 120. 解：根据题意，得 (2) 若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900， ∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值， 此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891. 7. 张大伯准备用 40 m 长的木栏围一个矩形的菜园，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用自家房屋一面长 25 m 的墙，设计了如图一个矩形的菜园. (1)请你求出张大伯矩形菜园的面积； 25 m 解：(1) 由题意得菜园的长为 25 m， 宽为(40 - 25)÷2 = 7.5 (m). 故菜园的面积为 25×7.5 = 187.5 ( m2 ) 【练一练】 (2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由. (2) 设菜园与墙垂直的一边为 x m，则与墙相对的一边长为(40 - 2x)m，菜园的面积 S = x(40 - 2x) = -2x2 + 40x = -2(x -10)2 + 200 (7.5≤x＜20). ∵7.5≤10＜20，所以当 x = 10 时， S 有最大值，此时 S = 200. 故张大伯的设计不合理.菜园与墙垂直的两边长为 10 m，而与墙相对的一边长为 (40 - 2x) m = 20 m. 25 m 8. 一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来 3 个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题： (1) 求该抛物线对应的二次函数解析式； 解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为 y = ax2 + bx，由图象的点的含义，得 故所求二次函数的解析式为 y = −x2 + 14x. 解得 a = −1，b = 14. (2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析. (2) y = −x2 + 14x = −(x − 7)2 + 49. 即当 x = 7 时，利润最大，y = 49. (3) 没有利润，即 y = −x2 +14x = 0. 解得 x1 = 0 (舍去)，或 x2 = 14， 而这时利润为滑坡状态，所以第 15 个月，公司亏损. 考点1 二次函数的定义 1. 对于任意实数 ，下列函数： ； ； ； . 其中，一定为二次函数的有( ) B A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 2.已知二次函数，当 时， 的值为_ _. 中考考法 29 考点2 二次函数的图象和性质 3. 在同一平面直角坐标系中，画出直线 与抛物线 ，这个图形可能是( ) D A. B. C. D. 中考考法 30 4. [2026福州期末] 已知二次函数 ， 当时，.若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 的取值范围为( ) B A. B. 或 C. 或 D. 中考考法 31 【点拨】 当时，， ， 抛物线的开口向下，且当时， , ， 抛物线的对称轴为直线 ， 关于对称轴的 对称点为， 是抛物线 上的两点，且， 或 ，解得或 . 中考考法 32 5.[2025福建] 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点, . （1）求 的值； 【解】 二次函数的图象的对称轴为直线 , 点, 在该函数的图象上， . . 中考考法 33 （2）已知二次函数的最大值为 . ①求该二次函数的解析式； 【解】由（1）可得 ， 该函数的解析式为 . 函数图象的顶点坐标为 . 中考考法 34 函数的最大值为 ， ，且 ， 解得或 （舍去）. 该二次函数的解析式为 . 中考考法 35 ②若, 为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证： . 【证明】 点在函数 的图象上， . 由①知，点,关于直线 对称， ，即 . 中考考法 36 . 即 . 中考考法 考点3 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系 6. 如图，抛物线 与直线 交于， 两点，则 不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 或 中考考法 38 7. [2025济南] 已知二次函数，，为常数， 图 象的顶点坐标是，且经过，两点， .有下列结 论： ①关于的一元二次方程 有两个不相等的 实数根； ②当时，的值随 值的增大而减小； ； ； ⑤对于任意实数，总有 . 以上结论正确的有( ) A A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 中考考法 39 【点拨】 二次函数 ，，为常数， 图象的顶点坐标是 ，且经过， 两点， , 抛物线的开口向下，对称轴为直线 ， ，抛物线与轴的交点为和 ，图象如图所 示.令，即把直线 向下平移1个单位长度可得直 中考考法 40 线 ，再结合函数图象可知 有两个不相等 的实数根，故关于 的一元二次方程 有两个不 相等的实数根,故①正确； 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 当 时，的值随 值的增大而减小，故②正确； 中考考法 抛物线与轴的交点为和, 二 次函数的解析式为 ， ， ， 解得 ，故③正确;结合函数图象 可知，当时， ， 故④正确; 中考考法 ，， ， ，，即对于任意实数 ， ，故⑤正确. 综上，①②③④⑤正确. 中考考法 $