26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，课堂导入通过回顾一次函数图象及描点法步骤，类比引出二次函数，以y=x²为起点逐步扩展到不同a值情况，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是采用探究式学习，让学生动手列表描点画图象，对比a>0与a<0时的性质，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识），用表格结构化总结性质，帮助学生系统掌握，教师可借助清晰流程提升教学效果。

26.2　二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数 y=ax²的图象和性质 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是______________________．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是________________． 一条经过(0，b)的直线 过原点的直线 2 2．描点法画出一次函数的步骤：分别为________、________、________三个步骤． 3．我们把形如__________________的函数叫作二次函数． 列表 描点 连线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 探究新知 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 最简单的二次函数y = ax2 y = x2 回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？ 我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？ 1. 列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· ··· 2. 描点. 3. 连线. y =x2 用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸. 画二次函数 y=x2 的图象. 9 4 1 0 1 4 9 可以看出，二次函数y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下，我们把二次函数 y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c. y =x2 二次函数 y=x2 的性质. y轴是抛物线 y=x2的对称轴. 抛物线y=x2与其对称轴的交点(0，0)叫作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点. y =x2 y =x2 y＝x2的图象是一条抛物线； 图象开口向上； 图象关于y轴对称； 顶点（0，0）； 图象有最低点． 你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？ y =x2 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 从二次函数y=x2的图象可以看出： 例1 在同一直角坐标系中，画出函数y = x2，y = 2x2的图象. 你能在同一直角坐标系中画出函数y = x2与y = 2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象． x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y = x2 ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=2x2 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 y=2x2 观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？ 你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？ y =x2 y=2x2 ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 思考： 函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口大小 y =x2 y=2x2 ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. ⑥a越大，抛物线的开口越小. 思考： 当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 探究： 回顾上面研究二次函数 y=ax2（a>0）的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2（a<0）的图象和性质吗？ 你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－ x2，y＝－2x2的图象吗？ (1)列表； x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y = - x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· (2)描点； (3)连线. y =－x2 y=-2x2 x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ··· 仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？ 你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？ ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. ⑥ a越小，抛物线的开口越小. y =－x2 y=-2x2 y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. 知识归纳 1．二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线．我们把二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫作抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是_______，顶点是_______．当a＞0时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最_______点，当a＜0时，抛物线的开口向_______，顶点是抛物线的最_______点． y轴 原点 向上 低 下 高 3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_______，当x＞0时，y随x的增大而_______． 减小 增大 增大 减小 例 1 例题与练习 已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数． (1)求m的值． 解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2， 解得m1＝2，m2＝－4， ∴m的值为2或－4. (2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？ (2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上， ∴m＋2＞0，解得m＞－2， ∴m＝2. (3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下， (3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？ ∴m＋2＜0，解得m＜－2， ∴m＝－4. 例 2 二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m). (1)求a，m的值； 解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1， ∴点P的坐标为(1，1). 将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12， 解得a＝1. 得m＝2×1－1＝1， (2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ (2)二次函数的解析式为y＝x2， 当x＞0时，y随x的增大而增大. （1）y = 3x2； （2）y = −3x2 ； 1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y = 3x2 y = −3x2 2.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y = 4x2； 向上 y 轴 (0,0) 当x < 0时：y随x的增大而减小； 开口方向: 对称轴: 顶点: y的变化情况: 当x > 0时：y随x的增大而增大. （2）y = −4x2 ； 向下 y 轴 (0,0) 当x < 0时：y随x的增大而增大； 开口方向: 对称轴: 顶点: y的变化情况: 当x > 0时：y随x的增大而减小. （3）y = x2 ； 向上 y 轴 (0,0) 当x < 0时：y随x的增大而减小； 开口方向: 对称轴: 顶点: y的变化情况: 当x > 0时：y随x的增大而增大. （4）y = − x2 ； 向下 y 轴 (0,0) 当x < 0时：y随x的增大而增大； 开口方向: 对称轴: 顶点: y的变化情况: 当x > 0时：y随x的增大而减小. 3．抛物线y＝3x2的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是_______；抛物线y＝－x2的开口向______，对称轴是______，顶点坐标是_______． 上 y轴 (0，0) 下 y轴 (0，0) 4．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1______y2. 5．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是______． ＜ 0 课堂小结 1．如何画出函数y＝ax2的图象？ 2．函数y＝ax2具有哪些性质？ 随堂检测 1、已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是 （ ） C 2、如图，二次函数 y=2x2的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． 解：∵二次函数 y=2x2的图象经过点C， ∴当x=2时，y=2×22=8，即BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴， ∴OA=OB. ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积. ∴S阴影部分面积之和=2×8=16. 作业布置 (1)教材P44　习题26.2第1题； (2)对应课时练习． $