26.3.1二次函数与一元二次方程 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的核心关系，梳理了判别式Δ的图象意义、交点坐标求法及函数值正负规律等知识点。课堂导入通过回顾一次函数与一元一次方程的联系，引导学生类比迁移，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以探究活动（如小球飞行高度问题）为载体，结合模型意识和运算能力，将数学知识与实际情境结合。采用例题分层设计和表格化课堂小结，帮助学生系统梳理知识，培养推理意识，既利于学生理解知识联系与应用，也便于教师提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.3.1二次函数与一元二次方程 第二十六章 二次函数 26.3.1 二次函数与一元二次方程 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 二者核心关系 二次函数解析式：$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$；一元二次方程：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。 本质关联：当二次函数的函数值 $$y=0$$ 时，二次函数就转化为一元二次方程。方程的根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。 2. 判别式Δ的三种图象意义（本节重中之重） 设 $$\Delta=b^2-4ac$$，针对抛物线 $$y=ax^2+bx+c$$： ① $$\boldsymbol{\Delta > 0}$$：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同交点； ② $$\boldsymbol{\Delta = 0}$$：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有唯一交点（顶点在x轴上）； ③ $$\boldsymbol{\Delta < 0}$$：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 拓展对应关系 1. 求抛物线与x轴交点坐标：令 $$y=0$$，解一元二次方程，得到的根即为交点横坐标，纵坐标为0； 2. 求方程 $$ax^2+bx+c=k$$ 的根：可看作抛物线 $$y=ax^2+bx+c$$ 与直线 $$y=k$$ 交点的横坐标； 3. 若抛物线与x轴交于 $$(x_1,0)、(x_2,0)$$，可写交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$。 4. 函数值正负取值规律 当 $$a>0$$ 开口向上：两根外侧 $$y>0$$，两根之间 $$y<0$$； 当 $$a<0$$ 开口向下：两根外侧 $$y<0$$，两根之间 $$y>0$$。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 抛物线 $$y=x^2-2x-3$$ 与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 2. 若抛物线 $$y=ax^2+bx+c$$ 与x轴只有一个交点，则 $$\Delta$$ 的值为（ ） A. $$\Delta>0$$ B. $$\Delta=0$$ C. $$\Delta<0$$ D. 不确定 （二）填空题 3. 抛物线 $$y=x^2-4$$ 与x轴的交点坐标为________。 4. 已知抛物线 $$y=x^2-6x+m$$ 与x轴无交点，则m的取值范围是________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 求抛物线 $$y=-x^2+2x+3$$ 与x轴的交点坐标。 6. 已知二次函数 $$y=2x^2-4x+k$$，根据下列条件求k的取值：（1）图象与x轴有两个交点；（2）图象与x轴只有一个交点；（3）图象与x轴无交点。 四、参考答案与详细解析 1. C 解析：$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$$，有两个交点。 2. B 解析：$$\Delta=0$$ 对应抛物线与x轴有唯一公共点（相切）。 3. $$(2,0)、(-2,0)$$ 解析：令 $$y=0$$，$$x^2-4=0$$，解得 $$x=\pm2$$。 4. $$m>9$$ 解析：无交点则 $$\Delta<0$$，$$36-4m<0$$，解得 $$m>9$$。 5. 解：令 $$y=0$$，得 $$-x^2+2x+3=0$$，整理得 $$x^2-2x-3=0$$，因式分解 $$(x-3)(x+1)=0$$，解得 $$x_1=3，x_2=-1$$。所以交点坐标为 $$(3,0)、(-1,0)$$。 6. 解：$$\Delta=(-4)^2-4\times2\times k=16-8k$$。 （1）有两个交点：$$\Delta>0 \Rightarrow 16-8k>0 \Rightarrow k<2$$； （2）一个交点：$$\Delta=0 \Rightarrow 16-8k=0 \Rightarrow k=2$$； （3）无交点：$$\Delta<0 \Rightarrow 16-8k<0 \Rightarrow k>2$$。 五、本节易错点总结 1. 混淆对应关系：方程的根是横坐标，交点坐标必须写成 $$(x,0)$$，不能只写数值； 2. 审题不清：“与x轴一个交点”等价于 $$\Delta=0$$，不是$$\Delta>0$$； 3. 含参数题型忘记判别式列式，直接解方程导致出错； 4. 无法区分：$$y=0$$ 找x轴交点，$$x=0$$ 找y轴交点。 学习目标 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联 系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. （重点） 3. 学习目标 函数的观点 对应函数 从函数值角度 从函数图象角度 函数y=ax+b (a≠0) 函数值为___ 时，求______的值 确定直线y=ax+b与___的交点的＿坐标 解关于x 的________ 方程ax+b=0 (a≠0) 一元一次 一次 0 ax+b=0 x 轴 横 已学对象 重新分析 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 如图，下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y = x² + x - 2； (2) y = x² - 8x + 16； (3) y = x² - x + 1. 由此，你能说说方程 x² + x - 2 = 0，x² - 8x + 16 = 0，x² - x + 1 = 0 的根的情况吗？ 探究点：二次函数与一元二次方程 (2) y = x² - 8x + 16； (1) y = x² + x - 2； (3) y = x² - x + 1. 解析式 抛物线与 x 轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y=x²+x-2 y=x²-8x+16 y=x²-x+1 0 个 1 个 2 个 x²-x+1=0,无解 4 x²-8x+16=0,x1=x2=4 -2 和 1 x²+x-2=0,x1=-2,x2=1 探究点：二次函数与一元二次方程 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数角度 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 探究点：二次函数与一元二次方程 x y O -2 2 1 3 -1 2 3 1 -3 -1 y = ax2 + bx + c y = 0 是否有解 ax2 + bx + c = 0 判断 Δ 的情况 思考：当 a＜0 时，是否同样存在公共点？动手画一画！ 想一想：抛物线 y = ax2 + bx + c (a＞0)与 x 轴是否存在公共点取决于什么？ 探究点：二次函数与一元二次方程 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴公共点 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 Δ＞0 有一个公共点 有两个相等的实数根 Δ = 0 没有公共点 没有实数根 Δ ＜0 探究点：二次函数与一元二次方程 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有公共点； 证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)， ∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0， ∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根. ∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点. 探究点：二次函数与一元二次方程 解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数. ∴ 正整数 m 的值为 1. 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0). (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 探究点：二次函数与一元二次方程 【链接中考】 1. 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为_______________. a≥-1 且 a≠0 分析：二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点， Δ = 4 + 4a≥0 a≠0 a≥-1且 a≠0 总结 若抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴有交点，则 b2-4ac≥0. 探究点：二次函数与一元二次方程 例1 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)的关系近似为 h = 20t - 5t2.小球的飞行高度能否达到 20 m? 如果能，需要多长时间？ 分析： 二次函数h = 20t - 5t2的函数值能否取20 二次方程 20 = 20t - 5t2的根的问题 探究点：二次函数与一元二次方程 解： 当 h = 20 时， 由函数关系 h = 20t - 5t2， 列得方程 20 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4 = 0， 解方程，得 t1 = t2 = 2. 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h/m t/s 20 2 这说明，当自变量 t = 2 时，二次函数h = 20t - 5t2 的函数值为 20，即当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 探究点：二次函数与一元二次方程 关于例1，回答下列问题： (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1，t2 = 3. 探究点：二次函数与一元二次方程 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到 20.5 m. (2)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗? 20.5 h = 20t - 5t2 探究点：二次函数与一元二次方程 (3) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. ∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 探究点：二次函数与一元二次方程 2.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m． （1）足球的飞行时间是多少？ 【练一练】 探究点：二次函数与一元二次方程 解：(1) 由题意，得 函数 y = at2 + 5t + c 的图象经过 (0， 0.5)，(0.8，3.5)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ， 故足球的飞行时间为 令 解得 （舍） 探究点：二次函数与一元二次方程 （2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ 解：∵抛物线的解析式为 ∴当 t = 时，y最大 = 4.5； 探究点：二次函数与一元二次方程 （3）若足球飞行的水平距离 x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系 x =10 t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为 28 m，他能否将球直接射入球门？ 解：把 x = 28 代入 x = 10t 得 t = 2.8， ∴当 t = 2.8 时， ∴他能将球直接射入球门． 探究点：二次函数与一元二次方程 知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. 二次函数 的图象如图 所示，对称轴为直线，图象与 轴 的一个交点坐标为 ，则方程 的根为( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 中考考法 21 2. 若关于的一元二次方程 的两个根为 ,，则二次函数 的图象 的对称轴为( ) B A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 中考考法 22 3. 若函数的图象与 轴有交 点，则 的取值范围是( ) C A. B. 且 C. D. 且 【点拨】 当时，函数 是二次函数. 函数的图象与 轴有交点， ,解得,且 .当 时，函数是一次函数，图象与 轴有交点. 综上所述 . 中考考法 23 Δ = b2-4ac 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) 的根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 没有实数根 x1 = x2 = 课堂小结 $