26.4.1几何图形的最大面积 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决几何图形最大面积问题，通过跳水运动高度与时间关系实例导入，衔接二次函数最值求法，梳理解题步骤、经典模型，构建从函数性质到几何应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力），以通用解题模板、高频模型（如靠墙围栏）和问题链引导探究，分层习题巩固。易错点总结助力学生规避错误，教师可直接用于教学，提升效率与学生应用意识。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.4.1几何图形的最大面积 第二十六章 二次函数 26.4.1 几何图形的最大面积 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 解题核心原理 几何图形最大面积问题，是二次函数最值的经典实际应用。核心思路：根据几何边长、周长关系，建立面积关于边长的二次函数解析式，利用二次函数顶点最值，求解图形的最大（最小）面积，同时必须结合实际限定自变量取值范围。 2. 通用解题步骤（必考答题模板） ① 设未知数：设图形的一条关键边长为$$x$$； ② 表示边长：用含$$x$$的代数式表示出图形的其他边长； ③ 列函数式：根据几何面积公式，列出面积$$S$$与$$x$$的二次函数解析式； ④ 定取值范围：根据边长为正数、图形存在条件，确定$$x$$的取值范围； ⑤ 求最值：利用顶点坐标求最值，若顶点横坐标在取值范围内，顶点处取最值；若不在，在区间端点取最值。 3. 高频经典模型（矩形面积最值） 模型1：固定周长的矩形，正方形时面积最大； 模型2：一边靠墙，用固定长度围栏围矩形，平行于墙的边长为围栏总长的一半时，矩形面积最大； 4. 最值判定规则 二次函数$$S=ax^2+bx+c$$，$$a<0$$开口向下，图象顶点为最高点，存在最大面积；$$a>0$$开口向上，无最大面积，仅有最小面积（面积应用题几乎均为$$a<0$$）。 二、基础巩固习题 （一）填空题 1. 用总长为40cm的铁丝围成矩形，矩形的最大面积是________cm²。 2. 矩形的一边长为$$x$$，另一边长为$$10-x$$，则矩形面积$$S$$与$$x$$的函数解析式为________。 （二）基础解答题 3. 已知一个矩形的周长为36m，设矩形的一边长为$$x$$m，求矩形面积的最大值。 三、综合提升习题 （三）拔高解答题（靠墙围栏模型） 4. 用总长为60m的围栏，一边靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积。 5. 如图，在△ABC中，底边BC=12cm，高AD=8cm，截取一个内接矩形EFGH，矩形一边在BC上，设矩形的高为$$x$$cm，求矩形的最大面积。 四、参考答案与详细解析 1. 100 解析：周长固定，正方形面积最大，边长$$40\div4=10$$cm，面积$$10\times10=100$$cm²。 2. $$S=-x^2+10x(0<x<10)$$ 解析：矩形面积=长×宽，结合边长大于0确定自变量范围。 3. 解：设一边长为$$x$$m，则另一边长为$$(18-x)$$m，面积$$S=x(18-x)=-x^2+18x$$。 $$a=-1<0$$，抛物线开口向下，顶点处取最大值。对称轴$$x=9$$，在取值范围内。 当$$x=9$$时，$$S_{max}=-81+162=81$$。答：矩形最大面积为81m²。 4. 解：设垂直于墙的边长为$$x$$m，则平行于墙的边长为$$(60-2x)$$m。 面积$$S=x(60-2x)=-2x^2+60x(0<x<30)$$。 $$a=-2<0$$，对称轴$$x=15$$，此时$$S_{max}=-2\times225+900=450$$。 答：菜园最大面积为450m²。 5. 解：设矩形高为$$x$$cm，则剩余三角形的高为$$(8-x)$$cm。 由相似三角形得：矩形底边长$$=12-\dfrac{3}{2}x$$。 面积$$S=x\left(12-\dfrac{3}{2}x\right)=-\dfrac{3}{2}x^2+12x(0<x<8)$$。 对称轴$$x=4$$，代入得$$S_{max}=-\dfrac{3}{2}\times16+48=24$$。 答：矩形最大面积为24cm²。 五、本节易错点总结 1. 遗漏自变量取值范围：几何边长必须大于0，不判定范围直接求最值，极易扣分； 2. 靠墙模型边长表示错误：垂直墙、平行墙的边长代数式混淆，导致解析式出错； 3. 误区：所有最值都在顶点，若顶点横坐标不在取值区间内，最值取区间端点； 4. 相似三角形模型易错：内接矩形需利用相似求底边长度，不能直接套用固定公式。 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值； 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 学习目标 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度 h (单位：m) 与起跳后的时间 t (单位：s)之间的关系式是 h = -4.9t2 + 2.8t + 11．运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位) 追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 运动员的重心相对于水面的高度 h 与起跳后的时间 t 之间的关系 引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11． 追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ 画出二次函数图象. h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 追问3：根据观察，小球的最高点对应函数图象的哪个点呢？ 追问4：小球的运动中最大高度对应函数中的哪个值？ 顶点. 顶点的纵坐标. 引例： h = -4.9t2 + 2.8t + 11. h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 解：对于二次函数h = -4.9t2+2.8t+11，当 时，h 有最大值 因此，运动员起跳后大约 0.3 s 时，其 重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 追问5 如何求出小球的最大高度？ h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 函数 h = -4.9t2 + 2.8t + 11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ h= -4.9t2+2.8t+11 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 【想一想】 思考1 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 思考2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 思考3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则根据二次函数的增减性确定其最值. 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 例1 求下列函数的最大值与最小值： x O y 解： -3 1 （1） ∴ 当 时，有 当 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 解： O x y 1 -3 （2） ∴ 当 x = -3 时，有 ∴ 当 -3≤x≤1 时 y 随着 x 的增大而减小. 当 x = 1 时，有 探究点1： 求二次函数的最大（或最小）值 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ 矩形面积与一边长的关系. 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 20 - 2x x x ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m， 矩形菜园的面积 S = x(20 − 2x)， ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∴0＜x＜10. x＞0 20 − 2x＞0 即 S = −2x2 + 20x (0＜x＜10). 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 ③ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 m². 20 - 2x x x 当 时，S 有最大值 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 变式：如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 60 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18， x＞0 60 − 2x＞0 是否依然在 x = 15 时，S 取得最大值？ 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 O x y 30 21 ∵ 15＜21， x = 15 ∴ 当 21≤ x＜30 时， S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值， 此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式 求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式， 然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的 范围求函数最值. 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 【链接中考】1. 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? A B C D 15m 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 解：设 BC 的边长为 x m， 解：(1) 由题意得， (0＜x≤15). (2) ∴ 当 x＜20 时，S 随 x 的增大而增大， 而 0＜x≤15. ∴ 当 x = 15 时，S 有最大值， 即矩形 ABCD 的面积最大. A B C D 15m x 探究点2： 二次函数与几何图形面积的最值 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 最值有时不在顶点处，要利用函数的增减性来确定 课堂小结 $