26.4.4数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数全章复习，涵盖概念、图象性质、与方程关系及实际应用。通过“哪个积最大”和“刹车距离”活动导入，从具体问题出发，搭建“设变量-建函数-求最值”学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以实际问题驱动，通过“观察-猜想-建模-验证”过程培养数学眼光和思维。如用二次函数验证“和定两数积最大”规律，拟合刹车距离函数模型，发展抽象能力与模型意识。学生能提升应用能力，教师可借助实例优化教学。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 数学活动：哪个积最大和刹车距离与刹车时车速的关系 第二十六章 二次函数 第二十六章 二次函数 全章总复习 一、二次函数基础概念（26.1） 1. 定义 一般地，形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$ 为常数，$$\boldsymbol{a eq0}$$）的函数叫做二次函数。 三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数 $$a eq0$$。 2. 三种解析式形式 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点） 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值） 交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点） 二、二次函数图象与性质（26.2 核心重点） 1. 最简形式：$$y=ax^2$$ 图象：抛物线，顶点 $$(0,0)$$，对称轴为y轴； $$a>0$$ 开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增； $$a<0$$ 开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减； 开口宽窄：$$|a|$$ 越大，开口越窄；$$|a|$$ 越小，开口越宽。 2. 平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$ $$y=ax^2+k$$上下平移 ：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点 $$(0,k)$$，仅改变最值； $$y=a(x-h)^2$$左右平移 ：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线 $$x=h$$，增减性以$$x=h$$ 分界。 3. 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式） 顶点$$(h,k)$$，对称轴直线 $$x=h$$； $$a>0$$，最小值 $$y=k$$；$$a<0$$，最大值 $$y=k$$； 所有平移均可由 $$y=ax^2$$ 先左右、后上下平移得到。 4. 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$ 对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 系数符号规律： ① $$a$$：定开口；② $$c$$：定与y轴交点 $$(0,c)$$；③ $$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。 三、二次函数与一元二次方程（26.3） 1. 核心关系 令 $$y=0$$，二次函数 $$y=ax^2+bx+c$$ 转化为方程 $$ax^2+bx+c=0$$； 方程的根 = 抛物线与x轴交点的横坐标。 2. 判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 三种对应关系 $$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点； $$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）； $$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 方程近似解 夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。 四、二次函数实际应用（26.4 中考必考大题） 1. 几何图形最大面积问题 解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值； 经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。 2. 商品最大利润问题 核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量； 两类模型：涨价少卖、降价多卖； 关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。 3. 抛物线实物与运动轨迹问题 解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义； 静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）； 动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。 五、全章高频易错点汇总 1. 平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆； 2. 顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$ 顶点横坐标为 $$-h$$； 3. 对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 是高频计算错误点； 4. 实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点； 5. 方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$； 6. 增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。 六、全章解题技巧总结 1. 求最值优先配方或用顶点公式，无需描点； 2. 图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除； 3. 实际问题优先设变化量为x，简化列式； 4. 抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。 1.掌握用二次函数求“和定两数”最大积的方法，能拟合刹车距离的二次函数模型. (难点、重点) 2.经历“观察一猜想一建模一验证”过程，提升数据分析与建模能力，感受数学的实用性. 学习目标 探究点一：哪个积最大 (1) 观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于 10)，猜想其中哪个积最大：91×99，92×98， ···，98×92，99×91. 问题1：观察算式：两个乘数的十位都是 9，个位和为 10，这两个乘数的和是有什么样的特点？ 猜想：当两个乘数的差最小时，积最大，即 95×95的积最大. 问题2：观察算式特点，猜想：哪两个数的乘积最大？ 固定和为 189. 问题3：你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？ 设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 90 + x，100 - x. 设它们的积为 y，则 y = (90 + x)(100 - x) = -x² +10x + 9000 其中 x 为整数，且 0≤x≤10. 这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为 当 x = 5 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 95×95，验证猜想正确. (2) 观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100)，猜想其中哪个积最大： 901×999，902×998，···，998×902，999×901. 问题1：类比两位数规律，这组算式的特征是什么？ 百位为 9，后两位和为 100，和为固定值 问题2：直接猜想：哪两个数的乘积最大？ 类比 95×95，猜想 950×950. 问题3：仿照两位数的方法，如何建模验证？ 设第一个数的个位数字为 x，则第二个数的个位数字为 10 - x，两个乘数分别为 900 + x，1000 - x. 设它们的积为 y，则 y = (900+ x)(1000 - x) = -x² +100x + 900000 其中 x 为整数，且 0≤x≤100. 这是一个开口向下的二次函数，顶点横坐标为 当 x = 50 时，y 取得最大值，此时两个乘数为 950×950，验证猜想正确. 问题4：结合两个例子，能总结出什么通用规律？ 和一定的两个正数，差越小，乘积越大；相等时乘积最大 【归纳小结】 利用“二次函数顶点求最值”的核心性质，可得出结论—当两个数的和固定时，两数相等(或最接近)时积最大； 解题核心流程为“设变量→建二次函数→找顶点求最值”. 探究点二：刹车距离与刹车时车速的关系 由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表： 刹车时车速/ (km/h) 40 48 56 64 72 80 刹车距离/m 17 22.4 27.9 35.3 43.4 52.8 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 O （1）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象. 刹车时车速 x (km/h)为横坐标，刹车距离为 y (m)纵坐标 根据图象，你能推测出这是个什么函数吗？ 二次函数 刹车时车速 x (km/h) 刹车距离为 y (m) （2）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式. 设二次函数解析式为 y = ax² + bx + c，选取表格中 (40，17)，(64，35.3)，(80，52.8) 三组典型数据代入解析式，列方程组求解系数 a，b，c. 1600a + 40b + c = 17， 4096a + 64b + c = 35.3， 6400a + 80b + c = 52.8， 解得近似解析式: y≈0.0082x² - 0.1x + 7.7. 将 х = 56 代入验证，得 y≈27.82，与实测值 27.9 误差较小，说明模型合理. （3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为 70 m，已知这条高速公路限速 100 km/h. 请根据你确定的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？ 当 y = 70 时，0.0082x² - 0.1x + 7.7 = 70. 解得 x≈93.5 (负值舍去). 这个结果小于高速限速 100 km/h，说明车辆未超速行驶. 【归纳小结】刹车距离与车速呈二次函数关系，结合“函数模型拟合原则”，可通过“描点定类型→代入求解析式→多组数据验误差”建立实用模型；该模型是对实际问题的近似刻画，误差在合理范围内即可判定有效. 1.二次函数的应用场景：求最值（如乘积最大值）、解决实际问题（如刹车距离问题）. 2.解题步骤: (1) 分析问题，设变量，找等量关系; (2) 建立二次函数模型； (3) 利用函数性质（顶点、单调性）解决问题； (4) 检验结果的实际意义. 3.数学思想：数形结合、建模思想、从特殊到一般. 1. 某汽车刹车距离解析式为 y = 0.005x² + 0.05x + 2，当车速为 60 km/h 时，刹车距离约为 米. (保留一位小数) 2. 已知两个数的和为 170，且十位数字均为 8，个位数字之和为10. (1) 设其中一个数的个位为 x，写出两数乘积的二次函数解析式； (2) 求这两个数的最大积，并写出对应的两个数. 30.2 解：(1) y = (80 + x)(90 - x) = - x² + 10x + 7200； (2) 最大积为 7225，对应两数为 85 和 85. 类型1 线段的最值问题 1.如图，抛物线 交 轴于，两点，交轴于点，点 的坐标 为，顶点的坐标为 . （1）求抛物线和直线 的解析式； 中考考法 16 【解】设抛物线的解析式为 ， 将点 的坐标代入, 得,解得 , 抛物线的解析式为 . 令，则， 点的坐标为 . 中考考法 17 设直线的解析式为 . 将点的坐标代入,得 ，解 得 , 直线的解析式为 . 中考考法 （2）点是直线 上的一个动点，过点 作轴的垂线，交抛物线于点，当点 在第一象限时，求线段 长度的最大值. 中考考法 19 设点的横坐标为，则 ， ， ， 当时，线段 长度有最大值， 最大值为 ． . 点在第一象限， . 中考考法 20 类型2 线段和的最值问题 2.如图，抛物线 经过 ，两点，并交 轴于另一点 ，点是抛物线的顶点，直线与 轴 交于点 ． 中考考法 21 （1）求该抛物线的解析式； 【解】 抛物线 经过 ， 两点， 解得 该抛物线的解析式为 . 中考考法 22 （2）若点是轴上一动点，分别连接， ，求 的最小值． 中考考法 23 ， 顶点的坐标为 . 设直线的解析式为 ， 则 解得 直线的解析式为 . 当时，， . 中考考法 24 作点关于轴的对称点 ，连接 ，，如图，则 ， ， 即的最小值为 的长. ， 的最小值为 ． 中考考法 $