26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在抛物线形实物及运动轨迹中的应用，涵盖拱桥、投篮等实际问题的解题步骤，通过生活实例导入，引导学生建立坐标系将实物转化为函数模型，搭建二次函数图象与性质的知识支架。 其亮点是采用“解题万能模板”步骤化教学，结合静态、动态模型分类及中考真题，培养学生数学眼光和模型意识。易错点总结帮助学生规避错误，分层习题助力学生逐步掌握转化方法，教师可借此提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.4.3抛物线形实物及运动轨迹问题 第二十六章 二次函数 26.4.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 题型本质 拱桥、隧道、投篮、喷水、抛球、导弹飞行等实物/运动轨迹，本质都是二次函数图象的实际应用。所有轨迹均为抛物线，通过建立平面直角坐标系，设出抛物线解析式，代入已知点坐标求解参数，进而解决高度、宽度、距离、最值等问题。 2. 解题核心步骤（考试万能模板） ① 建系：根据图形特征合理建立平面直角坐标系（优先以顶点为原点、对称轴为y轴，计算最简单）； ② 找点：提取题目中已知的关键点坐标（端点、最高点、落地点、交点等）； ③ 设式：已知顶点优先设顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$；无顶点信息设一般式； ④ 求参：代入点坐标求出系数，确定完整抛物线解析式； ⑤ 解题：已知横坐标求高度、已知纵坐标求宽度，或求最大高度、水平距离等； ⑥ 验实际：舍去不符合实际场景的负数、超范围数值。 3. 两大经典模型 模型① 静态实物抛物线：拱桥、隧道、门洞、喷水柱，固定形状，考查限高、限宽、跨度问题； 模型② 动态运动抛物线：篮球投篮、实心球投掷、小球飞行、导弹轨迹，考查飞行时间、最大高度、落地距离。 4. 重要解题技巧 （1）对称大法：抛物线左右对称，已知一侧点坐标可直接得对称点坐标，减少计算； （2）最大高度：抛物线顶点纵坐标即为运动物体的最大高度； （3）落地问题：落地时高度$$y=0$$，求解对应的正x值即为水平飞行距离。 二、基础巩固习题 （一）填空题 1. 以抛物线拱桥的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，解析式为$$y=-0.02x^2$$，则拱桥的最大高度为________m。 2. 小球飞行轨迹满足$$y=-x^2+4x$$（$$y$$为高度，$$x$$为水平距离），则小球的最大飞行高度是________。 （二）基础解答题 3. 一座抛物线型拱桥，建立坐标系后解析式为$$y=-\dfrac{1}{8}x^2+2$$，求拱桥的最大跨度（与地面两交点的水平距离）。 三、综合提升习题 （三）拔高解答题 4. 喷泉喷水轨迹为抛物线，以喷水口为原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立坐标系。已知水流在水平距离2m处达到最大高度4m，求抛物线解析式，并求水平距离4m处的水流高度。 5. 篮球投篮轨迹是抛物线，球出手点坐标$$(0,2)$$，当水平前进3m时达到最大高度3.5m，求篮球飞行轨迹解析式，并求篮球落地时的水平距离（精确到0.1m）。 四、参考答案与详细解析 1. 0 解析：顶点在原点，为拱桥最高点，水面位置根据实际取值，顶点高度为0（建系规则）。 2. 4 解析：$$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$$，顶点纵坐标为4，最大高度为4。 3. 解：地面高度$$y=0$$，令$$-\dfrac{1}{8}x^2+2=0$$，解得$$x^2=16$$，$$x_1=4，x_2=-4$$。 两交点距离：$$4-(-4)=8$$（m）。答：拱桥最大跨度为8m。 4. 解：由题意得顶点坐标$$(2,4)$$，设顶点式$$y=a(x-2)^2+4$$。 图象过原点$$(0,0)$$，代入得：$$0=a(0-2)^2+4$$，解得$$a=-1$$。 解析式：$$y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$$。 当$$x=4$$时，$$y=-16+16=0$$。答：解析式为$$y=-x^2+4x$$，水平4m处水流高度为0m。 5. 解：顶点$$(3,3.5)$$，设解析式$$y=a(x-3)^2+3.5$$。 代入出手点$$(0,2)$$：$$2=a(0-3)^2+3.5$$，$$9a=-1.5$$，解得$$a=-\dfrac{1}{6}$$。 解析式：$$y=-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5$$。 落地时$$y=0$$，解方程：$$-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5=0$$， $$(x-3)^2=21$$，$$x=3\pm\sqrt{21}$$，舍去负根，$$x=3+\sqrt{21}\approx7.6$$。 答：轨迹解析式为$$y=-\dfrac{1}{6}(x-3)^2+3.5$$，落地水平距离约7.6m。 五、本节易错点总结 1. 建系随意出错：不规范建系会导致坐标全部错误，优先顶点、对称轴建系，简化计算； 2. 混淆横纵坐标：高度对应$$y$$，水平距离对应$$x$$，切勿颠倒代入； 3. 落地问题漏取舍：解方程会出现正负两个根，实际距离必须取正数根； 4. 忽略顶点意义：最大高度、最高位置直接看顶点纵坐标，无需代值试算； 5. 实物题型忘记验证：车辆通行、船只通过需验证对应宽度、高度是否满足实际条件。 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点) 2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点) 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 学习目标 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？ 怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 引例 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面 4 m时，水面宽 10 m. 突降暴雨后水面上升 1 m，此时水面宽为多少？ 实际问题：水面上升 1 m，水面宽度为多少 几何问题：如图，求 AB. A B 思考：如何把拱桥的纵截面转化为二次函数图象呢？ 1. 确定原点 2. 确定单位长度 抛物线形拱桥 建立数学模型 二次函数 解析式 y O x y O x y O x y O x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 (0，0) (10，0) (5，4) y o x (1) y = a(x − h)2 + k 或 y = ax2 + bx (-5，0) (5，0) (0，4) y o x (-5，-4) (5，-4) (0，0) y o x 想一想 根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. (3) y = ax2 (2) y = ax2 + k 图① 图② 图③ 谁最合适？为什么？ 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 x O y 5 -5 -4 A 问题1 建立如图直角坐标系， 如何确定 a 的值？ 已知水面宽 10 m 时，拱顶离水面高 4 m，因此点 A (5，-4) 在抛物线上，由此得出 解得 因此， y＝－x²，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 a＝－ 问题 2 水面上升 1 m，水面宽度增加多少？ 即水面上升 1 m 时，水面宽度增加了 . 这条抛物线表示的二次函数为 y＝－x² 当水面上升 1 m 时，水面的纵坐标为 -3. 令 －3＝－x²，解得 x1＝x2＝－ . 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 x O y 5 -5 -4 A 【归纳总结】 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 解：建立如图直角坐标系， 设该拱桥形成的抛物线的解析式为 y = ax2. ∵ 该抛物线过点 (10，−4)， ∴ −4 = 100a，故 a = −0.04. ∴ y = −0.04x2. 【练一练】1. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m. 建立如图所示的直角坐标系，求出这条抛物线表示的函数的解析式. 20 m y O A B x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式； O C A B y x 将其代入 抛物线 中，得 c＝4， 解：根据题意，得 C (0，4). ∴ 抛物线解析式为 y＝− x2 + 2x + 4. 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 (2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ∴这辆货车能安全通过. ∴ 对称轴为 x＝6. 由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)， 6 2 10 O C A B y x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 8 O C A B y x 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 例2 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 分析：建立合适的直角坐标系， 利用二次函数的图象和性质求解. 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 解：建立平面直角坐标系如图. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)， 篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 解得 a = －0.2， k = 3.5. 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5 时，y = 2.25 . 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 1.52·a + k = 3.05， k = 3.5. x y O 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 【练一练】2. 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使 喷出的水流不致落到池外？ 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 解：建立如图所示的坐标系， 根据题意，得 A 点坐标的为 (0，1.25)， 顶点 B 的坐标为 (1，2.25). 数学化 O ● C ● D x y A ● B (1，2.25) (0，1.25) ● 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m， 才能使喷出的水流不致落到池外. 当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)； 同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). 设右边抛物线的解析式为 y = a (x - 1)2 + 2.25，代入点 A 的坐标，可得 a = - 1，故 y = - (x - 1)2 + 2.25. O ● C ● D x y A ● B (1，2.25) (0，1.25) ● 探究点： 利用二次函数解决抛物线形实物问题 应用1 池塘问题 1.某池塘的截面如图所示，池底呈 抛物线形，以水平地面为 轴，垂直 于水平地面且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 ，池底最深处距 离水平地面，原来的水面宽 ，若池塘中水面的 宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为______. 中考考法 20 应用2 拱桥问题 2. [2025广东] 如图，某跨海钢箱 梁悬索桥的主跨长 ，主塔高 ，主缆可视为抛物线，主缆垂度 为，主缆最低处距离桥面 ，桥面距离 海平面约 . 请在示意图中建立合适的平面直角坐标系， 并求该抛物线的解析式.#1 中考考法 21 【解】（答案不唯一）建立平面 直角坐标系，如图所示. 则抛物线顶点坐标为 ，,，即 ， 设该抛物线的解析式为 ， 将的坐标代入 .得 ，解得 ， 该抛物线的解析式为 . 中考考法 22 应用3 隧道问题 3. [2026阜阳期末] 某隧道的截面由抛物 线和长方形构成，若隧道宽度 为 ，最高处离地面 ，长方形的宽为 .如图，现以点为原点， 所在的直线 （1）求出抛物线的解析式（写出自变量的取值范围）. 为轴，所在的直线为 轴建立平面直角坐标系. 中考考法 23 【解】 隧道宽度为 ，最高处离地面 ， 抛物线的顶点坐标为 . 设该抛物线的解析式为 . 长方形的宽为， 抛物线经过点 . 把的坐标代入 ，得 ， 中考考法 24 . . 该抛物线的解析式为 . 中考考法 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为 ， 如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ 中考考法 26 由（1）知该抛物线的顶点坐标为 . 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽 为 ，隧道内设双向车道， 货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一 侧与地面交点的横坐标为或 . 当 时， ; 中考考法 27 当 时， . 这辆货运汽车能安全通过. 中考考法 （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面 的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过 ，那么两排 路灯的水平距离最小是多少？ 中考考法 29 由（1）知 ， 依题意，令，则 ， ， 解得， ， 则 ， 两排路灯的水平距离最小是 . 中考考法 30 转化 回归 拱桥问题 抛物线形运动轨迹问题 （抛物线形实物与轨迹问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 $