26.2.2.2二次函数 y = a(x − h)2 的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数 \( y = a(x - h)^2 \) 的图象和性质，系统梳理其图象特征、平移规律、增减性与最值等核心知识点。课堂导入通过回顾 \( y = ax^2 + k \) 的平移规律，提出新函数能否由 \( y = ax^2 \) 平移得到的问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用探究式教学，通过列表描点、归纳性质表格等活动，培养学生几何直观与推理意识。结合中考链接题和易错点总结，强化知识应用，帮助学生发展抽象能力和数学思维，教师可借助分层习题和详细解析提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.2.2.2二次函数 y = a(x − h)2 的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2.2 二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象和性质 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 函数图象基本特征 二次函数\(y=a(x-h)^2(a eq0)\)的图象是抛物线，由基础抛物线\(y=ax^2\)进行左右平移得到。抛物线开口宽窄、开口方向与\(y=ax^2\)完全相同，仅位置发生水平平移。顶点坐标为\((h,0)\)，对称轴为直线\(x=h\)。 2. 平移规律（左加右减） 以\(y=ax^2\)为基础：\(h>0\)时，图象向右平移\(h\)个单位；\(h<0\)时，图象向左平移\(|h|\)个单位。平移只改变图象左右位置，不改变开口大小、开口方向，无上下平移。 3. 函数增减性与最值 当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h,0)\)为最低点，当\(x=h\)时，函数有最小值\(y=0\)；\(x<h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(x>h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h,0)\)为最高点，当\(x=h\)时，函数有最大值\(y=0\)；\(x<h\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；\(x>h\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。 4. 开口规律 开口大小仅由\(|a|\)决定，\(|a|\)越大开口越窄，\(|a|\)越小开口越宽，与\(h\)的取值无关。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 抛物线\(y=3(x-2)^2\)的对称轴是（ ） A. 直线\(x=2\) B. 直线\(x=-2\) C. \(y\)轴 D. 直线\(y=2\) 2. 将抛物线\(y=2x^2\)向左平移3个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. \(y=2(x-3)^2\) B. \(y=2(x+3)^2\) C. \(y=2x^2-3\) D. \(y=2x^2+3\) （二）填空题 3. 抛物线\(y=-5(x+1)^2\)的顶点坐标是________，开口方向是________。 4. 抛物线\(y=4(x-5)^2\)，当\(x=\)________时，函数取得最________值，值为________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 已知抛物线\(y=a(x-h)^2\)经过点\((1,0)\)和\((2,4)\)，求抛物线解析式。 6. 已知抛物线\(y=-2(x-3)^2\)，写出它的开口方向、对称轴、顶点、最值与增减性，并比较\(A(2,y_1)\)、\(B(4,y_2)\)的大小。 四、参考答案与详细解析 1. A 解析：\(y=a(x-h)^2\)对称轴为直线\(x=h\)，本题\(h=2\)，对称轴为直线\(x=2\)。 2. B 解析：左加右减，向左平移3个单位，括号内为\(x+3\)，解析式为\(y=2(x+3)^2\)。 3. \((-1,0)\)；向下 解析：\(y=-5(x+1)^2=-5(x-(-1))^2\)，则\(h=-1\)，顶点\((-1,0)\)；\(a=-5<0\)，开口向下。 4. \(5\)；小；\(0\) 解析：\(a=4>0\)开口向上，顶点处取最小值，\(x=h=5\)时，\(y=0\)。 5. 解：抛物线\(y=a(x-h)^2\)顶点在\(x\)轴上，过\((1,0)\)即为顶点，得\(h=1\)，解析式为\(y=a(x-1)^2\)。将\((2,4)\)代入得：\(a(2-1)^2=4\)，\(a=4\)。所以解析式为\(y=4(x-1)^2\)。 6. 解：\(a=-2<0\)，开口向下；对称轴为直线\(x=3\)；顶点\((3,0)\)；当\(x=3\)时，最大值为\(0\)；当\(x<3\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x>3\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。代入得：\(y_1=-2(2-3)^2=-2\)，\(y_2=-2(4-3)^2=-2\)，故\(y_1=y_2\)。 五、本节易错点总结 1. 平移口诀左加右减极易弄反：向左平移括号内加正数，向右平移括号内减正数； 2. 看错\(h\)的值：形如\(y=a(x+h)^2\)实际为\(y=a(x-(-h))^2\)，顶点横坐标为负； 3. 增减性必须以对称轴\(x=h\)为分界，不能以\(y\)轴为分界，这是本节最大易错点。 学习目标 1.会画二次函数 y = a(x − h)2 的图象；（重点） 2.掌握二次函数 y = a(x − h)2 的性质；（难点） 3.比较函数 y = ax2 与 y = a(x − h)2 的联系和区别. 学习目标 问题1 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？ 二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到： 当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到. 当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到. 问题2 函数 的图象，能否由函数 的 图象平移得到？ 形状开口均相同，应该也能. 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. y =(x + 1)2，y = (x - 1)2 (2) 抛物线 y = (x + 1)2，y = (x - 1)2与抛物线 y = x2 有什么关系？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· ··· ··· −4.5 0 −2 −0.5 列表如下： y=(x + 1)2 −4.5 −2 −0.5 x ··· −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· y=(x - 1)2 −4.5 0 −2 −0.5 −4.5 −2 −0.5 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 描点、连线，如图所示： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 (−1，0) 直线 x = 1 向下 (1，0) 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 (1) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 根据图象回答下列问题: 【做一做】 高 大 0 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大 当 x＞1 时，y 随 x 增大而减小 当 x＜1 时，y 随 x 增大而增大 -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 例1 画出二次函数 y = 2(x + 1)2，y = 2(x - 1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： x ··· −2 −1 −0.5 0 0.5 1 2 ··· ··· ··· ··· ··· 0 2 8 8 0 2 2 18 18 2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 0.5 4.5 4.5 0.5 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； 抛物线 向上 x = -1，x = 1 (1，0) (−1，0)， 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 两个函数增减性的共性 ： ___________________________ ___________________________； 低 小 y = 0 对称轴左侧，y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 【归纳总结】 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，0) (h，0) 当 x = h 时，y最小值 = 0 当 x = h 时，y最大值 = 0 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小. 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 例2 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． (1) 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). 解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. O -1 2 2 4 4 -2 x y 3 1 y＝(x﹣1)2 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 (3) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 想一想：若 −1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ 解：∵当x＞1时，y 随 x 的增大而增大，当x = 3时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， ∵当−1≤x≤5时，y 的最小值为 0， ∴当−1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 ∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8. O -1 2 2 4 4 x y 3 1 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 (4)若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜1， 试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. O -1 2 2 4 4 x y 探究点1:二次函数y = a(x - h)2 (a≠0)的图象和性质 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 想一想 抛物线 y = 2(x + 1)2， y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. (1，2 ) (2，8 ) y = 2x2 从平移后对应点的坐标的角度探究 (1，8 ) (2，8 ) (0，2 ) 类似地，可以说下抛物线 y = 2(x - 1)2 与抛物线 y = 2x2 的关系. (1，2 ) 横坐标减 1 (1，8 ) (0，2 ) y=2(x+1)2 向左平移 1 个单位长度 y = 2(x + 1)2 y = 2x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2(x + 1)2 y = 2(x - 1)2 y = 2x2 向右平移 1 个单位 向左平移 1 个单位 向 x 轴正方向平移 向 x 轴负方向平移 从形的角度探究 y = 2x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 向左平移 1 个单位 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 向右平移 1 个单位 O −2 2 -2 -4 -6 4 −4 x y 【想一想】 y=(x+1)2，y =(x-1)2 y=x2 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 【归纳总结】 y = ax2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 y = a(x + h)2 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 当 h > 0： 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 【链接中考】 1. 将二次函数 y＝－2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A. 向上平移 1 个单位长度 B. 向下平移 1 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度　 D. 向右平移 1 个单位长度 C 探究点2: 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)的图象的关系 知识点1 二次函数 的图象 1. 二次函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 中考考法 21 2. 对于抛物线 ,下列说法正确的 有( ) ①开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线 ； ④与轴的交点坐标为 . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 22 3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 和二次函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 中考考法 23 知识点2 二次函数 的性质 4. [2026东莞模拟] 若抛物线 上有三个 点，，，则，， 的大小关 系为( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 5. 已知二次函数,当时,随 的增大而 增大；当时,随的增大而减小,则当时, 的值为 ( ) D A. B. 12 C. 32 D. 中考考法 25 6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征： 小明：函数图象的顶点在 轴上； 小智：函数图象的对称轴是直线 ； 小文：函数有最大值. 请你写出一个符合上述条件的二次函数解析式： ____________________________. （答案不唯一） 中考考法 知识点3 抛物线与 间的关系 7. 把抛物线 向右平移2个单位长度，则平移后所得 抛物线对应的函数解析式为( ) D A. B. C. D. 中考考法 27 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线 平移后经过原点 ，则平移的方式可能是( ) D A. 向上平移3个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 中考考法 28 9. 设函数，，直线 与函 数，的图象分别交于点， ，则下列选项， 正确的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 中考考法 29 10. 已知二次函数,当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值的最大值为,则常数 的值 为( ) D A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 中考考法 30 探索 y =a(x±h)2的图象及性质 开口方向及增减性 对称轴 直线 x = h (h，0) a > 0，开口向上 a < 0，开口向下 a 的符号和 h 的值决定增减性 y = ax2 左右平移 h 个单位 顶点坐标 平移规律： 自变量 左加右减， 括号外 保持不变. 课堂小结 $