22.2　二次函数与一元二次方程 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“二次函数与一元二次方程”核心内容，通过一次函数与一元一次方程关系类比导入，以小球飞行高度问题为载体，搭建从实际问题到抽象关系的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以真实情境驱动，观察小球高度变化培养数学眼光，归纳交点与判别式关系发展推理意识，结合表格、图象分析方程根体现模型意识。分层作业设计助学生巩固，教师可高效实施教学。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.2　二次函数与一元二次方程 单击此处编辑母版文本样式 22.2　二次函数与一元二次方程 单击此处编辑母版文本样式 1.知道二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解,体会数形结合思想. ◎重点:二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. ◎难点:利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 单击此处编辑母版文本样式 观察下面的一次函数图象,直接写出方程2x-4=0的解　　,类比一次函数与一元一次方程的关系,你能由二次函数的图象,猜想一元二次方程x2-3x+2=0的解吗?  x=2 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 利用二次函数值解决实际问题     请你阅读课本“问题”至“思考”前面的内容,思考:如何利用二次函数的知识解决实际问题? 阅读思考:1.回答课本第一片云朵中的问题. 单击此处编辑母版文本样式 答:小球在某一时间高度达到15 m,然后继续上升,达到最大高度后开始下落,经过一段时间,小球的高度又回落到15 m,所以在两个时间小球的高度都为15 m. 单击此处编辑母版文本样式 2.回答课本第二片云朵中的问题. 答:小球在某一时间达到最大高度20 m,所以只在一个时间小球的高度为20 m. 单击此处编辑母版文本样式 深入讨论:说一说怎样将“问题”中的四个题由函数问题转化成方程问题. 答:将问题中h的值代入函数解析式,得到关于t的一元二次方程,如果方程有合乎实际的解,说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值;否则,说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　二次函数与一元二次方程的关系,可以从两个方面看:(1)从函数解析式看,就是已知函数值求　 　;(2)从函数图象看,就是求直线y=h(h≥0)与抛物线的　 　.  自变量的值 公共点的横坐标 单击此处编辑母版文本样式 利用二次函数图象解一元二次方程    请你阅读课本“思考”至本节结束的内容,思考:二次函数的图象与x轴的公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间有什么关系? 观察图象:1.抛物线y=x2+x-2与x轴有　　个公共点,它们的横坐标分别是　 　.当x取　 　时,函数值是0,由此得出方程x2+x-2=0的根是　 　.  两 -2,1 -2,1 -2,1 单击此处编辑母版文本样式 2.抛物线y=x2-6x+9与x轴有　　个公共点,其横坐标是　　.当x取　　时,函数值是0,由此得出方程x2-6x+9=0有两个　　的实数根　　.  一 3 3 相等 3 单击此处编辑母版文本样式 3.抛物线y=x2-x+1与x轴　 　公共点,由此得出方程x2-x+1=0　 　实数根.  归纳总结　(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是　 　,因此x=　　是方程ax2+bx+c=0的一个根.  没有 没有 0 x0 单击此处编辑母版文本样式 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:　 　,　 　,　 　.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:　 　,　 　,　 　.  没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 单击此处编辑母版文本样式 深入讨论:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数与b2-4ac的取值有什么关系? 答:当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 单击此处编辑母版文本样式 判断方程根的取值范围 1.根据下表中的对应值判断:方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的取值范围是 ( ) A.3<x<3.23　　　　　 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 C x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 根据图象提取信息 2.已知二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①b2-4ac>0;②3是方程ax2+bx+c=0的一个根;③当-1<x<3时,y<0;④当x<-1或x>3时,y<0.其中错误的是　　.  ③ 单击此处编辑母版文本样式 抛物线与x轴的交点个数与b2-4ac取值的关系 3.已知函数y=x2-mx+m-2. (1)求证:不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点. (2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:∵b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0, 故二次函数的图象与x轴恒有2个不同的交点. (2)当m=2时,y=x2-2x,与x轴的交点为(0,0),(2,0). 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　抛物线y=ax2+bx+c,当　 　时,抛物线与x轴有两个交点;当　 　时,抛物线与x轴有一个交点;当　 　时,抛物线与x轴没有交点.  b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 单击此处编辑母版文本样式 直线与抛物线相交问题 4.如图,直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B,C两点. (1)求抛物线的解析式. (2)如图,点E是抛物线上的一动点(不与B,C两点重合),△BEC的面积记为S,当S取何值时,对应的点E有且只有三个? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)当x=0时,y=-x+3=3,则B(0,3), 当y=0时,-x+3=0,解得x=4,则C(4,0), 把B(0,3),C(4,0)代入y=ax2+x+c得 所以该抛物线的解析式为y=-x2+x+3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)当点E在直线BC下方的抛物线上时,一定有两个对应的点E满足△BEC的面积为S, 所以当E点在直线BC上方的抛物线上时,只能有一个对应的E点满足△BEC的面积为S, 即此时过E点的直线与抛物线只有一个公共点, 设此时直线解析式为y=-x+b, 单击此处编辑母版文本样式 方程组只有一组解, 方程-x2+x+3=-x+b有两个相等的实数解, 则Δ=122-4×3×(-24+8b)=0,解得b=,解方程得x1=x2=2, 单击此处编辑母版文本样式 所以点E的坐标为(2,3), 此时S△BEC=×4× 3- =3, 所以当S=3时,对应的点E有且只有三个. 单击此处编辑母版文本样式 1抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 A 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2二次函数y=x2-3x的图象与x轴的两个交点的坐标分别为 ( ) A.(0,0),(0,3) B.(0,0),(3,0) C.(0,0),(-3,0) D.(0,0),(0,-3) B 单击此处编辑母版文本样式 3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,由图象可知一元二次方程ax2+bx+c=0的较大的解是 ( ) A.-2 B.2 C.4 D.6 D 单击此处编辑母版文本样式 4二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0),(3,0),则方程ax2+bx+c=0的解为　 　.  x1=1,x2=3 单击此处编辑母版文本样式 5二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,图象与x轴交于(-1,0),(3,0). (1)求二次函数的解析式. (2)当y<0时,x的取值范围是　　　　.  单击此处编辑母版文本样式 解:(1)把(-1,0),(3,0)分别代入y=x2+bx+c(a≠0), 得 解得 ∴二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 单击此处编辑母版文本样式 (2)由二次函数图象可知当y<0,即函数图象在x轴下方时,x的取值范围是-1<x<3. 故答案为-1<x<3. 单击此处编辑母版文本样式 6已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 C 单击此处编辑母版文本样式 7已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2022的值为 ( ) A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 D 单击此处编辑母版文本样式 8根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的范围是 ( ) A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 C x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06 单击此处编辑母版文本样式 9若函数y=(m2-1)x2+(2m+1)x+1的图象与x轴只有一个交点,求m的值. 单击此处编辑母版文本样式 解:①若函数是二次函数,该图象与x轴只有一个交点,则Δ=0,即(2m+1)2-4(m2-1)=0,4m+5=0,m=-; ②若函数是一次函数,该图象与x轴只有一个交点,则m2-1=0且2m+1≠0,∴m=±1. 综合①②,m=-或-1或1. 单击此处编辑母版文本样式 10如图,直线y=-x+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y= -x2+bx+c经过点A,点C,且交x轴于另一点B. (1)求抛物线的解析式. (2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)令x=0,得y=-x+2=2, ∴A(0,2), 令y=0,得y=-x+2=0,解得x=4, ∴C(4,0). 把A,C两点代入y=-x2+bx+c,得   单击此处编辑母版文本样式 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2. 单击此处编辑母版文本样式 (2)如图,过点M作MN⊥x轴,与AC交于点N. 设M (a,-a2+a+2) ,则N( a,-a+2) , ∴S△ACM=·MN·OC= (-a2+a+2+a-2) ×4=-a2+2a, S△ABC=·BC·OA=×(4+2)×2=6, 单击此处编辑母版文本样式 ∴=S△ACM+S△ABC=-a2+2a+6=-(a-2)2+8, ∴当a=2时,四边形ABCM面积最大,其最大值为8,此时点M的坐标为(2,2). 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 42 $