26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象和性质，涵盖顶点坐标、平移规律、最值与增减性等核心知识点。课堂导入通过复习y=ax²、y=ax²+k等前序函数的性质，搭建知识支架，引导学生从已知逐步过渡到新知。 其亮点在于通过探究活动（描点画图、列表分析）培养几何直观，对比表格归纳性质发展推理意识，结合喷水池、太阳镜轮廓等实际问题渗透模型意识。分层习题和易错点总结帮助学生巩固，教师可利用其系统资源提升教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.2.2.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.2.3 二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 顶点式通用特征 二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k(a eq0)\)是最完整的平移形式，图象为抛物线。由基础抛物线\(y=ax^2\)先左右平移、再上下平移得到，整合了前两节所有平移规律。核心要素：顶点坐标\((h,k)\)，对称轴为直线\(x=h\)，开口大小、方向仅由系数\(a\)决定。 2. 完整平移规律（左加右减、上加下减） 以\(y=ax^2\)为基础：\(h>0\)右移，\(h<0\)左移；\(k>0\)上移，\(k<0\)下移。平移只改变抛物线位置，不改变开口宽窄与形状，是二次函数平移的通用法则。 3. 最值与增减性（核心考点） 当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h,k)\)为最低点，\(x=h\)时，\(y_{最小}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大。 当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h,k)\)为最高点，\(x=h\)时，\(y_{最大}=k\)；对称轴左侧\(x<h\)，\(y\)随\(x\)增大而增大；对称轴右侧\(x>h\)，\(y\)随\(x\)增大而减小。 4. 开口规律 \(|a|\)越大，抛物线开口越窄、图象越陡；\(|a|\)越小，开口越宽、图象越平缓，与\(h、k\)的取值无关。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 抛物线\(y=2(x-1)^2+3\)的顶点坐标是（ ） A. \((1,3)\) B. \((-1,3)\) C. \((1,-3)\) D. \((-1,-3)\) 2. 相较于\(y=3x^2\)，抛物线\(y=3(x+2)^2-1\)的平移方式是（ ） A. 左2、上1 B. 左2、下1 C. 右2、上1 D. 右2、下1 （二）填空题 3. 抛物线\(y=-(x+3)^2-2\)的开口方向为________，对称轴为________，最大值为________。 4. 抛物线\(y=4(x-2)^2+5\)，当\(x\)________时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 已知抛物线\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点为\((2,-3)\)，且经过点\((3,1)\)，求抛物线解析式。 6. 已知抛物线\(y=-2(x-1)^2+4\)，写出它的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性，并比较点\(A(0,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)的函数值大小。 四、参考答案与详细解析 1. A 解析：顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)顶点为\((h,k)\)，本题\(h=1，k=3\)，顶点\((1,3)\)。 2. B 解析：左加右减、上加下减，\(x+2\)向左平移2个单位，\(-1\)向下平移1个单位。 3. 向下；直线\(x=-3\)；\(-2\) 解析：\(a=-1<0\)开口向下，对称轴\(x=-3\)，顶点纵坐标即为最大值\(-2\)。 4. \(\boldsymbol{>2}\) 解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴右侧\(x>2\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 5. 解：由顶点\((2,-3)\)得\(h=2，k=-3\)，解析式为\(y=a(x-2)^2-3\)。将点\((3,1)\)代入得：\(a(3-2)^2-3=1\)，解得\(a=4\)。综上，解析式为\(y=4(x-2)^2-3\)。 6. 解：\(a=-2<0\)，开口向下；对称轴为直线\(x=1\)；顶点坐标\((1,4)\)；当\(x=1\)时，函数最大值为4；当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大，当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。代入求值：\(y_1=-2(0-1)^2+4=2\)，\(y_2=-2(2-1)^2+4=2\)，故\(y_1=y_2\)。 五、本节易错点总结 1. 顶点坐标易错：\(y=a(x+h)^2+k\)中，顶点横坐标为\(-h\)，符号极易出错，务必对照\(y=a(x-h)^2+k\)标准形式转换； 2. 平移规律混淆：左右平移看括号内（左加右减），上下平移看整体末尾（上加下减），两类平移规则不可混用； 3. 增减性判断必须以对称轴\(x=h\)为分界，脱离对称轴笼统判断增减是高频错误。 学习目标 1.会用描点法画出 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象； 2.掌握二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 的图象和性质并会应用；(重点） 3.理解二次函数 y = a(x − h)2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 之间的联系.（难点） 学习目标 (1) y = ax2； 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况： y y y y x x x x O O O O y y x x O O (3) y = a(x - h)2. (2) y = ax2 + k； y y y y x x x x O O O O x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 ··· ··· ··· -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 解：先列表： 例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 探究 y =(x + 1)21 y=(x+1)21 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ ____________________________. 再描点、连线. 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 向下 直线 x = -1 (−1，−1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性： _________________________ __________________________. 试一试 画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并填空. -2 2 x y O -2 4 6 -4 2 4 向上 直线 x = -1 (−1，-2) 当 x＜-1 时，y 随 x 增大而减小； 当 x＞-1时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 【归纳总结】 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，k) (h，k) 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 【练一练】 1. 二次函数 y＝−2(x + 1)2 − 4，下列说法正确的是( ) A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 x＝1 C．图象的顶点坐标为 (1，4) D．当 x＜−1 时，y 随 x 的增大而增大 D 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点 (1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 探究点1：二次函数 y=a(xh)2+k 的图象与性质 O 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 画一画，填出下表： -2 2 -2 -4 x y 想一想： 怎样移动可以得到 ？ 向下 向下 向下 向下 x = 0 x = 0 x = -1 x = -1 (0,0) (0,-1) (-1,0) (-1,-1) y=(x+1)21 y=x2 向左平移1个单位长度 平移方法1 1 个单位长度 向下平移 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 例3 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 平移方法2 向左平移 向下平移 1个单位 1 个单位 2 4 x -2 -4 y O -2 -4 怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？ y=(x+1)21 y=x2 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 【归纳总结】 y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 【链接中考】 1. 将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 A 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 【想一想】 b3 ___ 0 k3 ___ 0 问题：一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： k1 ___ 0 b1 ___ 0 k4 ___ 0 b4 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ x y O y = k1x + b1 x y O y = k3x + b3 y = k4x + b4 y = k2x + b2 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＜ 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) a＞0， h＜0 a＞0， h＞0 a＜0， h＜0 a＜0， h＞0 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 【归纳总结】 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h (对称轴) 决定函数的增减性. 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k与y=ax2(a≠0)的关系 例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少? 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系. 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 点 (1.6，3) 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 由这段抛物线经过点 (3.6，0)， 0 = a(3.6 - 1.6)2 + 3. 解得 因此 y = a(x - 1.6)2 + 3 (0≤x≤3.6). 当 x = 0 时，y = 1.08. 也就是说，水管长应为 1.08 m. a = - . 3 4 y = (x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6). 3 4 - 探究点2：二次函数 y=a(xh)2+k 与y=ax2(a≠0)的关系 知识点1 二次函数 的图象 1. 抛物线 的顶点一定不在( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】由 知,该抛物线的顶点坐标为 .当时， ，此时顶点在第一象限，故 A不符合题意;当时， ,此时顶点在第四象 限，故D不符合题意;当时， ，此时顶点在第 三象限，故C不符合题意. 中考考法 22 （第2题） 2. 若二次函数 的图象如图所 示，则坐标原点可能是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 中考考法 23 知识点2 二次函数 的性质 3. [2025威海] 已知点,, 都在二 次函数的图象上，则,, 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 4. [2026广东实验中学期中] 若二次函数 ， 当时，随的增大而减小，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 5. 已知二次函数 ，当 时，的最小值为，则 的值为( ) D A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 中考考法 25 （第6题） 6. 为了美观，在加工 太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛 物线的形状（如图所示），对应的 两条抛物线关于 轴对称，左轮廓 所在抛物线的解析式为 B A. B. C. D. ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为( ) 中考考法 26 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0)的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移:自变量左加右减 上下平移:常数项上加下减 课堂小结 $