5.1.2 导数的概念及其几何意义提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版（2019）选择性必修第二册《5.1.2 导数的概念及其几何意义》提升训练 一 、单选题（本大题共13小题，共65分） 1.（5分）一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为 A. 从时间到时，物体的平均速度 B. 在时刻时该物体的瞬时速度 C. 当时间为时物体的速度 D. 从时间到时物体的平均速度 2.（5分）若函数，满足，且，则 A. B. C. D. 3.（5分）已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4.（5分）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 5.（5分）在一组数据，…，不全相等的散点图中，若所有样本点…，都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 A. B. C. D. 6.（5分）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 7.（5分）在极坐标系中，已知圆的方程为，则圆心的极坐标为 A. B. C. D. 8.（5分）一次调查男女学生喜欢语文学科的情况，共调查了人，具体如下：   喜欢 不喜欢 男 女     据此材料，你认为喜欢语文学科与性别  A. 有关 B. 无关 C. 不确定 D. 无法判断 9.（5分）已知定义在上的奇函数满足当时，则下列结论错误的是 A. B. 函数的值域为 C. 函数的图像关于直线对称 D. 方程最少有两个解 10.（5分）若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 11.（5分）已知，，则，，的大小关系是 A. B. C. D. 12.（5分）已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交于，两点，作，，垂足分别为，若，，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，则 A. B. C. D. 13.（5分）已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共5小题，共25分） 14.（5分）命题：，，则：______. 15.（5分）已知函数的导函数为，且满足，则_______. 16.（5分）在平面直角坐标系中，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为，设与的交点为，，则的面积为 ______. 17.（5分）某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温度与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下数据： 日期 月日 月日 月日 月日 温差 发芽数颗 根据表中月日至月日的数据，求得线性回归方程中的，则求得的______；若用月日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数，再求与实际发芽数的差，若差值的绝对值不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程 ______填“可靠”或“不可靠” 18.（5分）已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于，两点，与轴交于点，点是坐标原点．若，则的离心率为 ______. 三 、解答题（本大题共5小题，共60分） 19.（12分）已知函数  求曲线在处的切线方程；  求在上的最小值和最大值． 20.（12分）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．  ；  21.（12分）体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案》下面简称“体育健康促进行动方案”中明确提出青少年学生每天在校内参与个少于分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度里视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到下表数据： 数学成绩分 人数人 爱运动的人数人 约定：平均每天进行体育运动的时间不少于分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前以内含的为“数学成绩达标”．  求该中学高三年级本次月考数学成绩的分位数；  请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值作代  表；  请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“数学成绩达  标”是否与“运动达标”相关； 数学成绩达标人数 数学成绩不达标人数 合计 运动达标人数 运动不达标人数 合计 附： 22.（12分）已知，为的导函数．  设，讨论在定义域内的单调性；  若在内单调递减，求实数的取值范围． 23.（12分）耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度对亩产量吨的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为 海水浓度 亩产量吨 残差 求，并估计当浇灌海水浓度为时该品种的亩产量；  完成上述残差表：  统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是由解释变量引起的．请计算相关指数精确到，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？  附：残差公式，相关指数 答案和解析 1.【答案】B; 【解析】解：由导数的物理意义可知表示从时间到时，物体在时刻时该物体的瞬时速度，  故选：  由导数的物理意义可知表示在时刻时该物体的瞬时速度．  此题主要考查导数的物理意义，考查变化率与导数的意义，属于基础题． 2.【答案】C; 【解析】  此题主要考查导数的运算，属于基础题.  先求出，再对已知式子两边求导，即可求出结果.    解：因为函数，满足，且，  所以，  所以，  对已知式子两边求导，得，  所以，  所以  故选 3.【答案】D; 【解析】解：设切点为，  ，  可得过点的切线的斜率，  切线方程为：，  把点代入可得：，  整理为：，  过点能作三条直线与的图像相切方程有三个实数根．  令，，  ，  令，解得，，  可得是函数的极大值点，是函数的极小值点．  则，，  解得，  实数的取值范围是，  故选：  设切点为，利用点斜式可得切线方程，过点能作三条直线与的图像相切切线方程有三个实数根，利用导数研究函数的单调性与极值进而得出结论．  此题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其切线方程、方程的解法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.【答案】B; 【解析】  此题主要考查充分不必要条件的概念，全称量词命题，属于中档题.  先求得命题“，”为真命题时，对应的的取值范围，结合充分不必要条件的概念可得答案.解：若命题“”为真命题，  当时，，恒成立，  则，命题是真命题的充分不必要条件的的取值范围是的真子集，  结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是  故选 5.【答案】D; 【解析】解：根据回归直线方程为，  可得这两个变量是负相关，这组样本数据的样本相关系数为负值，  又所有样本点…，都在一条直线上，则有，  所以其相关系数为  故选：  根据回归直线方程为一条直线，且单调递减，判断其相关系数  此题主要考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解答该题的关键． 6.【答案】D; 【解析】解：令，，  因为当时，，所以，  所以当时，，所以在上单调递减，  所以，  即，  所以，  即  故选：  令，，由已知可得当时，，函数单调递减，然后利用函数的单调性得答案．  此题主要考查了函数的单调性与导数的关系，训练了构造函数法比较大小，考查了逻辑推理能力，属于中档题． 7.【答案】A; 【解析】解：圆的方程为，即，  展开为：，  直角坐标方程为：  配方为：，  圆心为  ，，，解得  的极坐标为：  故选：  圆的方程为，即，展开为：，把，，代入即可得出直角坐标方程，配方可得圆心直角坐标，化为极坐标即可得出．  此题主要考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8.【答案】A; 【解析】 此题主要考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 解：列联表补充如下： 喜爱 不喜爱 合计 男 女 合计 ，  ，  有的把握认为喜爱语文与性别有关．  故选 9.【答案】D; 【解析】解：，  ，则，  ，即函数的周期为，  ，选项正确；  又为奇函数，则，即，  则关于直线对称，  又周期为，则也为的对称轴，选项正确；  当时，，此时  当时，，此时  又关于直线对称，则当时，当时，  则的值域为，选项正确；  由前面对的分析以及直线的性质可知，方程最少有一个解，选项错误．  故选：  根据题意可得的周期为，进而可知；易知关于直线对称，结合周期为，可判断选项；求出一个周期内的值域，即可判断选项；由函数以及直线的性质可判断选项  此题主要考查函数单调性与奇偶性的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 10.【答案】C; 【解析】解：由题意，，在区间内恰好有一个极值点，  则，  即，  解得，  如果有两个极值点，可得：，解得，  另外，当时，函数在区间恰有一个极值点，  综上所述实数的取值范围是  故选：  首先利用函数的导数与极值的关系，由于函数在区间恰有一个极值点，，或者有个极值点，故可求实数的取值范围．  此题主要考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题． 11.【答案】A; 【解析】解：，，，  ，当时，，当时，，  故，  ，，，  ，  故选：  由，得到，再由时，，当时，，得到，即可求解．  此题主要考查三个数大小的求法，注意对数函数性质的合理运用． 12.【答案】C; 【解析】解：如图所示，由抛物线方程得，  由对称性不妨设，，其中，，  直线，则，  由，得，所以，  因为，所以，  解得，，，所以，即，  又，所以的中点坐标为，其到轴的距离为，  又，所以以为直径的圆与轴相切，  同理，以为直径的圆也与轴相切，  因为直线分别与以，为直径的圆切于，两点，所以    故选：  画图，设，，其中，，直线，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合，可得，进而得到以，为直径的圆都与轴相切，进而求得即可．  此题主要考查了抛物线的性质，属于中档题． 13.【答案】A; 【解析】解：函数，  数恰有三个不同的零点，  即为有三个不同的实根，  作出和的图象，  直线与曲线相切时，设切点为，  ，由，可得  当过时，两图象恰有三个交点，此时；  结合图象可得或  故选：  求得的解析式，由题意可得有三个不同的实根，作出和的图象，考虑直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．  此题主要考查分段函数的运用，函数零点个数解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，以及导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题． 14.【答案】∃∈R，2++1≤0; 【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，  故答案为：，  根据含有量词的命题的否定即可得到结论  此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 15.【答案】; 【解析】此题主要考查导数的运算，属于基础题，注意是常数，这样先求，从而求得，再求即可.    解 ，  则 ，解得 ，  则 ，  故答案为  16.【答案】; 【解析】解：由，结合，，，  得圆的极坐标方程为  直线的极坐标方程为，设，的交点为、，  联立，得，  解得：，，不妨取，，  故，  由于圆的半径为，可得，即，  ，  故答案为：  化圆的方程为极坐标方程，联立直线与圆的极坐标方程，求得，可得，再由三角形面积公式求解．  此题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，考查三角形面积的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，是中档题． 17.【答案】3 可靠; 【解析】解：由题意可得，，，  故样本中心点为，  线性回归方程中的，  ，解得，  ，  月日的估计值为，  又，  求得的线性回归方程可靠．  故答案为：，可靠．  根据已知条件，结合线性回归方程的性质，可得，再将代入该方程，对所得的结果与作差并取绝对值，将该结果与比较，即可求解．  此题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题． 18.【答案】; 【解析】解：由题可知，，则，，  ，  解得，故是的中点，则，  设的右焦点为，在中，由余弦定可得，解得，  由双曲线的定义知，  则的离心率  故答案为：  利用向量关系求出的长度，设双曲线的另一个焦点为，再利用余弦定理求出的值，利用双曲线的定义即可求出离心率．  此题主要考查双曲线离心率的求法，属中档题． 19.【答案】; 【解析】  对原函数求导数，求出时的函数值、导数值，利用点斜式求出切线方程；  求出在上的极值，再求出，，即可得到在上的最大值、最小值．  此题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值的方法，属于中档题． 20.【答案】解：（1）ρ=sinθ+2cosθ⇒ρ2=ρsinθ+2ρcosθ，  根据转换为直角坐标方程为．  （2）转换为直角坐标方程为；; 【解析】  直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；  直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．  此题主要考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 21.【答案】解：（1）数学成绩在[30，90）分的频率为（25+125+350）×=0.5，  数学成绩在[30，110）分的频率为（25+125+350+300）×=0.8＞0.65，  所以65%分位数在[90，110）内，故65%分位数为90+20×=100；  （2）估计该中学本次月考数学成绩的平均分为：（25×40+125×60+350×80+300×100+150×120+50×140）×=91.50；  （3）列联表为：  零假设为H0：“数学成绩达标”与“运动达标”之间无关联，  根据列联表的数据，经计算得K2=≈90.91＞10.828=，  根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，  即认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关联．; 【解析】  根据百分位数的定义，计算即可；  根据平均数的定义，计算即可；  根据题意，完成列联表，结合独立性检验公式计算即可．  此题主要考查了独立性检验的相关程度问题，百分位数和平均数的求法，属于中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）由题意得h（x）=-lnx-1，函数定义域为（0，+∞），则h'（x）=--=-，  当a≥0时，h'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，  当a＜0时，由h'（x）=0得x=-a,由h'（x）＞0得0＜x＜-a,由h'（x）＜0得x＞-a,  综上所述，当a≥0时，h（x）在（0，+∞）上单调递减；  当a＜0时，h（x）在（0，-a）上单调递增，在（-a,+∞）上单调递减；  （Ⅱ）f（x）=alnx-x•lnx,函数定义域为（0，+∞），f'（x）=-lnx-1，  f（x）在（0，+∞）内单调递减，转化为f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≤x（lnx+1）在（0，+∞）上恒成立，  令g（x）=x（lnx+1）（x＞0），g'（x）=lnx+2，  由g'（x）=0得x=，由g'（x）＞0得x＞，由g'（x）＜0得0＜x＜，  ∴g（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，  ∴当x=时，g（x）取得极小值也是最小值，且g（）=（ln+1）=-，  ∴a≤-，  故实数a的取值范围为（-∞，-]．; 【解析】  由题意得，函数定义域为，求出，分类讨论，，判断，，即可得出答案；  题意转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，求出，利用导数判断的单调性和最小值，即可得出答案．  此题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 23.【答案】解：（1）经计算，=5，=0.48，  由0.48=5+0.88可得，=-0.08，  当x=8时，=-0.08×8+0.88=0.24，  所以当海水浓度为8‰时，该品种的亩产量为0.24吨．  （2）（i）由（1）知=-0.08x+0.88，从而有 海水浓度（‰） 3 4 5 6 7 亩产量（吨） 0.62 0.58 0.49 0.4 0.31 残差 -0.02 0.02 0.01 0 -0.01 （ii）R2=1-=≈0.98，  所以亩产量的变化有98%是由海水引起的．; 【解析】  求出，，再根据给出的回归方程可得，从而可求并估计当浇灌海水浓度为时该品种的亩产量；  根据公式可求相关指数，从而可得亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的．  此题主要考查回归直线方程，相关系数的计算，残差的计算，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $