精品解析：天津市第七中学2025-2026学年高二下学期6月练习数学试卷

天津七中2025—2026学年度高二下学期数学6月练习卷 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 当时， C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. 必定满足经验回归方程 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 C. 从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 D. 从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 9. 如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数，则______ 11. ________． 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 13. 某种服装的广告费支出与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表： x 4 2 3 5 y 49 26 39 54 y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为_______． 14. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 15. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 三、解答题 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． （1）求证//平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是等腰直角三角形，面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 19. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． （1）根据所给数据，完成以下表格； （2）计算，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？（结果保留小数点后三位） 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （3）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 20. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津七中2025—2026学年度高二下学期数学6月练习卷 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 2. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性求出的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 3. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 当时， C. ，时，成对样本数据的相关系数满足 D. 必定满足经验回归方程 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：根据相关系数的性质分析判断；对于B：根据正相关分析判断；对于C：根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中即可判断；对于D：根据经验回归方程必过样本中心点即可判断. 【详解】对当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强， 例如，，对应的样本数据的线性相关程度更强，故A错误； 于选项B：当时，变量和变量正相关，则，故B正确， 对于选项C：当，时，不变且， 所以，故C正确； 对于选项D：经验回归方程必过样本中心点， 所以必定满足经验回归方程，故D正确. 故选：A. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除B. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除C. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除D. 故选：A. 5. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 6. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 7. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 8. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，则下列结论不正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中有放回地取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 C. 从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 D. 从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型公式即可判断A；根据二项分布即可判断B；根据条件概率即可判断C；利用二项分布概率公式计算可判断D. 【详解】对选项A，从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确； 对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球， 则取到白球的个数， 故恰好有两个白球的概率为，故B正确； 对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”， B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误； 对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数， 至少有一次取到红球的概率为，故D正确. 9. 如图，在正方体中，三棱锥和的公共部分形成的几何体为.若的体积记为，的内切球的体积记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨取正方体边长为，根据题意可得三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体，计算出表面积和体积，进而得到内切球半径及体积，再求比值即可． 【详解】解：连接它们的交点后如下图所示， 是中点，不妨取正方体边长为， 所以， 即两个三棱锥，的公共部分为一个棱长为的正八面体， 所以表面积为， 体积， 则内切球半径，， ． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知复数，则______ 【答案】 【解析】 【详解】可知， 则，所以. 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算及换底公式求解. 【详解】 . 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________. 【答案】64 【解析】 【详解】已知随机变量，且， 由正态分布的对称性可得与关于对称， 即，则，解得. 令，展开式中各项系数之和为. 13. 某种服装的广告费支出与销售额y（单位：万元）之间的关系如下表： x 4 2 3 5 y 49 26 39 54 y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出线性回归方程，进而求得时，，结合残差的定义，可求得残差为. 【详解】由题意，，， 则，即回归方程为， 当时，由回归方程可得， 因为实际销售额为54，所以残差为. 故答案为：. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查残差，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 14. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得出的值；建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为、不共线，且，则，，故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 15. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由方程求得或，根据方程有且仅有5个不同实数根，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解，所以. 故答案为：. 三、解答题 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及诱导公式化简等式，即可求得； （2）由余弦定理即可解得，然后得到； （3）由正弦定理求得，判断的范围求得，从而求得，，由和角公式求得的值. 【小问1详解】 因为 由正弦定理有①. 又因为，所以代入①式有. 又因为三角形内角，因此，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得或（舍去），故； 【小问3详解】 由正弦定理，且，，， 得， 由于，则为锐角，故， 故， ， 故 . 17. 如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． （1）求证//平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再通过向量夹角公式计算出平面夹角的余弦值； （3）在空间直角坐标系中，利用点到平面的距离公式直接计算点 B 到平面的距离. 【小问1详解】 取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面． 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，是等腰直角三角形，面底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）解法一：因为底面为正方形，，故， 因为是等腰直角三角形，， 所以，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 且，，，平面，则平面， 由平面，可得， 又因为，为中点，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以平面平面； 解法二：因为底面为正方形，，故， 因为是等腰直角三角形，， 所以，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，结合， 可得两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得； 因为，则， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：根据题意可证平面PAB，可得，进而可得平面PBC，即可证面面垂直；解法二：建系并标点，求平面与平面PBC的法向量，利用空间向量证明面面垂直； （2）解法一：作，可知直线EC与平面AEF所成角为，根据题意结合几何性质运算求解； 解法二：由（1）可知：，平面AEF的法向量，利用空间向量结合线面夹角运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面，， 则平面，可知直线与平面所成角为， 则， 易知，所以，， 设，则，， 因为与相似，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，所以； 解法二：由（1）可知：，平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 整理可得，解得或， 所以． 19. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． （1）根据所给数据，完成以下表格； （2）计算，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？（结果保留小数点后三位） 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （3）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 （2），有关； （3）． 【解析】 【分析】（1）分析数据，填入表格， （2）提出零假设，计算出卡方，与临界值比较后得到结论； （3）设出事件，利用全概率公式进行计算，得到答案. 【小问1详解】 因为100名学生有60名学生的短跑成绩合格，所以有40名学生的短跑成绩不合格， 因为60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时， 所以60名短跑成绩合格的学生中有名学生每周的锻炼时间不超过5小时， 因为有45名学生每周的锻炼时间超过5小时， 所以40名短跑成绩不合格的学生中有名学生每周的锻炼时间超过5小时， 40名短跑成绩不合格的学生中有名学生每周的锻炼时间不超过5小时， 根据以上信息可得表格如下：单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 【小问2详解】 零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立． 根据表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关． 【小问3详解】 由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名， 其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人． 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲， 设事件“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”， 事件“甲每周的锻炼时间超过5小时”， “甲每周的锻炼时间不超过5小时”， 用列联表中的数据计算频率并替代概率后得，， 又已知，， 由全概率公式可得， 所以学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为． 20. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3）当时，且；当时，. 【解析】 【分析】（1）首先根据三角恒等变换化简得，则，根据即可解出的值； （2）对不等式化简得，利用换元法再分离参数即可求出的范围； （3）根据正弦函数的有界性结合题目条件解出，分和讨论即可. 【小问1详解】 ∵， 又∵，即， ∴或， ∵，∴或. 【小问2详解】 令，，， ∴，∴，， 即， 令， 设，， 任取，且， 则 ，，，， ，即， 在上单调递减，， ∴，解得：. 【小问3详解】 ∵， ∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的，成立， 在上的值域为，则在上的值域为，∴ 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍． 所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得，,即， 当时，且； 当时，. 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是利用正弦函数的值域以及函数定义域为时，函数左右平移不改变其值域的性质，再结合题目条件求出或，然后再分类讨论即可, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $