精品解析：北京市第一七一中学2025–2025学年下学期九年级5月阶段测试数学试卷

一七一中学2025-2026学年初三年级下学期5月份数学练习 一、选择题 1. 下列几何体的三视图之一是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出各个立体图形的三视图，判断即可． 【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故本选项不合题意； B、圆柱的左视图和主视图是长方形，俯视图是圆，故本选项符合题意； C、球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，故本选项不合题意； D、三棱锥的三视图都不是长方形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解本题的关键． 2. 若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出原点的位置，根据，判断选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据绝对值的定义判断C选项；根据正数大于负数判断D选项． 【详解】解：如图，， ，互为相反数，原点在这两个点构成的线段的中点处， A、，，互为相反数， ， ， ， 该选项说法错误，不符合题意； B、，， ， 该选项说法错误，不符合题意； C、，， ， 该选项说法错误，不符合题意； D、，， ， 该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上互为相反数除外的两个数表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键． 3. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，那么. ∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题. 命题②，如果那么. ∵∴∵，∴，∴. ∴该命题为真命题. 命题③，如果，那么. ∵∴∵，∴，∴ ∴该命题为真命题. 故，选D 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 5. 如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，三角形全等的判定，角平分线性质定理，运用相关知识逐项判断即可． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，， 又， ∴， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； 无法判断， 故选项C符合题意； ∵，，， ∴， 又， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，直线，a与b之间的距离为12．点A是直线a上一定点，点B在直线b上运动，若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点C作，则在点B从左至右运动的过程中，当c位于、之间时，下列结论中一定成立的是（ ） ①每个不同的B点，使得c到a的距离都不相等； ②每个不同的B点，使得点A到C的距离都不相等； ③为定值； ④当点D在b上且，是定值． A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】取直线上一点，将绕点顺时针旋转，得到，判断①，易得为等边三角形，得到，进而得到当时，，判断②，根据平行线的性质，结合旋转的性质，判断③，在直线上截取，连接，作于点，易得为等边三角形，证明为等边三角形，再证明，得到，进而得到，解直角三角形，求出的长，判断④即可． 【详解】解：取直线上一点，将绕点顺时针旋转，得到线段，如图， 显然c到a的距离都不相等；故①正确，符合题意； ∵连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当时，，故存在不同的点，使得点A到C的距离相等，故②错误； ∵，， ∴， ∴；即为定值；故③正确； 在直线上截取，连接，作于点， ∵直线，a与b之间的距离为12， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，故④正确； 综上：正确的是①③④． 7. 如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得，设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：， 即：，②正确； ∴，故③正确； 故选：D 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 12. 请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一） 【解析】 【详解】举例，如，，符合题意． 13. 有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 【答案】2700 【解析】 【分析】根据总人数乘以达到骨骼健康受益标准的学生的百分比即可得解． 【详解】解：该校达到骨骼健康受益标准的学生约有人． 14. 如图，若，，则_____________度． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆周角定理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．①图2中折线ABC表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（选填“甲”或“乙”）；②点B的纵坐标表示的实际意义是___________. 【答案】 ①. 乙 ②. 乙槽中铁块的高度为14cm 【解析】 【分析】根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平. 【详解】①根据题意可知图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系； ②点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14cm， 故答案为乙，乙槽中铁块的高度为14cm. 【点睛】本题考查了实际问题与函数的图象，理解题意，准确识图是解决此类问题的关键. 16. 甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表： 类型 载重量（吨） 运费（元/车） 大货车 8 450 小货车 5 300 运完这批货物最少要支付运费_____元． 【答案】2400 【解析】 【分析】直接利用二元一次方程组的解分析得出答案． 【详解】设租用大货车x辆，小货车y辆，由题意得： 8x+5y=42， 整数解为： ，此时运费为：4×450+2×300=2400（元）， 当x=6时，y=0，此时运费为：6×450=2700（元）， 当x=5时，y=1（此车没装满），此时运费为：5×450+1×300=2550（元）， 当x=3时，y=4（有一辆车没装满），此时运费为：3×450+4×300=2550（元）， 当x=2时，y=6（有一辆车没装满），此时运费为：2×450+6×300=2700（元）， 故运完这批货物最少要支付运费是2400元． 故答案为：2400． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，正确结合实际分析是解题关键． 三、解答题 17. 计算：. 【答案】6 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为． 19. 已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程解的定义得到，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子去括号，合并同类项得到，据此代值计算即可． 【详解】解；∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，整式的化简求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 20. 如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在中，，是中点， ∴， 在中，是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 21. 在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． （1）分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； （2）随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 【答案】（1）升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； （2）a的值为50 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元，根据题意列分式方程，进而解方程即可； （2）先求出一月份的升级款电话手表和普通款电话手表的销量，再根据题意列关于a的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， ， 答：升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； 【小问2详解】 解：一月份升级款电话手表的销量为（只），普通款电话手表的销量为（只）， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：a的值为50． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出答案即可； （2）先求出直线的解析式，再根据函数的图象在上方，且在函数的下方解答即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得一次函数的关系式为． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数，又小于函数的值， ∴当一次函数与重合时，，不合题意， 当时，在时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值； 当函数经过点时，， 解得， 此时当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值； 所以当时，当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值． 23. 校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 （1）表中的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“”）； （2）根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 【答案】（1） （2）甲、丁、乙、丙 【解析】 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的定义分别进行解答即可； （2）根据方差、平均数、测试命中数大于平均数的次数结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，乙队员10轮测试命中数为：， 丙队员10轮测试命中数为：，从小到大排列为 ∴丙的中位数，丙的平均数， 丁队员10轮测试命中数的方差为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：丙的平均数， 由表格可知，甲和丁的平均数相等，且最大，乙和丙的平均数相等， ∴甲和丁的实力强于乙和丙； ∵， ∴甲的方差小于丁的方差， ∴甲的实力强于丁的实力， 由题意可得，乙的方差， 丙的方差， ∴乙和丙的平均数都是，方差都是，方差和平均数均相等， ∵乙的测试命中数大于平均数的次数为3次，丙的测试命中数大于平均数的次数为2次， ∴乙实力强于丙的实力， 综上可知，这四名队员按实力由强到弱依次为：甲、丁、乙、丙， 故答案为：甲、丁、乙、丙． 24. 如图，在中，，以斜边上一点O为圆心，为半径作，交于点E，交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定定理和圆周角定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质，切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键． （1）连接，通过证明得，从而得，再结合是半径即可得出结论； （2）由，得，进而得出，再由，得，即可推出结果． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 是直径， ， ∴， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 【答案】（1）见解析 （2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有， 等点；对于与，有，等点． （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值． ②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小． ③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由，则有，，当时，，然后利用即可求解； 由知，，求出直线的解析式为，则，，所以，然后分当，即，此时点在左侧或重合，当，即，此时点在右侧，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由， 令，得，解得，， ∴，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：令，得， ∴， 由知，， 设直线的解析式为，代入，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在轴正半轴，点从出发，沿某方向运动使长度逐渐增大， 当，即，此时点在左侧或重合， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意，舍去， 当，即，此时点在右侧， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴点向左运动时，满足的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴对称轴为直线， ∵点与点的距离随长度的增大先变小后变大， ∴， 综上所述，满足条件的的取值范围是． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 补全的图形如图所示：     证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）， 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，     ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点P满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧(不含A，B的较短弧)上的所有点均在的内部或边上，则称P点为弦的“等弦包络点”． （1）已知点，，，则在的弦、、中，存在等弦包络点的弦是_________ （2）直线与x轴、y轴分别交于点G、H．若线段（不含G，H）上存在的某条长度为的弦的等弦包络点，直接写出k的取值范围； （3）弦是的一条弦，，点K是的中点．若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，直接写出K点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先明确“等弦包络点”P需满足两个条件：①是以()为腰的等腰三角形；② 劣弧上的所有点都在上或内部（即劣弧被包含在内）．条件②实际上限制了∠AOB（圆心角）的大小，当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在等弦包络点．再根据坐标计算、、即可判断； （2）由（1）可知，当的长为时，，可推得，计算可知，根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的等弦包络点在以为圆心，以2为半径的圆上，当线段（不含G，H）上存在的某条长度为的弦的等弦包络点时，线段与以为圆心，以2为半径的圆有交点，且交点不与G，H重合，由此即可求解； （3）当是长为的弦时，，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于，，，，根据定义，等弦包络点应和劣弧 在的同侧，则满足条件的等弦包络点在劣弧和劣弧上，若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，则劣弧和劣弧组成的图形与直线有两个交点，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设以为腰的等腰中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵劣弧上的所有点均在上及其内部， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当，，则， ∴当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在“等弦包络点”， 如图， ∵点，，， ∴，故存在等弦包络点， ，故存在等弦包络点， ，故弦不存在等弦包络点； 综上：存在等弦包络点的弦为． 【小问2详解】 解：如图，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，此时圆弧与切线交于一点，连接， 由（1）可知，， ∵是切线， ∴，，， ∴， 则， 在中，， 根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的等弦包络点在以为圆心，以2为半径的圆上，如图所示 ∵直线， ∴，， 当线段（不含G，H）上存在的某条长度为的弦的等弦包络点时，线段与以为圆心，以2为半径的圆有交点，且交点不与G，H重合， 当为时，， 综上所述，． 【小问3详解】 解：如图，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于，，，， 根据定义，等弦包络点应和劣弧 在的同侧，则满足条件的等弦包络点在劣弧和劣弧上， ∵与相切，设切点为，弦在直线上的等弦包络点为， ∴若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，则劣弧和劣弧组成的图形与直线有两个交点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当，在直线上时，与重合， 此时，，，则的中点， 如图，当两弧的交点在直线上时，连接，，， ∵分别以、为圆心，为半径画弧，两弧的交点为， ∴垂直平分，为等边三角形， 即，，三点共线，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 根据相似的性质，的横坐标与的横坐标满足， 即，则， 如图，当在直线上时，连接，交于，过点作于，过点作于， 此时，和为的切线， 则，， ∴，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 综上，K点的横坐标的取值范围为，． 【点睛】本题考查切线长定理，等腰三角形的性质，特殊角度的三角函数值，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是能够确定等弦包络点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一七一中学2025-2026学年初三年级下学期5月份数学练习 一、选择题 1. 下列几何体的三视图之一是长方形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，a与b之间的距离为12．点A是直线a上一定点，点B在直线b上运动，若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点C作，则在点B从左至右运动的过程中，当c位于、之间时，下列结论中一定成立的是（ ） ①每个不同的B点，使得c到a的距离都不相等； ②每个不同的B点，使得点A到C的距离都不相等； ③为定值； ④当点D在b上且，是定值． A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 7. 如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为______． 12. 请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____． 13. 有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 14. 如图，若，，则_____________度． 15. 图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．①图2中折线ABC表示___________槽中水的深度与注水时间之间的关系（选填“甲”或“乙”）；②点B的纵坐标表示的实际意义是___________. 16. 甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种货车可供选择，具体收费情况如表： 类型 载重量（吨） 运费（元/车） 大货车 8 450 小货车 5 300 运完这批货物最少要支付运费_____元． 三、解答题 17. 计算：. 18. 解不等式组 19. 已知是方程的一个根，求的值． 20. 如图，在中，，为的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 21. 在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． （1）分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； （2）随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 校篮球队教练选出甲、乙、丙、丁四名队员参加定点投篮测试．对这四名队员最近10轮测试（每轮投10球，记录命中数）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．乙、丙两名队员10轮测试命中数的折线图： b．丁队员10轮测试命中数：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9 c．四名队员10轮测试命中数的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 8 7 8 中位数 8 7 m 8 方差 0.6 （1）表中的值为_____，p的值为_____；表中q________0.6（填“”“”或“”）； （2）根据这10轮测试成绩，教练按如下方式评估这四名队员的实力强弱：首先比较平均数，平均数大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试命中数大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名队员按实力由强到弱依次为_____． 24. 如图，在中，，以斜边上一点O为圆心，为半径作，交于点E，交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F，若，求的值． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 27. 在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点P满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧(不含A，B的较短弧)上的所有点均在的内部或边上，则称P点为弦的“等弦包络点”． （1）已知点，，，则在的弦、、中，存在等弦包络点的弦是_________ （2）直线与x轴、y轴分别交于点G、H．若线段（不含G，H）上存在的某条长度为的弦的等弦包络点，直接写出k的取值范围； （3）弦是的一条弦，，点K是的中点．若直线上有且仅有两个弦的等弦包络点，直接写出K点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $