8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积分层同步练习- 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 三级分层设计，从基础公式应用到实际问题创新，梯度衔接紧密，强化空间观念与模型意识，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆柱、圆锥、球等表面积与体积公式单一应用|基础选择填空，如圆锥侧面积计算、正方体内接球表面积| |B级|公式综合应用与几何关系推理|含多选与复杂几何问题，如圆柱圆锥体积比、圆台测雨问题| |C级|实际情境中的数学建模与方案优化|情境应用题，如圆锥形仓库体积表面积比较及经济分析|

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 A级 必备知识基础练 1.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为(　　) A.6π B.8π C.10π D.12π 2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　) A.4 B.8 C.8 D.8 3.若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为,则此圆锥的侧面积为(　　) A.π B.π C.π D.2π 4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 5.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是(　　) A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 6.把一个底面半径为3 cm,高为4 cm的钢质的圆柱,现将它熔化后铸成一个钢球(不计损耗),则该钢球的半径为　　　　　 cm.  7.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　.  8.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积. 9.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积. B级 关键能力提升练 10.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是(　　) A.2 B. C. D. 11.(多选题)已知圆锥的底面半径为3,高为4,则下列说法正确的是(　　) A.圆锥的体积是36π B.圆锥的侧面积是15π C.圆锥的内切球体积是 D.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)(　　) A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸 13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的高为4,AB=AC=2,∠BAC=90°,则该三棱柱的外接球的体积为　　　　　.  14.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积. C级 学科素养创新练 15.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(用于融化高速公路上的积雪),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪种方案更经济些? 参考答案 1.A　因为底面半径r=2,所以底面周长L=2πr=4π,又圆锥母线长l==3,所以圆锥侧面积S=πrl=6π.故选A. 2.B　设正方体的棱长为x,球的半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球, ∴x=2R=2, ∴x=,∴S正=6x2=6×=8. 3.A　如图,设圆锥的底面半径为r,高为h,则h=2r,所以圆锥的体积V圆锥=π·r2·2r=,所以r=1,h=2,l=,则此圆锥的侧面积S侧面积=πrl=π×1×π.故选A. 4.B　设底面圆半径为R,米堆的高为h. ∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=. ∴体积V=·πR2h=×π××5. ∵π≈3,∴V≈(立方尺). ∴堆放的米约有≈22斛.故选B. 5.CD　依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误;∵球的表面积为4πR2,圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2, ∴D正确.故选CD. 6.3　圆柱体积为V=πr2h=36π, 设钢球半径为R,根据体积相等πR3=36π, 解得R=3 cm. 7.　 作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32+3×4+42)×7=. 8.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 9.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴, ∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π. 10.B　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由,得,则, 由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2, 所以.故选B. 11.BD　由题意得圆锥的体积V=π×32×4=12π,选项A错误;圆锥的母线长l==5,侧面积S=π×3×5=15π,选项B正确;设圆锥的内切球半径为r,则r(5+5+6)=×6×4,解得r=,圆锥内切球的体积V'=πr3=×3=,选项C错误;圆锥侧面展开图扇形的圆心角为θ=,选项D正确.故选BD. 12.A　 作出圆台的轴截面,如图所示.由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸,即G是OF的中点, ∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE==10(寸),即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),∴平均降雨量是=3(寸). 13.8π　在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,则BC==2, 设△ABC的外接圆半径为r,则2r==2,解得r=,设其外接球的半径为R,则R2=r2+=()2+22=6,则R=,故外接球的体积为V=πR3=8π. 14. 解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E. 连接CO1,CE,如图,则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC. ∵AB=3,∴O1C=3. 在Rt△SO1C中,SC=2, ∴SO1=. ∵Rt△SCE∽Rt△SO1C, ∴SC2=SO1·SE, ∴SE==4. ∴球的半径R=2. ∴球的表面积S=4πR2=4π·(2)2=48π. 15.解 (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1,V2. 方案一:仓库的底面直径变成16 m, 则其体积V1=×π×2×4=(m3); 方案二:仓库的高变成8 m,则其体积V2=×π×2×8=96π(m3). (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2. 方案一:仓库的底面直径变成16 m,则半径为8 m, 此时圆锥的母线长为l1==4(m), 则仓库的表面积S1=π×8×(8+4)=(64+32)π(m2); 方案二:仓库的高变成8 m,此时圆锥的母线长为l2==10(m), 则仓库的表面积S2=π×6×(6+10)=96π(m2). (3)因为V2>V1,S2<S1,所以方案二比方案一更加经济. 7 学科网（北京）股份有限公司 $