2025-2026学年苏科版数学七年级下册期末能力提升卷

**基本信息** 立足苏科版七年级下册核心知识，通过《哪吒2》票房、杨辉三角等时代与文化情境，以分层问题设计考查代数运算、几何直观及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|平行线性质、整式运算、二元一次方程|结合几何事实（垂线段最短）与代数变形（代入法解方程组）| |填空题|6/18|零指数幂、命题改写、杨辉三角|融入数学文化（杨辉三角系数规律）与图形变换（旋转求边长）| |解答题|7/52|不等式组应用、规律探索、新定义“差余角”|含分层任务：基础（解方程组）、提升（阴影面积计算）、创新（折叠与差余角综合）|

期末能力提升卷-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列四个命题，其中是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角相等，两条直线平行 D．垂线段最短 2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 3．计算的结果是（   ） A．18 B． C． D． 4．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 7．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 8．已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9．从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 10．某公司销售A、B两种机器，第一个月共卖出2000台，第二个月卖出A种机器的数量比第一个月多，卖出B种机器的数量比第一个月少，两种机器的总销量增加了48台，问第一个月两种机器各卖了多少台？设第一个月卖出A种机器台，B种机器台，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．当__________时，． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 13．若关于，的方程组的解满足，则的值为________． 14．如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是 _______． 15．如图，在大长方形中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为__________． 16．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是___________． 三、解答题 17．解方程组：． 18．解不等式组 19．我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出A，B两种哪吒纪念挂件．已知B种挂件的进货单价比A种挂件进货单价多6元，若购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元． (1)求每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是多少元？ (2)若该商家计划用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个，那么至少购买A种挂件多少个？ 20．化简求值：；其中，． 21．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 22．【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是． （1）像这样继续排列下去，请写出第6幅图对应的算式：_______． （2）请再写出第n幅图对应的算式：_______（用含有字母n的算式表示，其中n为正整数） 【问题解决】 （3）______． 23．定义：如果有三个角，，，满足，则称是和的“差余角”． (1)已知，，若是和的“差余角”，则________． (2)现有一张正方形纸片，如图1所示，点为线段上一动点（不与、重合）．连接，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“差余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图2所示．试探究点在变动的过程中是否存在，，中的一个角是其它两个角的“差余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提升卷-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B D D C A C A 1．D 【分析】本题考查平行线的性质与判定、对顶角的定义、垂线段的性质，逐一分析各命题的真假性即可． 【详解】解：∵内错角相等的前提是两直线平行，缺少该前提则结论不成立． ∴A是假命题． ∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角． ∴B是假命题． ∵同旁内角互补时两条直线才平行，并非相等． ∴C是假命题． ∵垂线段最短是基本几何事实． ∴D是真命题． 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查幂的运算，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 4．B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘法、合并同类项、平方差公式、幂的乘方与同底数幂乘法的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D符合题意． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据两个月的销售总量以及两种机器销量的变化关系，分别列方程即可． 【详解】解：∵第一个月A、B两种机器共卖出2000台，设第一个月卖出A种机器台，B种机器台 ∴可得第一个方程：， ∵第二个月A种机器销量比第一个月多，B种机器销量比第一个月少，且总销量比第一个月增加48台， ∴第二个月A种机器销量为，B种机器销量为，第二个月总销量为， ∴可得第二个方程：， 综上，可列方程组为， 故选：A． 11． 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，进行求解即可． 【详解】解：因为任何非零数的零次幂都等于1，所以当时，，即． 故答案为：． 12． 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是相等的角的余角，这两个角相等． 13．5 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可． 解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解法一：联立方程组， 解得， 将，代入， 得， 解得， 解法二： ，得 ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：5． 14．3 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：3． 15．40 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意是解本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出与的值，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形得：， ②①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则图中阴影部分面积为． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．关键是找到规律；由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数规律，即可求解． 【详解】解：由题意得， 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为；……； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为， 其中是第二项系数为， 故答案为：． 17． 【详解】解：， 由①变形，得， 将代入②，得， ， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 18． 【分析】分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 19．(1)6元 (2)67个 【分析】（1）设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元，根据“购进3个A种挂件和5个B种挂件共需要78元”列方程求解即可； （2）设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个，根据“用不超过3200元的资金购进A，B两种挂件共300个”列不等式求出的范围即可 【详解】（1）解：设每个A种挂件的进货单价是x元，则每个B种挂件的进货单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：每个A种哪吒纪念挂件的进货单价是6元； （2）解：设购买A种挂件m个，则购买B种挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为67． 答：至少购买A种挂件67个． 20．， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并同类项，然后计算除法运算即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式 ． 21．(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 22．（1）；（2）；（3）2054364． 【分析】本题考查了平方差公式的应用与规律探究，解题的关键是发现并运用平方差公式来简化运算． （1）根据规律，第6幅图对应的算式为； （2）第幅图对应的算式为； （3）利用平方差公式将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． 23．(1)25 (2)①；②或 【分析】本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“差余角”的定义是解题的关键． （）根据“差余角”的定义即可求解； （）根据“差余角”的定义即可求解；存在．分三种情况根据“差余角”的定义解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“差余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； ②存在． 由折叠可得，，， 设，则， 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“差余角”； 当为和的“差余角”时， 由题意可得，，无解 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“差余角”；当时，为和的“差余角”． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $