期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版

**基本信息** 本卷以苏科版八年级下册知识为载体，融合社会热点（音乐节采购）、文化传承（中国结）等真实情境，通过基础巩固（分式化简）、能力提升（动点最值）、创新应用（几何折叠）三级梯度，考查数学抽象、推理与模型意识，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|分式、四边形性质、统计计算|密码编译（因式分解应用）、林场成活率（数据意识）| |填空题|6|函数取值、概率、动点平行四边形|等边三角形概率（几何直观）、菱形面积（模型意识）| |解答题|10|因式分解、方程、几何综合|折叠问题（空间观念）、“明礼崇德数”（创新推理）|

期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 2．正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角相等 B．四角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 3．下面是扎西同学做的计算题：①；②；③；④；⑤．请你帮他看看，他做对了（    ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 4．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．电影《浪花朵朵》以惠安小岞林场女子种植队真实故事为蓝本，再现“林海娘子军”植树固沙的生态奇迹．某林场参照其模式种植木麻黄，共完成个造林批次，其成活率的区间分布统计如下表： 造林成活率（） 造林批次（批） 2 7 10 31 则在这个造林批次中，成活率不低于的批次占比为（    ） A． B． C． D． 8．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 9．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 10．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．函数中，自变量的取值范围是______． 12．分式的值为0，则x的值为______． 13．如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 14．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 15．中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小美家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形中国结装饰的面积是____． 16．如图，在四边形中，，是上一点，，从点出发以的速度向点运动，同时从点出发以的速度向点运动，设运动时间为．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是______（）． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．解方程：． 19．计算 (1)； (2)． 20．先化简代数式：，再从四个数中选择一个恰当的作为的值，代入求出代数式的值． 21．如图，在正方形中，点是上的点，于点，于点． (1)猜想、、的关系并证明； (2)若正方形边长为，，求的长(用含的式子表示)． 22．“好客山东，品行天下”，5月31日至6月1日在德州举办的“德州新青年音乐节”，得到全国各地人民的一致好评，音乐节将开放包容的城市形象与年轻人的活力紧密结合，成功宣推了“活力青春”的德州城市形象．当地某组织部门计划采购具有德州特色的零食礼包进行城市宣传，已知用8800元采购的A型礼包的数量是用4200元采购的B型礼包数量的2倍，其中A型礼包比B型礼包的单价多1元． (1)求A，B两种型号礼包的单价分别是多少元？ (2)若计划采购A，B两种型号的礼包共1000个，且所花费用不超过21600元，求最多能购买多少个A型号的礼包？ 23．观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 24．学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的航天知识竞答活动成绩进行整理（满分为100分，60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． (1)学校抽取七年级同学________人； (2)补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中D组的圆心角________； (4)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有400名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 25．阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（是正整数，且）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解；再例如：（是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9___________“明礼崇德数”；（填“是”或“不是”） (2)已知与是的一个平方差分解，求； (3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 26．【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B D C C B B 1．B 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项B中，无法分解因式，与分母无公因式，是最简分式； 选项C中，，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项D中，分母，分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查正方形与矩形的性质，对比两种图形的性质，找出正方形具有而矩形不具有的性质即可判断． 【详解】∵正方形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相垂直平分且相等， 矩形的性质为对角相等，四角相等，对角线互相平分且相等，对角线不互相垂直， ∴正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直， 故选C． 3．B 【分析】本题根据立方根定义、二次根式加法、乘除法运算法则、绝对值的性质，逐一判断每个式子的正误，统计做对的题数即可． 【详解】解：① ∵，∴，故①计算错误.； ② ∵，∴②计算正确； ③ ∵，∴③计算错误； ④ ∵与不是同类二次根式，不能合并，∴④计算错误； ⑤ ∵，即，∴，∴⑤计算正确； 综上，做对的共2道． 4．C 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，注意因式分解要彻底． 【详解】解： = ， 故选：C． 5．B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 6．D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 7．C 【分析】先确定成活率不低于85%的批次数量，再用符合条件的批次数量除以总批次得到占比，即可得到答案． 【详解】解：∵成活率不低于即成活率， 由表格可知，符合条件的造林批次为批，总批次为批， ∴占比为． 8．C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 9．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 10．B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 11．且 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 12． 【详解】解：由题意得：且， ∴． 13．小于 【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可． 【详解】解：设每个小等边三角形的面积为， ∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为， ∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积， ∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率． 14．5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 15．96 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是． 16．或 【分析】根据题意可得，，按照四边形为平行四边形、四边形为平行四边形，进行分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， 若四边形为平行四边形，点在线段上，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴或． 17．(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．原方程无解 【详解】解： 方程两边同时乘以，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 经检验，当时，， 原分式方程无解． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简求值，分母有理化，二次根式的加减运算． （1）先利用二次根式的性质进行化简求值，再进行二次根式的加减运算； （2）先利用二次根式的性质进行化简求值、完全平方公式运算，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．，当时，原式 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分，再运算乘法，化简得，结合分母不为0，最后把代入，得出分式的值为． 【详解】解： ； ∵， ∴ ∴把代入． 21．(1)，理由见解析； (2) 【分析】（1）用正方形的边相等和角为直角的性质，通过角的互余关系推导相等角，再证明与全等，结合全等三角形的对应边相等，通过线段的和差关系得出、、的数量关系； （2）在中，先利用含角的直角三角形的性质求出的长度，再通过勾股定理求出的长度，最后结合（1）的数量关系计算的长度． 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：在中，，，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． 22．(1)A种型号礼包的单价是22元，B种型号礼包的单价是21元 (2)最多能购买600个A型号的礼包 【分析】（1）设A型礼包的单价是x元，则B型礼包的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程并检验可得答案； （2）根据所花费用不超过21600元，列不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设A型礼包的单价是x元，则B型礼包的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型礼包的单价是22元，B型礼包的单价是21元； （2）解：设能采购y个A型的礼包，则能采购个B型的礼包， 根据题意得：， 解得：， 答：最多能购买600个A型的礼包． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 24．(1)40 (2)补全统计图如下： (3) (4)80人 【分析】（1）根据B组人数与所占百分比求解； （2）先求出D组人数，再补全频数分布直方图； （3）乘以D组所占的比例即可求出； （4）440乘以D组所占的比例即可． 【详解】（1）解：由B组人数12与所占百分比可得，样本容量为：， 答：学校抽取的七年级同学的人数40人； （2）解：D的频数为：， 补全频数分布直方图略： （3）解：， 答：扇形统计图中D组的圆心角． （4）解：由题意可得，（人）， 答：七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为80人． 25．(1)是 (2) (3)当时，为“明礼崇德数”，理由见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式计算． （1）根据和“明礼崇德数”的定义进行判断； （2）根据“明礼崇德数”的定义列式求解即可； （3）通过因式分解得，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k便可． 【详解】（1）解：， 是“明礼崇德数”． 故答案为∶ 是． （2）解：与是的一个平方差分解， ． （3）解： ， ∴当，即时，为“明礼崇德数”． 故当时，为“明礼崇德数”． 26．(1) (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用正方形性质，以及轴对称性质推出，再结合平行线性质求解，即可解题； （2）根据矩形性质，以及垂直平分线性质推出，由折叠的性质得到，取的中点H，连接，证明是等边三角形，结合等边三角形性质，等腰三角形性质，以及直角三角形性质求解，即可解题； （3）连接，由折叠的性质可知：，推出，为等边三角形，进而证明四边形是菱形，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，推出，再利用勾股定理计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； （2）略 （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $