江苏省无锡市2026年中考数学模拟练习卷（一）

**基本信息** 本卷以AI技术、《四元玉鉴》等时代与文化情境为载体，覆盖实数、函数、几何等核心知识，通过基础题（如实数比较）、能力题（几何综合）、创新题（融值区间新定义）构建梯度，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|实数、二次根式、统计|AI图标考轴对称（第4题），古算题考方程建模（第7题）| |填空题|8题|因式分解、扇形弧长|古钱币半径计算（第16题）融合几何直观与应用意识| |解答题|10题|函数综合、圆、跨学科|二次函数与直角三角形证明（第27题），光折射问题（第28题）体现推理能力与模型观念|

江苏省无锡市2026年中考数学模拟练习卷（一） 一、单选题 1．在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（      ） A．﹣1 B．π C．0 D．1 2．若是二次根式，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 5．下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 6．一个扇形的圆心角是，半径是，那么这个扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，连接，相交于点．已知，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 9．如图，点B、点C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，，．若的面积为10，则k的值为（    ） A． B． C． D． 10．规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 二、填空题 11．2025年无锡市参加中考的人数约为64000人，这个数据用科学记数法可表示为_________． 12．分解因式：8－2x2＝_____． 13．已知：和是同类项，则______． 14．命题“内错角相等”的逆命题是__命题．（填“真”或“假”） 15．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 16．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 17．如图，在矩形中，已知为边上的中点，若将沿着直线翻折，使点A落在点处，连接，则___________． 18．如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得，则________；当面积最大时，的长等于________． 三、解答题 19．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 20．先化简，再求值：，其中． 21．如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 22．为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示． 请你根据如图信息解决下列问题： (1)参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ； (2)补全条形统计图（画图并标注相应数据）； (3)若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？ 23．当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下： (1)若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________； (2)若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率． 24．如图，已知梯形，，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的垂线l交于点E，在l上确定点F，使得点F到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则________．（如需画草图，请使用图②） 25．如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 26．如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G． (1)若点G与点B重合，求的长； (2)若，，求y与x的函数关系式． 27．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数与轴交于点，与轴交于点（点在点的左边），点在二次函数第三象限的图象上，横坐标为， 为二次函数图象上异于的两点，横坐标分别为、，连接、、． (1)求二次函数的表达式； (2)证明：为直角三角形； (3)连接，与直线、直线分别交线段于点，若，求的值． 28．小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． (1)若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； (2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省无锡市2026年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D A C B C C B 1．A 【详解】试题分析：0大于一切负数，0小于一切正数，正数大于负数. 考点：实数的大小比较 2．D 【分析】根据被开方数大于等于零，列式求解即可． 【详解】∵是二次根式， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于零是解题的关键． 3．D 【分析】根据同类项合并法则与幂的基本运算法则逐一判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、，计算正确，∴D正确． 4．D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．A 【分析】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断． 【详解】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查， ∴选项A说法错误； B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义， ∴选项B说法正确； C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比， ∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确； D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差， ∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确． 6．C 【分析】根据扇形的面积，进行计算即可得出答案． 【详解】解：因为r＝6cm，n＝60°， 根据扇形的面积公式可得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解记忆公式是解题关键． 7．B 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 8．C 【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．C 【分析】本题主要考查了运用面积关系求反比例函数的k值，以及平行线分线段成比例定理．过点B作轴，过点C作轴．先证，得到，从而求得点B的横坐标为2，设，同理由，求得点C坐标，最后运用，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴． ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B的横坐标为2， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的纵坐标为， 即． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴，即， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴， ∴ ∴． 10．B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 11． 【详解】解：． 12． 【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可 【详解】 故答案为： 考点：分解因式. 13．/ 【分析】根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”可得，，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵和是同类项，     ∴， 解得：， ∴． 14．假 【分析】把“内错角相等”的题设与结论互换位置得到它的逆命题，通过举反例可以得到答案． 【详解】解：“内错角相等”的逆命题是：相等的两个角是内错角． 比如两个对顶角相等，但对顶角不是内错角，所以这个逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查的命题的真假，掌握举反例判断命题是假命题是解题关键． 15．/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 16．13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 17． 【分析】求出，由勾股定理求出，由翻折变换的性质得出，因此，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，三角形外角性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，余弦定义，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18． /0.75 / 【分析】先通过等腰直角三角形的性质得出相关线段和角度关系，再构造全等三角形证明和，利用三角形的面积公式结合已知条件可得到，接着设未知数，利用勾股定理得到相关线段的表达式，再根据三角形面积公式表示出的面积，最后通过二次函数的性质求出面积最大时的长度． 【详解】解：如图，连接，过点N作于点H，过点B作交的延长线于点E，过点A作交的延长线于点F， ∵等腰直角三角形中，，，D是的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 即， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式应用及二次函数最值问题． 19．(1) (2)， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ ∴或， 解得：， 20．， 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 21．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．(1)100； (2)见解析 (3)估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果； （2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图； （3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论． 【详解】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名）， “羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：100；； （2）解：参加“插花”的人数有（名）， 补全条形统计图如下， ； （3）解：（名）， 答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名． 23．(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图，找出所有等可能的结果数，和满足要求的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从4张卡片中随机抽取一张，共有4种等可能情况，其中抽到《2026十大技术趋势》的情况只有1种，故概率为． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，抽到A《人工智能：现代方法》和D《算力基础设施白皮书》的结果有2种， 所以抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率为． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用尺规作图过点B作的垂线l，再利用尺规作图作出的角平分线，与直线l交于点F； （2）证明四边形是矩形，求得，，在中，解直角三角形求得，证明是等腰直角三角形，求得，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，解得， ∴， ∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 25．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角、同弧圆周角相等，利用等角余角相等，即可解答； （2）根据相等圆周角对应等弧，推出弦，由半径得直径，结合余弦值求出，再用勾股定理算出，即可得到长度． 【详解】（1）解：连接． 是 的直径， ， ． ， ∴， ． 又 ， ∴， ． （2）解：连接， ， 是直径， ． 由（1）知：， ， ． 在 中，， ， ． 在 中，由勾股定理： ， ， ， ． ． 26．(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，，从而得出为等腰直角三角形，即可得出结果； （2）分两种情况：当点在边上，即时，当点在的延长线上，即时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图，当点在边上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点， 同理可得：,，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 27．(1) (2)证明：根据题意，得 ， ， ∴ 可得：， ∴ 是直角三角形，且； (3)或 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可； （3）分别求出直线、直线的解析式，判断出，则，过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P，求出，，再由，得到，求出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入，得： ， 解得：， 展开得， 即二次函数表达式为 （2）略 （3）解：当时，， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴， 解得或或或， ∵M点在第三象限， ∴， ∴或． 28．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【详解】（1）∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $