2026年江苏省无锡市中考数学模拟练习卷（二）

**基本信息** 江苏省无锡市2026年中考数学模拟卷，全面覆盖代数、几何、统计核心考点，融入古代数学著作（如《增减算法统宗》问题）、交通调查等真实情境，注重抽象能力、推理意识与数据观念的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数、同类项、圆性质等|第9题以古代“圆中方形”问题考查方程建模| |填空题|8/24|因式分解、科学记数法、四边形综合等|第18题结合正方形旋转考查动态几何最值| |解答题|10/66|函数应用、几何证明、统计分析等|第23题通过交通拥堵调查培养数据观念，第28题几何综合题考查推理与创新意识|

江苏省无锡市2026年中考数学模拟练习卷（二） 一、单选题（共30分） 1．下列各数中，无理数是（     ） A． B．0 C． D． 2．下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（     ） A．a小于b B．a等于b C．a大于b D．无法确定 5．若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（     ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 7．如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 10．在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为，投入设为，定义了增效函数：对于函数，若其图象上任意两点，（）都满足，则称该函数为增效函数．给出下列关于增效函数的命题： ①一次函数是增效函数； ②若正比例函数是增效函数，则； ③反比例函数（）是增效函数； ④若，则二次函数是增效函数． 其中真命题是（     ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（共24分） 11．分解因式：_____． 12．2026年2月2日至3月13日春运期间，全社会跨区域旅客流动量达9410000000人次，请将9410000000用科学记数法表示为________． 13．分式和的最简公分母为_____． 14．若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 15．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 16．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 17．如图，的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接、相交于点E，则的值是______．    18．如图，正方形的边长为6，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是______．连结，当点C正好是的内心时，的长是______．    三、解答题（共66分） 19．（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．先化简：的值，再从，0，3中选择一个合适的a的值代入求值． 21．如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． 22．在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 23．近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行   B．自行车   C．电动自行车 D．私家车   E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 24．如图，在中，，． (1)试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、．（不必写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，求线段的长． 25．如图，是的直径，为的切线，与相交于点E，，交的延长线于点F，． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 26．已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 27．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 28．在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　． （2）类比探究 如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省无锡市2026年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D D D A D B 1．C 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求； B、是整数，属于有理数，故B不符合要求； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合要求； D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． 2．B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 3．C 【分析】本题主要考查了求组数，可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∴组数为， 故选：C． 4．A 【分析】方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，根据该性质即可比较和的大小． 【详解】解：∵甲射击成绩比乙射击成绩更稳定， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴小于． 5．D 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，利用圆锥侧面积公式，代入已知条件即可求解母线长． 【详解】解：设圆锥母线长为，圆锥侧面积公式为， ∵圆锥底面半径，侧面积， ∴代入得 ，约去解得， 即圆锥母线长为． 6．D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误； ∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误； ∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误； ∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确． 故选D 7．D 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，而，再利用三角形一个外角等于不相邻两内角之和，即可求解． 【详解】解：如图， ∵直尺的两条边平行，即， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵是等腰直角三角尺的一个锐角， ∴， 又∵是的一个外角， 所以． 8．A 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：D． 10．B 【分析】根据增效函数的定义，对每个命题逐一验证，将变形后，结合函数性质判断是否恒成立即可。 【详解】解：增效函数定义为：对任意，恒有，即恒成立。 ①对于， ， ，恒成立，故①正确； 命题②：若是增效函数，则， ， ∴， 取，， 则，不满足条件， ∴即使也不是增效函数，②错误； ③对于，取，，， ，即，不满足定义，故③错误； ④∵， ∴ 整理得：， 令，开口向上，最小值为，若对任意，恒成立，则需，即，解得，符合命题条件，故④正确． 综上，①④正确． 11． 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12． 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：． 13．2（m﹣n） 【分析】利用最简公分母的定义求解，分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n），故最简公分母是2（m﹣n）即是本题答案． 【详解】解：∵分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）． ∴它们的最简公分母是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键． 14．4 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握定义．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，根据定义可得答案． 【详解】解：∵同类二次根式的被开方数相同， ∴， 解得． 故答案为：． 15． （答案不唯一） 【分析】根据常见函数的增减性性质，结合题目给出的过定点和增减性要求，即可写出符合条件的函数表达式． 【详解】解：答案不唯一，例如． 检验：当时，， 所以图象经过点；在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大． 故是符合题意的一个函数． 16．1 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 17． 【分析】利用网格构造直角三角形，根据勾股定理求出、、、、的长，再根据勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， 由网格构造直角三角形，利用勾股定理得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形，即， ， 在中， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，勾股定理以及逆定理是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 18． / 【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点K在以为直径的圆O上运动，   ∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合， ∴， 当点C为的内心时，   ，，分别平分，和， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点B、C、F共线， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线． 19．（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 20．， 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， ∴， 此时原式． 21．（1）详见解析；（2）10． 【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ABD和△CED中， 所以； (2)∵在△ABC中，D 是BC的中点 ∴ ∵ ． 答：三角形ACE的面积为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 【详解】（1）解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 23．(1)36；135；图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 故答案为：36；135； （2）解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （3）解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点为顶点，为一边，作，与延长线交于点； （2）过点作于，根据等腰三角形三线合一得到，在中，由，结合勾股定理列方程即可求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长，最后根据线段和差关系即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，作，与延长线交于点，即为所求； ，， ； （2）解：如图所示，过点作于， ， ， 设， 在中，， ， 根据勾股定理得，， 即， 解得或（负值，舍去）， 即， ， ， ，即， 解得， ． 25．(1) (2) 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据求解． 【详解】（1）解： 如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ． （2），， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识，正确做出辅助线是解题关键． 26．(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 27．(1) (2)或 (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，过点作轴于点，利用求解；当点Q是抛物线在第一象限上的一点，利用，求出直线的表达式，联立抛物线，即可得出答案； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质可知对角线的交点的横坐标相等，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， 当点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； 当点Q是抛物线在第一象限上的一点， 如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 则可设直线的解析式为，代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 综上可知，或； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 28．（1）1，（2），；45°（3）， 【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题． （3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题． ②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O． ， ， ，， ， ，， ， ， ，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是， 故答案为1，． （2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E． ， ， ， ， ，， ， ， 直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为． （3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A，D，C，B四点共圆， ，， ， ，设，则，， c． 如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $