期末题型分类突破：填空题-2025-2026学年北师大版 数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，以题型分类为框架，通过“题型导航+特训”模式，系统提炼几何性质应用、代数变形等解题方法，强化知识逻辑与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明|5题（等边三角形最短路径）|性质应用+辅助线构造|三角形外角/垂直平分线/新定义“倍角三角形”，培养几何直观| |不等式与不等式组|5题（函数图像解不等式）|区间分析+图像法|二次根式意义/数轴表示/函数交点，发展运算能力| |图形的平移与旋转|5题（旋转中心判定）|对称性质+坐标计算|中心对称/旋转角/平移距离，提升空间观念| |因式分解|5题（拼图验证公式）|公式法+整体代换|平方差/完全平方/新定义“最简平方差”，强化抽象能力| |分式与分式方程|5题（分式求值规律）|化简变形+增根分析|分式化简/无解条件/古代问题建模，培养模型意识| |平行四边形|5题（中位线应用）|性质判定+中点联想|平行四边形性质/中位线定理/实际测量，体现应用意识|

期末题型分类突破：填空题-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 题型导航 题型一：三角形的证明 题型二：不等式与不等式组 题型三：图形的平移与旋转 题型四：因式分解 题型五：分式与分式方程 题型六：平行四边形 题型特训 题型一：三角形的证明 1．三角形的外角等于与它不相邻两个内角的________． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为E，的周长为，，则的周长为_______． 3．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 4．如图，是等边三角形，是边上高，，点E是边的中点，点P是线段上的一个动点，则的最小值为_______． 5．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 题型二：不等式与不等式组 6．写出一个使在实数范围内有意义的的值：______． 7．若m为正整数，且满足，则________． 8．如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数________． 9．已知满足不等式组，写出一个符合条件的的整数值：______． 10．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 题型三：图形的平移与旋转 11．已知点和点关于原点对称，且，则的长为________ 12．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为____ ． 13．如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点的坐标为．若将向左平移，使点落在直线上，则平移的距离是________． 15．如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 题型四：因式分解 16．因式分解：______． 17．，则的值为______． 18．用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ． 19．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 20．对于任意的整数a，如果，则称t为a的“最简平方差”，a为t的“平方差分解数”．例如：，则15为4的“最简平方差”，4为15的“平方差分解数”．已知“最简平方差”m，n对应的“平方差分解数”分别为x，y． （1）______；（用含x，y的代数式表示） （2）若，则的值为______． 题型五：分式与分式方程 21．已知，则的值为_______． 22．若关于的分式方程无解，则_______． 23．我国古代数学名著《九章算术》记载：某工匠制作器物，改进工艺后，每日制作数量为原来的1.5倍，制作90件器物比原来少用3天．设原来每天制作件，则可列方程为______． 24．我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 25．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于___________ 题型六：平行四边形 26．在平行四边形中，若与的度数之比为，则的度数为________． 27．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 28．如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，与交于点，连接、，若，．则的长为_____． 29．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 30．如图，是一座塔的俯视图，现要测量塔基两侧、之间的距离，因无法直接测量，于是在塔前广场上选一点，找到和之间的中点、，测得的长为米，则塔基两侧、之间的距离为_______米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末题型分类突破：填空题-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 1．和 【分析】根据三角形外角的性质即可完成填空． 【详解】解：由三角形外角的性质可知：三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和 2．17 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再结合的周长为，可得，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵， ∴的周长为． 3．/度 【详解】解：∵多边形为正六边形， ∴． 4．4 【分析】连接，根据等边三角形的性质可得垂直平分边，，从而得到，进而得到点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是边上高， ∴垂直平分边，， ∴， ∴， 即点B，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵点E是边的中点， ∴BE是边的高， ∴， ∴， 即的最小值为4． 5． 或 【分析】首先利用角平分线性质推导的度数，确定为直角三角形，进而可得，的度数，然后根据三角形内角和定理表示出，确定的取值范围，然后根据“倍角三角形”的定义，分情况讨论直角与锐角、锐角与锐角之间的倍数关系，最后结合图形几何性质确定的取值范围，筛选出符合题意的解． 【详解】平分，平分， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， 直线平分， ， 点在射线上， ， 在中，， ， ， 为“倍角三角形”，且， 分以下情况讨论： 当直角是锐角的倍时， 若， ，解得，此时，符合题意； 若， 则， 解得， ，此时，不符合题意，舍去； 当一个锐角是另一个锐角的倍时， 若， ， ， 解得， 此时，符合题意； 若， 则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 6．1（答案不唯一） 【分析】二次根式在实数范围内有意义需满足． 【详解】解：由题意，要使在实数范围内有意义， 则， 解得， ∴可取1．（答案不唯一） 7．10 【分析】先估算无理数的取值范围，再根据不等式的性质推导 的范围，结合已知不等式求解正整数． 【详解】解：因为 ，， 所以 ， 不等式三边同乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式三边同减，得 ， 因为为正整数，且满足 ， 所以 8． 【分析】由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式组可得整数的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内， 得， 由①得， 由②得 不等式组的解集是， 整数． 9．或或（任取一个） 【分析】求出不等式组的解集，进而即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴符合不等式组的的整数值为或或． 10． 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 11． 【分析】关于原点对称的两点，横纵坐标互为相反数，先计算，把换成，用整体代换算出，再根据算出． 【详解】解：点和点关于原点对称， ∴，， ∴， ∴． 12．/度 【分析】根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的两底角相等，得到，即可根据三角形内角和的性质求得答案． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， 即旋转角的度数为． 13． 6 【分析】根据平移的性质可得 ，从而得出阴影部分的面积等于梯形 的面积，利用梯形面积公式即可求解． 【详解】 解：由平移知， ，，， ． ，， ． ， ． ，， 四边形 为直角梯形， ． 阴影部分的面积为 ， ． 解得 ． 平移距离为6 ． 14． 【分析】过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平移的性质可知平移后点的纵坐标不变，将其代入直线解析式求出横坐标，进而求出平移距离． 【详解】如图，过点作轴于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得 ， ，解得， 直线的解析式为， 设平移后点的对应点为，则点的纵坐标为， 将向左平移，使点落在直线上， 当时，，解得， 平移的距离为． 15． 【分析】分别作出的垂直平分线，即可确定旋转中心． 【详解】如图，连接，分别作出的垂直平分线，交点为， 故该旋转的旋转中心是点． 16． 【分析】先将原式变形为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 17． 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 18． 【分析】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：． 19． 【分析】利用加减消元法得到和关于的表达式，再利用平方差公式分解得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ， ，得 ， ， ， 整理得 ， 即， 解得． 20． 【分析】（1）根据“最简平方差”定义和“平方差分解数”的定义，进行求解即可； （2）根据，得出，根据x，y均为整数，分类求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，，则； （2）∵， ∴， 即， ∵x，y均为整数， ∴或或或 ∴． 21．6 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 22．或1或6 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以得， 整理，得， 解得， 当时，原方程无解，此时，解得，，经检验是原方程的解； 当时，原方程无解，此时，解得，经检验是原方程的解； 当时，无意义，原方程无解，解得； 综上，的值为或1或6． 23． 【分析】设原来每天制作件，先表示出改进工艺后每天的制作数量，再分别求出原来和改进后制作90件器物所用的时间，根据改进后制作90件比原来少用3天的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则改进工艺后每天制作件， 原来制作件器物所用时间为天，改进工艺后制作件器物所用时间为天， 由题意可得等量关系：原来所用时间改进后所用时间， 列方程得：． 24． 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 25． 【分析】先求出当取时，分式为，再得到规律：分别取每对倒数的所得结果相加之和为0，据此求解即可． 【详解】解：当取时， ， 分别取与所得结果相加之和为0， 题目给出的中：2026与、2025与2与都互为倒数， 每对倒数的所得结果相加之和为0， 题干所求中有2025对倒数，其所得结果相加之和为0， 当时，，当时，， 所有结果相加的和为． 26． /135度 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形邻角互补，即与的和为，结合与的度数比，即可求出的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， 设，则， 可得， 解得， ． 27． （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 28． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，， ∴， 在中， ， 在中， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 29． 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 30． 【分析】根据题意可知点、分别是、的中点，利用三角形中位线定理可得，代入数据计算即可． 【详解】解：点是的中点，点是的中点， 是的中位线． ． 米， 米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $