精品解析：广东省广州市第四十一中学教育集团2025学年第二学期期中质量检测题八年级数学

2025学年第二学期期中质量检测题 八年级 数学学科 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数一定为非负数是解题的关键． 直接利用二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选B． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先判断线段能否组成三角形，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：∵三角形三边需满足两边之和大于第三边； ∴A选项中，，不满足三边关系，不能组成三角形； B选项中，∵； ∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； C选项中，∵，即； ∴满足勾股定理的逆定理，能组成直角三角形； D选项中，∵ ∴不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的相关运算法则分别计算各选项，即可得到正确结果。 【详解】解：选项A，∵ ，∴A错误； 选项B，∵ ，∴B错误； 选项C，∵ ，∴C正确； 选项D，∵ ，∴D错误. 5. 若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（ ） A. B. 4 C. 5或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，的值，再结合直角三角形边长的不同情况分类讨论，利用勾股定理计算第三条边长即可． 【详解】∵ ，，且 ∴ ，，解得， 分两种情况讨论： 当为的斜边时，第三条边长为， 当，为的两条直角边时，第三条边长为， 综上，第三条边长为或． 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，从而得到点D的纵坐标为2，点D的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，点D的纵坐标为2， ∴点D的横坐标为， ∴点D的坐标为． 故选：A 8. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB═OC， ∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， ∵∠EAC=2∠CAD， ∴∠EAO=∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， ∴∠AOE=45°， ∴∠OAB=∠OBA=（180°-45°）=67.5°， ∴∠BAE=∠OAB-∠OAE=22.5°． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型． 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先证出四边形是矩形，再证出，得到；根据条件证明即可证明，根据等量关系得 即可得到的值为定值，最后根据得到最小时，最小，求出即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ∴（） ∴ ∴，②正确； ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， ∴的定值为，③正确； ∵, ∴当最小时，最小， ∴当 时，最小， 在中，， ∵ ∴， ∴， ∴线段的最小值为，④正确． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段的最值问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 二、填空题（本题共10小题，每题4分，共24分） 11. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 12. 在中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 13. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 14. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 【答案】6 【解析】 【分析】利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，， 则（米）， ∴（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键． 15. 如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程， 根据勾股定理得，， ∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是． 16. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，，最后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形，是正方形， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 则． 在中，点H是的中点， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9大题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 化简求值：已知，，求的值； 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴. 19. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及直角三角形面积的计算，熟练运用勾股定理和逆定理判定直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理，在直角三角形中，结合已知的斜边和直角边长度，直接计算出的长； （2）先通过勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再将四边形的面积拆分为两个直角三角形面积之和，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，，，由勾股定理 的长为； 【小问2详解】 解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 20. 如图，在中，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，且，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质． （）由平行四边形的性质结合已知可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得，，再根据，，即可证明四边形是平行四边形，再由，即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，，则，再根据四边形为矩形，得，再根据角的和差求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 23. 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形 （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠，，，再结合，得到，即可根据等角对等边得到，，则，四边形是菱形； （2）由矩形得到，，，由折叠可得，，则，，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 24. 【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 25. 在正方形中，点E在直线上，连接． （1）如图1，当点E在线段上，过点E作交延长线于F时，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，F在延长线上时，过E作交延长线于G，连接、交于点P，若P为中点，求与的数量关系． （3）如图3，若点E在线段上，且，M为线段上一动点，过M作交于N，连接，，求的最小值= ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）点E作于点H，作于点I，利用证明，从而得证； （2）过点E作于J，点J在的延长线上，利用正方形的性质得到，，再由是等腰直角三角形得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，继而得到，，再利用勾股定理得到，再根据得到，再根据P为中点得到； （3）先证明是等腰直角三角形，故， 要求的最小值，只需找到A点关于对称的对称点Q，则的长度就是的最小值，利用勾股定理求出，再乘以2就是的最小值． 【小问1详解】 解：过点E作于点H，作于点I， 在正方形中，平分，， ∴ 又∵，为公共边， ∴与两个全等的等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，即， ∴， ∴，即 ∵，，， ∴ ∴ 【小问2详解】 与的数量关系是：，理由如下： 过点E作于J，点J在的延长线上． ∵四边形是正方形， ∴°，°， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴ 又∵ ∴ 又∵P为中点，即 ∴ ∴与的数量关系是： 【小问3详解】 依题意连接，，过点E作于点H，作于点I， 由（1）得四边形是正方形， ∴ 又∵，即 ∴，即， ∵，，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 在的延长线上截取，垂直平分， ∴， 则，其最小值是的长度， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径问题等知识，掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中质量检测题 八年级 数学学科 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（ ） A. B. 4 C. 5或4 D. 或4 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，则位于第一象限的D点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四个结论：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共10小题，每题4分，共24分） 11. 化简：________ 12. 在中，，则________． 13. 如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 14. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 15. 如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是________． 16. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是__________． 三、解答题（本题共9大题，共86分） 17. 计算： 18. 化简求值：已知，，求的值； 19. 如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 20. 如图，在中，点E，F分别在和上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，且，，求的周长． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 23. 如图，在矩形中，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，过点作，交于点，连接． （1）证明：四边形是菱形 （2）若，，求的长． 24. 【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 25. 在正方形中，点E在直线上，连接． （1）如图1，当点E在线段上，过点E作交延长线于F时，求证：． （2）如图2，当点E在线段的延长线上，F在延长线上时，过E作交延长线于G，连接、交于点P，若P为中点，求与的数量关系． （3）如图3，若点E在线段上，且，M为线段上一动点，过M作交于N，连接，，求的最小值= ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $