广东省广州市海珠区中山大学附中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将正确选项涂在答题卡上） 1．（3分）无理数的倒数是（　　） A． B． C． D．2 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝ 4．（3分）下列各组数中，能组成直角三角形的三边的是（　　） A．5，12，13 B．13，14，15 C． D．3，3，6 5．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．13 C．144 D．194 6．（3分）下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8．则D′F的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 8．（3分）如图，三角形的直角边分别对应数为﹣1和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，F，连接AF，若△ABF的周长为6（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若BD＝6，则菱形的周长为（　　） A． B．16 C． D．4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）已知▱ABCD的周长为32，若AB＝6，则BC＝ 　 　 ． 13．（3分）直角三角形的斜边上的中线长为8.5，其中一条直角边长为8，则另一直角边为　 　 ． 14．（3分）如图，菱形ABCO，其中点C坐标是（3，4）　 　 ． 15．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，F分别是AD，BC的中点，N分别是AC，BD的中点，MF，FN，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是　 　 ． 16．（3分）如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，∠DAC＝2∠ABC，若BC＝8，S△ABC＝12，则BD＝ 　 　 ． 三、解答题（共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）如图，▱ABCD中，点E，AD上，且AF＝CE 19．（6分）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 20．（6分）已知图是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段AB． （1）画出一个格点△ABC，使∠ACB＝90，并求其面积； （2）直接写出使得△ABC为直角三角形的格点C有 　 　 个． 21．（6分）已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）分别写出a，b的值； （2）求a2+b2的值． 22．（8分）在设计平行四边形的活动中，甲同学想到用两个矩形纸片重叠的方法，如图，两个长方形纸片的重叠部分为四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若这两个矩形纸片宽度相同，判断▱ABCD是否为特殊的平行四边形，并说明理由． 23．（10分）已知等腰△CAB，CA＝CB，点P为三角形内一点，PB，PC． （1）如图1，若△ABC为等边三角形，且PA＝2，求∠BPA的度数以及AB边长； （2）如图2，若CA＝CB＝13，AB＝10 24．（12分）如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），使点B落在P处，点C落在G处，折痕为EF，连接BP、BH． （1）如图1，求证：∠APB＝∠BPH； （2）如图1，若AP＝2，求线段EF与HC的长度； （3）如图2，连接BG，直接写出BG+EF的最小值为 　 　 ． 25．（12分）已知AE∥BF，AB＝6，C为射线BF上一动点（不与B重合）），△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC． （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，点C为BG的中点，且BG＝10，求DG的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线AC，∠ABC＝60°，P为BC的中点，当△APQ为等腰三角形时，直接写出DQ的长． 2024-2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C C D B B 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将正确选项涂在答题卡上） 1．（3分）无理数的倒数是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案． 【解答】解：无理数的倒数是：＝． 故选：C． 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 【解答】解：A、中被开方数是分数； B、中被开方数是分数； C、中被开方数不含分母，故是最简二次根式； D、中含能开得尽方的因数； 故选：C． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝ B．×＝ C．＝4 D．＝ 【答案】B 【分析】分别根据二次根式的加减法则和乘法法则求解，然后选择正确选项． 【解答】解：A、和不是同类二次根式，故错误； B、×＝，原式计算正确； C、＝2，故错误； D、﹣＝2﹣，故错误． 故选：B． 4．（3分）下列各组数中，能组成直角三角形的三边的是（　　） A．5，12，13 B．13，14，15 C． D．3，3，6 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】解：A．52+128＝132，能作为直角三角形三边长度，符合题意； B．132+148≠152，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C．35+（）2≠22，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意； D．33+32≠72，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意． 故选：A． 5．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．13 C．144 D．194 【答案】C 【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答． 【解答】解：由题可知，在直角三角形中，一直角边的平方＝25， 根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144． 故选：C． 6．（3分）下列命题正确的是（　　） A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、对角线互相平分，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形； C、对角线相等的平行四边形是矩形； D、一组对边平行，不符合题意； 故选：C． 7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，若AB＝4，BC＝8．则D′F的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC，得出∠AFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∠D'＝∠D＝90°，AD'＝CD＝4，∠AFE＝∠AEF，得出AF＝AE＝CE，设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程得出AF＝5，在Rt△AFD'中，由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4， ∴∠AFE＝∠CEF， 由折叠的性质得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AD'＝CD＝4， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AF＝AE＝CE， 设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝2﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE3， 即42+（3﹣x）2＝x2， 解得：x＝6， ∴AF＝5， 在Rt△AFD'中，由勾股定理得：D'F＝＝； 故选：C． 8．（3分）如图，三角形的直角边分别对应数为﹣1和1，则数轴上点A所表示的数a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，该长度等于点A到﹣1这个点的距离，再结合数轴上点的位置关系求出点A所表示的数． 【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为2和1，根据勾股定理＝＝， ∵点A到﹣1的距离是，设点A表示的数为a， ∴a＝﹣1， 故选：D． 9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，F，连接AF，若△ABF的周长为6（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF＝FC，那么由△ABF的周长为6可得AB+BC＝6，再根据平行四边形的性质可得AD＝BC，DC＝AB，进而可得答案． 【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F， ∴AF＝CF， ∵△ABF的周长为6， ∴AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝6． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC＝AB， ∴▱ABCD的周长为8（AB+BC）＝12． 故选：B． 10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若BD＝6，则菱形的周长为（　　） A． B．16 C． D．4 【答案】B 【分析】由菱形的性质推出OA＝OC，OD＝BD＝3，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝OC＝，由勾股定理求出DC＝4，即可求出菱形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OD＝×6＝4， ∵AE⊥DC， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝AC， ∴OE＝OC＝， ∴DC＝＝4， ∴菱形的周长＝4×4＝16． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是　x≤　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据题意得1﹣2x≥2， 解得：x≤， 故答案为：x≤． 12．（3分）已知▱ABCD的周长为32，若AB＝6，则BC＝ 　10　 ． 【答案】10． 【分析】由平行四边形的性质推出AB＝CD，BC＝AD，得到▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝32，即可求出BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝32， ∵AB＝6， ∴BC＝10． 故答案为：10． 13．（3分）直角三角形的斜边上的中线长为8.5，其中一条直角边长为8，则另一直角边为　15　 ． 【答案】15． 【分析】根据直角三角形的斜边上的中线长为8.5，可以得到斜边的长，然后根据勾股定理即可求得另一直角边的长． 【解答】解：∵直角三角形的斜边上的中线长为8.5， ∴这条斜边长为17， ∵其中一条直角边长为4， ∴另一直角边为＝15， 故答案为：15． 14．（3分）如图，菱形ABCO，其中点C坐标是（3，4）　（8，4）　 ． 【答案】（8，4）． 【分析】由两点间距离公式可求OC的长，由菱形的性质可求解． 【解答】解：∵点C坐标是（3，4）， ∴OC＝＝4， ∵四边形ABCO是菱形， ∴OC＝BC＝5，BC∥OA， ∴点B（8，3）， 故答案为：（8，4）． 15．（3分）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，F分别是AD，BC的中点，N分别是AC，BD的中点，MF，FN，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的条件是　AB＝CD　 ． 【答案】AB＝CD． 【分析】根据三角形中位线定理得到EN＝FM＝AB，FN＝EM＝CD，则可证明四边形EMFN为平行四边形，当EN＝FN，即AB＝CD，则此时平行四边形EMFN是菱形，据此可得答案． 【解答】解：四边形ABCD需满足的条件是AB＝CD， 理由：∵点E，F分别是AD，点M，BD的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，BF＝CF、NF、EM分别为△ABD、△ABC， ∴EN＝FM＝ABCD， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当EN＝FN，即AB＝CD， 故答案为：AB＝CD． 16．（3分）如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，∠DAC＝2∠ABC，若BC＝8，S△ABC＝12，则BD＝ 　10　 ． 【答案】10． 【分析】过点B作BM⊥BC，过点A作AE⊥BM于点E，在BE的延长线上截取EF＝EB，连接AF，CF，则AE是BF的垂直平分线，AE∥BC，由此得∠BAF＝∠DAC＝2∠ABC，进而得∠CAF＝∠DAB，进而可依据“SAS”判定△AFC和△ABD全等，则CF＝BD，再根据S△ABC＝12得EB＝3，则BF＝2EB＝6，然后在Rt△BCF中，由勾股定理求出CF＝10即可得出BD的长． 【解答】解：过点B作BM⊥BC，过点A作AE⊥BM于点E，连接AF，如图所示： ∴AE是BF的垂直平分线，AE∥BC， ∴AF＝AB， ∵AE⊥BM， ∴∠BAE＝∠FAE， ∴∠BAF＝2∠BAE， ∵AE∥BC， ∴∠BAE＝∠ABC， ∴∠BAF＝2∠ABC， ∵∠DAC＝3∠ABC， ∴∠DAC＝∠BAF， ∴∠DAC+∠DAF＝∠BAF+∠DAF， ∴∠CAF＝∠DAB， 在△AFC和△ABD中， ， ∴△AFC≌△ABD（SAS）， ∴CF＝BD， ∵BC＝8，S△ABC＝12， ∴S△ABC＝BC•EB＝12， ∴EB＝＝＝3， ∴EF＝EB＝2， ∴BF＝2EB＝6， 在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF＝＝， ∴BD＝CF＝10． 故答案为：10． 三、解答题（共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）28． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算括号内的减法，再计算乘法即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2 ＝； （2）原式＝（6﹣）× ＝× ＝28． 18．（6分）如图，▱ABCD中，点E，AD上，且AF＝CE 【答案】见试题解答内容 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AF∥CE，又AF＝CE，所以四边形AECF是平行四边形．则该平行四边形的对边相等：AE＝CF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴AF∥CE． 又∵AF＝CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． 19．（6分）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】b﹣1． 【分析】先观察数轴得到﹣1＜a＜0，b＞1，然后根据有理数的加减法则判断b﹣1，a+1和a+b的正负，最后根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：﹣1＜a＜0，b＞5， ∴b﹣1＞0，a+4＞0， ∴ ＝2（b﹣1）+a+7﹣（a+b） ＝2b﹣2+a+2﹣a﹣b ＝2b﹣b+a﹣a+1﹣8 ＝b﹣1． 20．（6分）已知图是4×5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点 （1）画出一个格点△ABC，使∠ACB＝90，并求其面积； （2）直接写出使得△ABC为直角三角形的格点C有 　6　 个． 【答案】（1）见解析；（2）6． 【分析】（1）有4种情形，画出图形求解； （2）根据直角三角形的定义画出图形即可．． 【解答】解：（1）△ABC1的面积＝××＝32的面积＝××＝55的面积＝△ABC4的面积＝4． （2）满足条件的格点C有7个， 故答案为：6． 21．（6分）已知的整数部分为a，小数部分为b． （1）分别写出a，b的值； （2）求a2+b2的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先估算的大小，从而估算的大小，求出其整数部分a和小数部分b即可； （2）把（1）中求出的a，b代入所求式子进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是a＝3； （2）由（1）可知：a＝3，， ∴a2+b2 ＝ ＝ ＝． 22．（8分）在设计平行四边形的活动中，甲同学想到用两个矩形纸片重叠的方法，如图 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若这两个矩形纸片宽度相同，判断▱ABCD是否为特殊的平行四边形，并说明理由． 【答案】（1）见解析过程； （2）四边形ABCD是菱形，理由见解析过程． 【分析】（1）由平行四边形的判定可求解； （2）由等积法可得AR•BC＝AS•CD，可得BC＝CD，即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：四边形ABCD是菱形， 理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S， 由题意知：∵两个矩形等宽， ∴AR＝AS， ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 23．（10分）已知等腰△CAB，CA＝CB，点P为三角形内一点，PB，PC． （1）如图1，若△ABC为等边三角形，且PA＝2，求∠BPA的度数以及AB边长； （2）如图2，若CA＝CB＝13，AB＝10 【答案】（1）150°；； （2）． 【分析】（1）将△ACP绕点A逆时针旋转60°，点P的对应点为E，点C的对应点与点B重合，连接EP，过点B作BF⊥AP交AP延长线于点F，由旋转性质得AE＝AP＝2，EB＝BC＝，∠PAE＝60°，则△APE是等边三角形，利用勾股定理逆定理证明△BEP是直角三角形得∠BPE＝90°，由此可得出∠BPA的度数；在Rt△BPF中，根据∠BPF＝30°得BF＝PB＝，进而得PF＝，则AF＝，然后由勾股定理即可求出AB的长； （2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点B的对应点为M，点P的对应点为N，连接PN，BM，过C作CH⊥AB于点H，连接MH，由旋转性质得AN＝AP，AB＝AM，MN＝PB，∠PAN＝∠BAM＝60°，则△APN和△ABM均为等边三角形，由此得PA+PB+PC＝PN+MN+PC，由等腰三角形性质得BH＝AH＝5，∠CHB＝90°，则CH＝12，再由等边三角形性质得MH⊥AB，则点C，H，M在同一条直线上，进而得CM＝CH+MH，再求出MH＝得CM＝，然后根据“两点之间线段最短”得PN+MN+PC≤CM，即PA+PB+PC≤，据此即可得出PA+PB+PC的最小值． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB， 将△ACP绕点A逆时针旋转60°，点P的对应点为E，连接EP，如图所示： 由旋转的性质得：AE＝AP＝2，EB＝BC＝， ∴△APE是等边三角形， ∴PE＝AE＝AP＝7，∠APE＝60°， 在△BPE中，PB＝，PE＝3， ∵PB2+PE2＝（＝72＝＝7， ∴PB8+PE2＝EB2， ∴△BEP是直角三角形，即∠BPE＝90°， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE＝90°+60°＝150°； ∴∠BPF＝180°﹣∠BPA＝30°， 在Rt△BPF中，∠BPF＝30°， ∴BF＝PB＝， 由勾股定理得：PF＝＝＝， ∴AF＝PA+PF＝＝， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝， ∴∠BPA的度数是150°，AB边的长为； （2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点B的对应点为M，连接PN，过点C作CH⊥AB于点H，如图8所示： 由旋转的性质得：AN＝AP，AB＝AM，∠PAN＝∠BAM＝60°， ∴△APN和△ABM均为等边三角形， ∴PN＝PA，AM＝BM＝AB＝10， ∴PA+PB+PC＝PN+MN+PC， 在△ABC中，CA＝CB＝13，CH⊥AB于点H， ∴BH＝AH＝AB＝5， 在Rt△CBH中，由勾股定理得：CH＝＝， ∵△ABM是等边三角形，BH＝AH＝5， ∴MH⊥AB， ∴∠MHB＝90°， ∴∠CHB+∠MHB＝180°， ∴点C，H，M在同一条直线上， ∴CM＝CH+MH， 在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH＝＝＝， ∴CM＝CH+MH＝， 根据“两点之间线段最短”得：PN+MN+PC≤CM， ∴PA+PB+PC≤CM， 即PA+PB+PC≤， ∴PA+PB+PC的最小值为． 24．（12分）如图所示，现有一张边长为6的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），使点B落在P处，点C落在G处，折痕为EF，连接BP、BH． （1）如图1，求证：∠APB＝∠BPH； （2）如图1，若AP＝2，求线段EF与HC的长度； （3）如图2，连接BG，直接写出BG+EF的最小值为 　6　 ． 【答案】（1）证明见解答； （2）CH＝3，EF＝2； （3）6． 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案； （2）如图2，过点B作BQ⊥PG于Q，过点F作FM⊥AB于M，则∠BQP＝∠BQH＝90°，根据角平分线的性质可得：AP＝PQ＝2，AB＝BQ＝6，证明Rt△CBH≌Rt△QBH（HL），则CH＝QH，设CH＝x，则DH＝6﹣x，根据勾股定理得：42+（6﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝3，可得CH＝3，再证明△PAB≌△EMF（ASA），即可解答； （3）如图2，过点B作BQ⊥PG于Q，设AP＝x，则PQ＝AP＝x，GQ＝6﹣x，当x＝3时，BG+EF有最小值，由勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：由折叠知PE＝BE， ∴∠EBP＝∠EPB， 又由折叠知：∠EPH＝∠EBC＝90°， ∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP， 即∠PBC＝∠BPH， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠PBC， ∴∠APB＝∠BPH； （2）解：如图1，过点B作BQ⊥PG于Q，则∠BQP＝∠BQH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝BC， 由（1）可知：∠APB＝∠BPH， ∴AB＝BQ＝BC＝6，∠ABP＝∠QBP， ∴AP＝PQ＝4， 在Rt△CBH和Rt△QBH中， ， ∴Rt△CBH≌Rt△QBH（HL）， ∴CH＝QH， ∵AD＝CD＝6，AP＝2， ∴PD＝8﹣2＝4， 设CH＝x，则DH＝4﹣x， ∴PH＝x+2， 在Rt△PDH中，PD2+DH2＝PH2， ∴43+（6﹣x）2＝（x+8）2， ∴x＝3， ∴CH＝8， ∵FM⊥AB， ∴∠BMF＝90°＝∠ABC＝∠C， ∴四边形CBMF是矩形， ∴FM＝BC＝AB， 由折叠得：EF⊥BP， ∴∠FON＝90°＝∠BMN， ∵∠BNM＝∠ONF， ∴∠ABP＝∠EFM， ∵∠A＝∠EMF＝90°， ∴△PAB≌△EMF（ASA）， ∴EF＝BP， 由勾股定理得：BP＝＝2， ∴EF＝7； （3）解：如图2，过点B作BQ⊥PG于Q， 设AP＝x，则PQ＝AP＝x， 由勾股定理得：BP＝，BG＝， 由（2）同理得：EF＝BP， ∴BG+EF＝+， 当x＝5时，BG+EF有最小值， 此时，BG+EF＝+， 即BG+EF的最小值是6． 故答案为：5． 25．（12分）已知AE∥BF，AB＝6，C为射线BF上一动点（不与B重合） （1）如图1，当点D在射线AE上时，求证：四边形ABCD是菱形； （2）如图2，当点D在射线AE，BF之间时，点C为BG的中点，且BG＝10，求DG的长； （3）如图3，在（1）的条件下，对角线AC，∠ABC＝60°，P为BC的中点，当△APQ为等腰三角形时，直接写出DQ的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）DG＝． （3）3或3﹣3或﹣． 【分析】（1）根据翻折的性质可得∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，BC＝DC，再证出∠CAD＝∠ACD，即可得证； （2）连接BD，交AC于M，由（1）得：AC⊥BD，可证CM∥DG，设MC＝x，在Rt△AMD和Rt△CMD中，用勾股定理列出方程即可求解； （3）分三种情形：AQ＝PQ，AP＝AQ，AP＝PQ，画出图形分别求解即可． 【解答】（1）证明：由翻折得：∠ACB＝∠ACD，AB＝AD， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）：如图，连接BD， 由（1）得：AC⊥BD，BM＝DM， ∵C是BG的中点， ∴CM∥DG， ∴DG⊥BD， ∴∠BDG＝90°， ∵DG＝2CM，AD＝AB＝6， ∴CD＝BCBG＝5， 设MC＝x，则有AM＝7﹣x， 在Rt△AMD中：DM2＝AD2﹣AM3， 在Rt△CMD中：DM2＝CD2﹣CM4， ∴36﹣（5﹣x）2＝25﹣x4， 解得：x＝， ∴CM＝， ∴DG＝． （3）解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD， ∴△ABC，△ADC都是等边三角形， ∵BP＝PC＝6， ∴AP⊥CB， ∴OP＝OA＝OC，AP＝BP＝3， ∴当点QF7与O重合时．△APQ1是等腰三角形，此时DQ＝OB＝AP＝3． 当AP＝AQ2＝3时， ∴OQ2＝＝＝4， ∴DQ2＝OD﹣OQ7＝3﹣5． 当AP＝PQ3＝3时，过点P作PJ⊥OB于点J． ∵BP＝3，∠EBJ＝30°， ∴PJ＝BP＝， ∴BJ＝PJ＝， ∴OJ＝3﹣＝， ∵JQ3＝＝， ∴OQ3＝﹣， ∴DQ3＝3﹣（﹣﹣． 综上所述，DF的长为3﹣3或﹣． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$