精品解析：2026年山东青岛市崂山区育才学校中考考前测试数学试题

九年级数学试题 一、单选题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的相反数为（　　　） A. 2026 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为2026． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及中心对称图形的定义“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 年第一季度全国铁路发送旅客亿人次，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可． 【详解】解：∵亿， ∴． 故选：C． 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：几何体的俯视图为： 5. 如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标变换平移和旋转变换，熟练掌握坐标系中点的平移变换特征和旋转变换特征是解题的关键．先得出正方形先向右平移使点与原点重合后的正方形，得出，，且，，又由正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，可得点与点重合，即可求解． 【详解】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形， 其中，，，且，， ∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形， ∴点与点重合， ∴点的坐标是， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，乘除运算，负整数指数幂， 先判断是否是同类项，再判断A，再根据平方差公式判断B，然后根据判断C，最后根据单项式除以单项式判断D即可. 【详解】解：因为不是同类项，不能合并，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确. 故选：C. 7. 如图，在中，是上的四个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握同弧或等弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，圆内接四边形的性质，合理作出辅助线是解题的关键． 如图所示，延长交于点，连接，得到是直角三角形，根据题意得到，，四边形是内接四边形，，在中由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵是直径， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴四边形是内接四边形， ∴， 在中，， 故选：B ． 8. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等，连接，由三角形中位线的性质得，可知当时，最小，此时也最小，又由平行四边形的性质可得，即得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，此时也最小，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 最小为， 故选：． 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 11. 关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】0或8 【解析】 【分析】一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，=（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根， ∴=（m﹣2）2﹣4（m+1）=0，即m2﹣8m=0， 解得：m=0或m=8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，属于基础题． 12. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，平均数的意义，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好，根据方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的平均高度，进而确定选购哪家的树苗． 【详解】解：由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故答案为：丁． 13. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，由菱形的顶点的坐标为，可求得，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得的值，注意根据菱形的性质求得点的坐标是关键． 【详解】解：∵点的坐标为顶点在轴的正半轴上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过顶点B， ∴， 故答案为：． 14. 如图在中，，，，的长为半径画弧交于点D，交于点E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积计算，三角形面积公式，解直角三角形，如图，连接，，根据，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，且和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论： ①；②；③；④若，则， 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题是正方形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．①证，可得，再证即可；②通过证明可得；③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论；④通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知的边上有一点P，求作，使它过点P并且与的两边相切． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线、垂线，角平分线的性质，以及圆的切线的定义，掌握角平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．先作的平分线，再作交于，然后以为圆心，为半径作，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. （1）计算：（a﹣）÷． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）x≤1 【解析】 【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，最后算乘法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＜4， 所以不等式组的解集是x≤1． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和一元一次不等式组的解法．理解分式的混合运算法则和一元一次不等式组的解法是解答关键． 18. 小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，当两个转盘指针指向的数字之积为奇数时，小明获胜；数字之积为偶数时，小刚获胜．（若指针恰好指在等分线上时重新转动转盘） （1）用画树状图或列表的方法求出小明和小刚获胜的概率． （2）这个游戏规则是否公平？说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜及小刚获胜的情况，然后利用概率公式求解即可得到答案； （2）由（小明获胜）（小刚获胜），可得这个游戏规则不公平． 【小问1详解】 解：动两个转盘的所有可能结果如下： ∴（小明获胜）， （小刚获胜）； 【小问2详解】 解：不公平，理由如下： （小明获胜），（小刚获胜）， ， 这个游戏规则不公平． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，游戏公平性的判断，用树状图或列表法求概率时，首先列出所有等可能出现的结果，找出满足条件的情况，再根据概率公式进行计算即可；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 19. “少年急救官”是在中央统战部有关部门指导下的公益品牌项目，以立德树人、培育孩子具备风险识别和自救互救能力为宗旨，让青少年从小树立社会责任感，践行社会主义核心价值观，《少年急救官生命教育科学艺术展》寒假安全第一课于今年月日开播，某校为了解学生观看视频课的时长，随机拍取了部分学生观看视频课的时长t(单位：分钟，不足分钟按分钟算) 作为样本，将收集的数据整理后分为五组：组 ，组() ，组() ， 组() ， 组( ，绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图．其中组的数据为． （1）组数据的中位数是 ，众数是 ； （2）补全频数直方图； （3）扇形统计图中组所对应的扇形圆心角是 度； （4）若该校有名学生，估计该校学生观看视频时长超过分钟的人数． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）； （4）人． 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义即可求解； （）用组人数及其百分比求出调查人数，再求出组人数即可补图； （）用乘以组的占比即可求解； （）用乘以观看视频时长超过分钟的占比即可求解； 本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看到统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：把组数据按照从小到大的顺序排列为：， ∴中位数为，众数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：调查学生人数为， ∴组人数为人， 补全频数直方图如下： 【小问3详解】 解：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 答：估计该校学生观看视频时长超过分钟的人数为人． 20. “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【解析】 【分析】过点B作BD⊥CO的延长线于点H，设米，解得米，米，进而得米，米，解得，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：延长CO，过点B作BD⊥CO的延长线于点H， 在中，∠ 设米，则 ∴米 又 ∴米 ∵ ∴米 又米 ∴ 在中， ∴ 解得， ∴米，米 ∴米，即B处距离地面高度为90米， 此时，摩天轮最高点距离地面的高度为：米， 所以，小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【点睛】本题主要考查了解直角三角形----仰角和俯角，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 21. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】（1）小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 （2）小亮安排个深蹲消耗的热量最多 【解析】 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡，根据题意可得，变形得．由题意可列不等式组，解得，容易得到，结合一次函数的增减性与的取值范围，判断的最大值，和对应的的值． 【小问1详解】 解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量， 根据题意可列方程： ， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； 【小问2详解】 解：设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡， 根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值． 答：小亮安排个深蹲消耗的热量最多． 22. 如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． （1）求证：； （2）若，请判断并证明四边形的形状． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：四边形是矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，且， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，得到，由推出； （2）由，推出，由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，然后得到，推出四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 【答案】（1）75；4；（2）CD=4． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解； （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解． 【详解】解：（1）∵BD∥AC， ∴∠ADB=∠OAC=75°． ∵∠BOD=∠COA， ∴△BOD∽△COA， ∴． 又∵AO=3， ∴OD=AO=， ∴AD=AO+OD=4． ∵∠BAD=30°，∠ADB=75°， ∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB， ∴AB=AD=4． 故答案为75，4 （2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示． ∵AC⊥AD，BE∥AD， ∴∠DAC=∠BEA=90°． ∵∠AOD=∠EOB， ∴△AOD∽△EOB， ∴． ∵BO：OD=1：3， ∴． ∵AO=3， ∴EO=， ∴AE=4． ∵∠ABC=∠ACB=75°， ∴∠BAC=30°，AB=AC， ∴AB=2BE． 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2， 解得：BE=4， ∴AB=AC=8，AD=12． 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2， 解得：CD=4． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度． 24. 综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． （3）活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案； （2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可； （3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点， ∴抛物线顶点为，其坐标为， 设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，， ∴点的横坐标为， 当时，． 答：立柱的高度为． 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持， ∴列纵队的宽度为， ∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为， ∵当时，． ∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为． 25. 如图，矩形中，，，是边上的一点，，是边的中点，动点从点出发，沿边以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设动点的运动时间是． （1）求为何值时，？ （2）设的面积为，写出与之间的函数关系式； （3）当平分四边形的面积时，求的值； （4）是否存在时刻，使得点关于的对称点，落在线段上，若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明△CEM∽△BMP，可得，即可求解； （2）利用锐角三角函数分别求出EH，HP，由三角形面积公式可求解； （3）由S△EHP=S△EMP，列出等式可求解； （4）由对称性可得∠AEP=∠BEP，由角平分线的性质可得PF=PH=t，由面积关系可求解． 【详解】解：（1）∵M是BC边的中点， ∴CM=BM=6（cm）， ∵AB=21cm，DE=16cm， ∴EC=5cm， ∵PM⊥EM， ∴∠PMB+∠CME=90°， 又∵∠BMP+∠BPM=90°， ∴∠BPM=∠EMC， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△CEM∽△BMP， ∴， ∴， ∴t=； （2）∵ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∴AE2=AD2+DE2， ∵AD=12cm，DE=16cm， ∴AE=20（cm）， ∵AB∥CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∴sin∠DEA=sin∠EAB， ∴， ∴， ∴HP=t， ∴AH=t， ∴HE=20-t， ∵S△EHP=×EH×HP， ∴y=(20-t)×t=-t2+6t（0＜t＜21）； （3）∵EP平分四边形PMEH的面积， ∴S△EHP=S△EMP， ∴×t×(20-t)=×12×(5+21-t)-×6×(21-t)-×6×5， 解得：t=， ∵0＜t＜21， ∴t=； （4）如图2，连接BE，过点P作PF⊥BE于F， ∵点B关于PE的对称点B′，落在线段AE上， ∴∠AEP=∠BEP， 又∵PH⊥AE，PF⊥BE， ∴PF=PH=t， ∵EC=5cm，BC=12cm， ∴BE==13cm， ∵S△ABE=S△AEP+S△BEP， ∴×21×12=×(20+13)×t， ∴t=． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，锐角三角函数等知识，利用面积关系列出等式是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、单选题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的相反数为（　　　） A. 2026 B. 0 C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 杨辉三角 C. 科克曲线 D. 莱洛三角形 3. 年第一季度全国铁路发送旅客亿人次，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是上的四个点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ）     A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（   ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解=______． 11. 关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是______． 12. 某城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）、采购小组分别从四个苗圃中任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 方差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.5 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购______苗圃的树苗． 13. 如图，菱形的顶点的坐标为顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点B，则的值为______． 14. 如图在中，，，，的长为半径画弧交于点D，交于点E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ___________________． 15. 如图所示，边长为的正方形中，对角线，交于点，在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论： ①；②；③；④若，则， 其中正确的是______．（填序号） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知的边上有一点P，求作，使它过点P并且与的两边相切． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. （1）计算：（a﹣）÷． （2）解不等式组：． 18. 小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，当两个转盘指针指向的数字之积为奇数时，小明获胜；数字之积为偶数时，小刚获胜．（若指针恰好指在等分线上时重新转动转盘） （1）用画树状图或列表的方法求出小明和小刚获胜的概率． （2）这个游戏规则是否公平？说明理由． 19. “少年急救官”是在中央统战部有关部门指导下的公益品牌项目，以立德树人、培育孩子具备风险识别和自救互救能力为宗旨，让青少年从小树立社会责任感，践行社会主义核心价值观，《少年急救官生命教育科学艺术展》寒假安全第一课于今年月日开播，某校为了解学生观看视频课的时长，随机拍取了部分学生观看视频课的时长t(单位：分钟，不足分钟按分钟算) 作为样本，将收集的数据整理后分为五组：组 ，组() ，组() ， 组() ， 组( ，绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图．其中组的数据为． （1）组数据的中位数是 ，众数是 ； （2）补全频数直方图； （3）扇形统计图中组所对应的扇形圆心角是 度； （4）若该校有名学生，估计该校学生观看视频时长超过分钟的人数． 20. “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 21. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． （1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ （2）小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 22. 如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． （1）求证：； （2）若，请判断并证明四边形的形状． 23. （1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目： 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）． 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　． （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长． 24. 综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． （3）活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 25. 如图，矩形中，，，是边上的一点，，是边的中点，动点从点出发，沿边以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设动点的运动时间是． （1）求为何值时，？ （2）设的面积为，写出与之间的函数关系式； （3）当平分四边形的面积时，求的值； （4）是否存在时刻，使得点关于的对称点，落在线段上，若存在，求出值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $