精品解析：2026年山东枣庄市第十五中学初中学业水平模拟考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列有理数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 践行绿色低碳，全民携手护环境，下面环保标识里，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为至，其中．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑厚度）（ ） A. B. C. D. 5. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 二．填空题（共5小题） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 13. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接和，若，则的面积为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．则反比例函数解析式为________． 15. 如图，在中，，，，为中点，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题（共8小题） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 17. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 18. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 19. 2026年4月24日将迎来第十一个“中国航天日”，今年恰逢中国航天事业创建70周年，今年的“中国航天日”主题为“七秩问天路，携手探九霄”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】七年级学生竞赛成绩分别为： 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：．绘制了不完整的统计图： 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图 （2）七年级学生竞赛成绩的众数是______，八年级学生竞赛成绩的中位数是______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为______度； （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加参加此次竞赛，请估计七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 20. 遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到， 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角/度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 项目结果 中午时，太阳光线与地面垂直时，将可旋转接头C点进行适当调整，使，此时，点E刚好落在上；遮阳效果最佳 下午时，通过调整旋转接头C点使伞体倾斜，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳 下午时，… 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． （1）如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为______． （2）如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 21. 如图所示，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点，是上一点，连接并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3．求的长． 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数的图像经过，求二次函数表达式； （2）若，当时，二次函数图像的最高点为，最低点为，点的纵坐标为6，求点和点的坐标； （3）若，在二次函数图像上任取两点，当时，总有，请直接写出的取值范围． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列有理数的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 2. 践行绿色低碳，全民携手护环境，下面环保标识里，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】选项A、B、C的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以都不是轴对称图形． 选项D沿着中间竖直直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为至，其中．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何体三视图的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：该“刍童”上、下底面都是矩形，且下底面比上底面更大；从上向下观察，外围可见下底面的大矩形，内部可见上底面的小矩形，所有边都可见，以及上、下底面对应顶点连接的侧棱的投影， 故选：C． 5. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级拟购置一批排球，预算总额设定为1500元．已知A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元，如果全部购买A品牌，可比全部购买B品牌多买20个．设B品牌每个排球的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“A品牌数量比B品牌多20个”的等量关系，用含的代数式表示出两种排球的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设B品牌每个排球的单价为元， ∵A品牌每个排球的单价比B品牌便宜20元， ∴A品牌每个排球的单价为元， 总预算为1500元，可得：购买A品牌排球的数量为个，购买B品牌排球的数量为个， 又∵全部购买A品牌可比全部购买B品牌多买20个， ∴可列方程：． 6. 化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、m、n表示镁、锌、锰、碳、磷，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数有6种（镁、锌、锰的反应在常温下进行）， ∴选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率为. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 选项A：与不是同类项，无法合并，∴ A运算错误； ∵ 选项B： ，∴ B运算正确； ∵ 选项C：，∴ C运算错误； ∵ 选项D： ，∴ D运算错误． 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此求出的取值范围，再结合选项选出正确答案． 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根． ∴ ． 解得 ． 选项D： ，符合条件． 9. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 【答案】C 【解析】 【分析】依次计算各次律长，再验证各选项即可得到结论，用到有理数乘法运算知识． 【详解】解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以， 已知，依次计算得： ∵，， ∴选项A正确； ∵，， ∴，选项B正确； ∵， ∴ 选项D正确； 计算得： ，，， ∵，即不在寸与寸之间， ∴选项C错误． 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） 图中实线表示采用慢跑活动方式放松时血乳酸浓度的变化情况； 虚线表示采用静坐方式休息时血乳酸浓度的变化情况． A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑不到40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确． 二．填空题（共5小题） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定，根据二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂列出不等式，解不等式即可求解，熟练掌握二次根式，分式有意义的条件及非零指数幂的概念是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且 ∴且， 故答案为：且． 12. 已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 13. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接和，若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明四边形和都是平行四边形，得出，，设点到的距离为，到的距离为，再证明，得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， 设点到的距离为，到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．则反比例函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得出，，则，，得出，，连接，推出为等边三角形，得出，据此求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． 15. 如图，在中，，，，为中点，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先过作于E，根据，可得，再根据当时，，即点E与点C重合，即可得出线段的最小值为2． 【详解】解：如图所示，过作于E，则， 由旋转可得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，  ，  当点与点重合时最小，此时，点在上，符合题意， 线段的最小值为2． 三、解答题（共8小题） 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式值为（或当时，原式值为） 【解析】 【分析】（1）依次计算乘方、绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再按照实数的运算法则合并化简； （2）先对括号内通分相加，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式；根据分式分母不为0，排除，再代入合适数值计算． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： 由分式有意义得： ， 即且， 可取或， 当时，原式 ； 当时，原式． 17. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图知，平分，证明，即可得答案； （2）先证，则有，利用勾股定理求得，设，在中，列出方程，解答即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由作图知，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 则， ， ． 18. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计． （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； （2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； （3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 （3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【解析】 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 【小问3详解】 解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． 19. 2026年4月24日将迎来第十一个“中国航天日”，今年恰逢中国航天事业创建70周年，今年的“中国航天日”主题为“七秩问天路，携手探九霄”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】七年级学生竞赛成绩分别为： 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：．绘制了不完整的统计图： 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图 （2）七年级学生竞赛成绩的众数是______，八年级学生竞赛成绩的中位数是______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为______度； （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加参加此次竞赛，请估计七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）88和89分；分； （3）七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的定义即可求解，求出名八年级学生中，成绩D组占总数的百分比乘以即可求解； （3）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比，用乘以八年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比，再把两者相加即可． 【小问1详解】 解：， 如图所示： 【小问2详解】 解：∵七年级学生竞赛成绩的中出现次数最多，都是次， ∴七年级学生竞赛成绩的众数是88和89分， ∵，即：A，B两组共人， ∴将八年级学生竞赛成绩按从小到大排列第的成绩为， ∴八年级学生竞赛成绩的中位数是分， ∵， ∴八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为度； 【小问3详解】 解：（人） 答：七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数为人． 20. 遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化，“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆，C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到， 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角/度 90 85 70 65 40 25 参考数据：，，，，， 项目结果 中午时，太阳光线与地面垂直时，将可旋转接头C点进行适当调整，使，此时，点E刚好落在上；遮阳效果最佳 下午时，通过调整旋转接头C点使伞体倾斜，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳 下午时，… 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． （1）如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为______． （2）如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意：任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 【答案】（1） （2）约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据矩形的判定与性质可得，再设经过点的太阳光线与交于点，解直角三角形可得的长，然后根据等腰三角形的性质可得的长，由此即可得； （2）过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，再在中，解直角三角形即可得． 【小问1详解】 解：当中午太阳光线与地面垂直时，则， ∵垂直于地面，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，设经过点的太阳光线与交于点， 则， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由题意可知，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）已得：， ∴， 在中，， 所以下午时伞体在地面上留下的影子的长约为． 21. 如图所示，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点，是上一点，连接并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由已知可得，证明是斜边的中点，推出，结合，得到，即可证明； （2）过点作，证明，进而证明 ， ，推出点F是的中点，再证明 ，进而证明四边形是矩形，推出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接、， 是的直径， ， ， 在中， ， 是斜边的中点， ． ， 又， ， ，即 ， ∴， 是半径， 是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：过点作， 由（1）得， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 又， ，， ， ， 则， 是的中点 F是的中点， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， 过点作的切线，与的延长线相交于点， ，即， 四边形是矩形， ， 即， 的半径为， ， ，即． 22. 已知二次函数，其中． （1）若二次函数的图像经过，求二次函数表达式； （2）若，当时，二次函数图像的最高点为，最低点为，点的纵坐标为6，求点和点的坐标； （3）若，在二次函数图像上任取两点，当时，总有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式中，求出的值，从而解出二次函数解析式； （2）求出二次函数的对称轴，对称轴在内，根据可知二次函数图像开口向上，在顶点处取得最小值，在离对称轴远的端点处取得最大值； （3）根据二次函数图像的增减性，判断的大致位置，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式得，， 解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴拋物线的对称轴为，顶点为， ， ∴抛物线开口向上，且-1到1的距离大于2到1的距离， ∵当时，， ， ∴代入点和点坐标得：； 【小问3详解】 解：当时，如图所示： 则当时随增大而增大， 当时，随增大而减小， 又∵当时，总有， 此时， ． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【小问1详解】 解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $