精品解析：2025年山东省青岛市崂山区第七中学中考数学三模试卷

2025年山东省青岛市崂山七中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图数轴上点表示的数为，则是（ ）  A. B. C. D. 2. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 7. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（    ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ） A B. C D. 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A. 1≤m≤3 B. 3≤m≤5 C. 3≤m≤6 D. m≥3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 冠状病毒最大直径约为米，是自然界广泛存在的一大类病毒．将用科学记数法可表示为______． 12. 为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________． 13. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 18. （1）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数代入求值． （2）解不等式组：． 19. 中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为______； （2）小明从中随机抽出2张卡片，用列表或画树状图方法，求抽到的结果中含有主题为圆周率卡片的概率． 20. 测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥的高度（如图1），并设计了方案：如图2，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为米，在点处测得桥塔顶部的仰角为．求桥塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：．） 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， （1）补全频数分布直方图； （2）若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 22. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 23. 如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． （1）求证：是的切线． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 24. 小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： （1）点的坐标是______； （2）请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； （3）直接写出为何值时，两人相距米． 25. 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 26. 矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）当，求的值？ （2）设的面积为，求与的关系式． （3）连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省青岛市崂山七中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图数轴上点表示的数为，则是（ ）  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴可知：点表示的数，然后根据绝对值的性质进行计算即可． 本题主要考查了数轴和绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数， ， 故选：C． 2. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可． 【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A选项合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 4. 下列计算中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别按照同底数幂的乘法、完全平方公式、整式的加法、积的乘方及单项式除以单项式来验证即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③与不是同类项，不能合并，故③错误； ④，故④错误； ⑤，⑤正确． 综上，正确的只有⑤1个． 故选：A． 5. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄/岁 12 13 14 15 频数 5 15 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】B 【解析】 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7. 如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】在正方形中：， ∴， ∵O为正方形对角线的中点， ∴， ∵为等边三角形, O为的中点， ∴，， ∴, ∴, 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知的点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为（    ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、旋转变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似图形的概念、旋转变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质求出位似变换后点的对应点的坐标，再根据旋转变换的性质求出旋转变换后的点的对应点的坐标． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，， ∴点的对应点的坐标为，即， 绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为， 故选：D． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向及对称轴的位置可得ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴a>0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ， ∴b＜0， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， 对于一次函数y＝cx+，c＜0，，故此函数图象经过第二、三、四象限； 对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出各系数的取值范围是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5(a≠0)的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是(　　) A. 1≤m≤3 B. 3≤m≤5 C. 3≤m≤6 D. m≥3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+6x-(a≠0)的图象上有且只有一个完美点， 设完美点的坐标为(n,n)， ∴方程n=an2+6n-即an2+5n-=0有两个相等的实数根， ∴， ∴a=-1， ∴二次函数y=ax2+6x-5的解析式为：y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4， ∴当x=3时，函数有最大值为4， 又∵当0≤x≤m时，函数最小值为-5， 令-x2+6x-5=-5， 则x=0或6， ∴要使函数最小值为-5，最大值为4， 则3≤m≤6， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 冠状病毒最大直径约为米，是自然界广泛存在的一大类病毒．将用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程． 【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分， ∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分， 根据题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 13. 如图，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点，分别在边，上，三角形的边在边上，若在矩形区域内随机取点，则这个点落在空白部分的概率______． 【答案】## 【解析】 【分析】设七巧板的边长为，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，，进一步求出落在空白部分的概率． 本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出，的长． 【详解】解：设七巧板的边长为，则，， ∴矩形区域的面积， ∴空白部分的面积， ∴这个点落在空白部分的概率为． 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 15. 如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案． 【详解】解：如图，连接OB，是的切线， 设 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键． 16. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 四边形是正方形，， ，，四边形是矩形， ， 点为中点， ， ， ， ，即， 设，则， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得，， ， 又， ， 解得或， 经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】解：正方形如图所示： 18. （1）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数代入求值． （2）解不等式组：． 【答案】（1），当时，原式；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式化简与求值、一元一次不等式组的解法等知识点，解题的关键在于准确进行分式的化简，特别是处理分母不为零的条件，以及在解不等式组时分别求解每个不等式并找出它们的解集，同时注意运算过程中的符号变化和细节处理． （1）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可； （2）先分别解两个不等式得到和，然后根据同小取小原则确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ， 且， 可以取， 当时，原式； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为． 19. 中国邮政于2025年3月14日国际数学日发行了《数学之美》的邮票，主题包括圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带．某班就此开展了“讲述数学之美”的数学活动，下面是印有《数学之美》邮票图案的四张卡片，卡片除图案外其它均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽出1张卡片，抽到的卡片主题是勾股定理的概率为______； （2）小明从中随机抽出2张卡片，用列表或画树状图的方法，求抽到的结果中含有主题为圆周率卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能结果数以及抽到的结果中含有主题为圆周率卡片的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到的卡片主题是勾股定理的结果有1种， ∴从中随机选取一张卡片，抽到是卡片主题是勾股定理的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：将圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带卡片分别记为，，，，用表格列出所有可能的结果： 共有12种等可能的结果，其中抽到的结果中含有主题为圆周率卡片的结果有种符合题意． ∴抽到的结果中含有主题为圆周率卡片的概率 20. 测角仪的工作原理主要基于光学原理和电子测量技术，某兴趣小组为了探究测角仪器的工作原理，在物理老师的指导下制作了简易的测角仪器并且用于实践活动中，他们要用测角仪测量安徽境内一座大桥的高度（如图1），并设计了方案：如图2，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为米，在点处测得桥塔顶部的仰角为．求桥塔的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：．） 【答案】桥塔的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．设，解，得到．解，求出，再求出求出，根据即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． ，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 21. 为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， （1）补全频数分布直方图； （2）若第四组数据中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； （3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）由随机抽取九年级名学生，可得墨汁盖住的数字共个，根据第二组的占比可得第二组的频数，求出第四组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）根据（1）的结果以及中位数的定义可得答案； （3）用乘第四组所占百分比即可求出所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用样本估计总体即可． 本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：墨汁盖住的数字共个， 第一组的频数为，第二组的频数为，第三组的频数为， 第四组的频数为， 补全频数分布直方图： 【小问2详解】 解：由（1）知，墨汁盖住的数字共个，第四组的频数为， 第四组数据的中位数是， 第四组中被盖住的数字为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：扇形统计图中第四组的圆心角的度数是：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：名， 答：该校约有名学生每日运动时间不少于分钟． 22. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）[问题提出]（1）；（2）见解析 （2）[问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【小问1详解】 [问题探究]：（1）如图， 中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 [问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． （1）求证：是的切线． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）平行四边形；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质、圆的性质（包括圆周角定理和切线性质）、全等三角形的判定与性质、以及特殊四边形（矩形）的判定等知识点，解题的关键在于通过旋转性质确定角度和边长关系，进而利用圆的性质证明为的切线，同时借助全等三角形和矩形的判定条件判断四边形的形状． 由旋转的性质得出，，证得，则可得出结论； 由旋转的性质得出，，，得出，由平行线的判定得出，根据全等三角形的判定和性质定理得到，则可得出结论． 【小问1详解】 证明：把绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ， 又， 为的直径， 为的切线； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形． 理由如下：把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形． 24. 小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： （1）点的坐标是______； （2）请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； （3）直接写出为何值时，两人相距米． 【答案】（1） （2），图象见解答 （3）分钟或分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可； （2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可； （3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟， 妈妈到家所用时间为分钟， 妈妈在家停留的时间为分钟， 分钟， 点的坐标为， 米， 点纵坐标为． 点的横坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为． 当时，， 当时，， 当时，， 与的函数关系式为， 在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示： 【小问3详解】 解：当时，两人相距米时，得， 解得或， 当时，两人相距米时，得， 解得舍去或舍去， 当时，两人相距米时，得， 解得． 答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键． 25. 如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 【答案】（1）； （2）①当时，有最大值；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点 代入抛物线解析式得， 解得 ， ∴抛物线对应的函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①将代入中，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为； ②师傅能刷到的最大垂直高度是米， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即 解得， 又是关于的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【点睛】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 26. 矩形中，，，为中点点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒个单位的速度沿向点运动过作垂直于于，过作垂直于于，连接、两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）当，求的值？ （2）设的面积为，求与的关系式． （3）连接，是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，，得到，求得，根据余弦定义得到，求得； （2）根据余弦定义得到，求出，根据∽，得到，求出，，得到，根据三角形面积公式得到， （3）①当平分时，设与交于点，判定≌，，过点作于点，判定∽，得到，求得，，得到，根据，得到，根据，，得到，得到，解得； 当平分时，根据∽，求出过点作于点，则，得到根据正切定义求出，，根据相似三角形性质得到，得到，即得． 【小问1详解】 解：当时， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得； 【小问2详解】 ，，， ， ，， ， ∽， ， ∴ ，， ； 【小问3详解】 存在．理由： 当平分时，设与交于点， ， ， ， ， ， 过点作于点，则， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，，， ， ， ， ； 当平分时， ∽， ∴， 则 过点作于点， 则，，， ， ，， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和相似三角形综合．熟练掌握矩形性质，相似三角形的判断和性质，二次函数性质，线段垂直平分线性质，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$