精品解析：福建省泉州市丰泽区泉州艺校-华职综合高中期中联考2025-2026学年高一下学期期中数学试题

2025—2026学年下学期综合高中《数学》学科期中学习检测 高一数学 考试范围：必修第二册6.1-8.3；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 在中，在上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若与是共线向量，则点、、共线 B. 若为非零向量，则与反向 C. 若，则 D. 若，，则 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_______. 13. 若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则_______. 14. 已知，，则向量与的夹角为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，， （1）求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长 （2）求出六棱锥的表面和体积 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若，求； （2）若复数为纯虚数，求实数的值； （3）若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 17. 已知中，分别为角，C的对边，. （1）求B； （2）若，点D是AC的中点，且，求的面积. 18. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）已知，，，且，求t的值． （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期综合高中《数学》学科期中学习检测 高一数学 考试范围：必修第二册6.1-8.3；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2.请将答案正确填写在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数. 【详解】因为复数z对应的点为，则， 所以z的共轭复数. 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：B. 3. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为. 故选：A. 4. 已知是关于的方程的一个根，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，解得. 故选：B 5. 在中，在上，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由 可得，， . 故选：C 6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得. 【详解】由正弦定理得，得． 故选：A. 7. 有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，利用圆柱和球的体积公式求解即可. 【详解】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积， 由题意知小球体积为，容器剩余的容积为， 由得， 故选：D. 8. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将正三棱锥的侧面展开，利用几何关系求出山路的最短长度，再结合山路宽度求出山路面积的最小值. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥和棱台的定义，可判定A正确，B错误，C正确，结合圆柱的几何结构特征，可得判定D错误. 【详解】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确； 对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确； 对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确； 对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确. 故选：AC. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若与是共线向量，则点、、共线 B. 若为非零向量，则与反向 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，∵ 与为共线向量，且两向量有公共端点，则、、共线，故A正确. 对于B，∵ 为非零向量，，的方向与的方向相同，不可能反向，故B错误. 对于C，当、均为非零向量时，等价于两向量夹角为，即； 根据教材规定，零向量与任意向量的数量积为0，且零向量与任意向量垂直， ∴ 对任意向量、，若，则，故C正确. 对于D，因相等向量的大小与方向均相同，由 ，，可得，故D正确. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理可得即可判断A；再根据三边长可求的余弦值，进一步可判断关系；再根据“大边对大角”可知最大，为锐角，即可判断形状. 【详解】根据正弦定理，则，A错误； 根据正弦定理可知最大，余弦定理，则为锐角，所以是锐角三角形，C错误，D正确. ,为锐角，，因为都为锐角，所以，B正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的轴截面易得底面半径和母线长，继而可求其侧面积. 【详解】由题意得该圆锥底面圆的半径，侧棱长， 则该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 13. 若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则_______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为与垂直， 所以， 即， 即， 因为，所以，解得， 故答案为：. 14. 已知，，则向量与的夹角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质以及定义得出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围，可得出与的夹角. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，， （1）求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长 （2）求出六棱锥的表面和体积 【答案】（1）高为6，斜高为，侧棱长为 （2）表面积是，体积是 【解析】 【分析】（1）由条件依次求得，，的长即可. （2）由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积. 【小问1详解】 因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4． 在正六棱锥中，，H为中点，所以． 因为O是正六边形的中心，所以为正六棱锥的高． ，在中，，所以． 在中，． 在中，，，所以． 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为． 【小问2详解】 的面积为，的面积为， 所以正六棱锥的表面积为， 体积为. 16. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若，求； （2）若复数为纯虚数，求实数的值； （3）若复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值； （2）利用共轭复数的定义和复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，. 【小问2详解】 因为为纯虚数， 所以，解得. 【小问3详解】 ， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 17. 已知中，分别为角，C的对边，. （1）求B； （2）若，点D是AC的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简得，进而由辅助角公式得，根据角的范围即可求解. （2）根据中线向量的表示形式及数量积的运算律得，将条件代入得，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中由正弦定理及已知条件，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以. 所以，即； 【小问2详解】 因为点D是AC的中点，所以，即， 故． 又，，所以. 因为，所以，即， 则，. 所以的面积为:. 18. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 【答案】（1）①千米；②平方千米. （2）万元. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理计算可得结果；②利用两角和的正弦公式求出的正弦值，再由面积公式计算可得结果； （2）设，利用正弦定理求出的面积关于的表达式，再结合三角函数值域问题即可得出结果. 【小问1详解】 ①由正弦定理可得， 则千米. ②因为，，所以， 所以 则的面积平方千米. 【小问2详解】 设， 由正弦定理可得， 则，， 故的面积平方千米. 该工程队完成这项改造项目获得的利润万元. 因为，所以，所以， 所以，所以， 即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）已知，，，且，求t的值． （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，结合数量积的运算律即可列方程求解的值； （2）原题条件等价于对任意的，恒成立，对分类讨论即可得解. 【小问1详解】 由题意，，因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为，两边平方得， 即， 当时，对任意的，恒成立，故满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 综上所述，所求为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $