精品解析：福建厦门市同安实验中学2023-2024学年高一第二学期期中考试数学试题

厦门市同安实验中学2023~2024学年第二学期 高一年级期中考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面平面，直线，直线，则 与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 平行或异面 C. 异面 D. 异面或相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】因为平面平面，直线，直线， 所以 与没有交点，即 与可能平行，也可能异面． 故选：B. 2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形. 【详解】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为. 故选：A 3. 在 中，已知， ，，则 等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角形大边对大角原则可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ，，则，. 故选：A. 4. 在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义求出，再根据复数的乘法运算即可得解. 【详解】因为复数对应的两个点关于虚轴对称，， 所以， 所以. 故选：A. 5. 已知向量，为单位向量，且与的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】因为向量，为单位向量，且与的夹角为 ， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 6. 在正方体中， 为的中点，则异面直线 与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取 中点，易证，通过平移，将异面直线 与所成的角，转化为直线与所成的角，求解即可. 【详解】取 中点，连接， 在正方体中，且， 又 、分别为、 的中点， 所以且，则四边形为平行四边形，所以， 因此，异面直线 与所成的角，即为直线与所成的角，为（或补角）， 设正方体的棱长为2，易知平面，又平面，则， 则为直角三角形，又，则， 所以，因此异面直线 与所成角的正弦值为. 7. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可． 【详解】圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得， 则圆锥的高 故选：C 8. 已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值. 【详解】如图所示： 因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以， 且， ， 故当共线反向时，取到最大值1， 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设向量，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 与共线 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量运算的坐标表示、向量模长、夹角公式以及向量共线、垂直的坐标形式计算求解. 【详解】因为，，所以，，故A正确； 因为，，所以， 因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误； 因为，，所以， 又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 已知复数z的虚部不为零，同时满足，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在实轴上 C. 为纯虚数 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由 得，对A，由共轭复数的模等于原复数的模判断；对B，由“z的虚部不为零”判断；对C，设，结合 及“z的虚部不为零”判断；对D，由可知z对应点在单位圆上，将转化为单位圆上的点到定点的距离，用几何法计算最大值验证. 【详解】已知复数虚部不为，且 ，可得， 即在复平面内对应单位圆上的点（），逐一分析选项： 对于A：共轭复数的模与原复数的模相等，故，A正确； 对于B：在复平面内的对应点在实轴上等价于的虚部为，与题设矛盾，B错误； 对于C：令，由 ，得：  ， 设，则，所以，得， 若，则，即，得，不合题意， 所以，即，因此是纯虚数，C正确； 对于D：的几何意义是：单位圆上的点到点的距离， 点到原点的距离为​，因此最大距离为即，D正确. 11. 如图，圆台中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ） A. 圆台的母线长为10 B. 圆台的侧面积为 C. 由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据轴截面分析即可； 对B，根据圆台的侧面积公式求解即可； 对C，将圆台侧面展开，再计算 即可； 对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，母线长为，故A正确； 对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B正确； 对C，由题意，侧面全展开的圆心角为，因为此时，但线段 有小部分不在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误； 对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为，直径为，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若是关于 的方程的一个根，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程化简计算，结合复数为0，则实部、虚部均为0即可求出 的值. 【详解】因为是关于 的方程的一个根，则， 又，代入得， 化简整理得，则，所以 . 13. 从直线a，b和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若_____，则_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合线面位置关系的判定定理和性质定理，合理判定和构造满足题意即可. 【详解】对于直线a，b和平面这三个空间元素中取两个，则有： 若，则； 若，，则； 若，，则. （答案不唯一，写出一个即可） 故答案为：若，则； 14. 如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为______m． 【答案】40 【解析】 【分析】设电视塔的高度为 ，则可得，，在中由余弦定理即可求出. 【详解】设电视塔的高度为 ， 因为在直角 中， ，所以， 在直角中，，所以， 则在中，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以电视塔的高度为40m. 故答案为：40. 三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证结论. （2）由（1）及面面垂直的判定可得面面APD，再由面面垂直的性质有面，根据线面垂直的性质即可证结论. 【小问1详解】 由AD⊥平面PAB，面，则， 又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD； 【小问2详解】 由（1）及面，则面面APD， 又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面，而面， 所以AG⊥BD． 16. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． （1）求角C的大小； （2）若，且a＋b＝3，求△ABC的面积． 【答案】（1）60°； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，进而可求得，即可解出C； （2）由余弦定理可得ab＝1，结合三角形面积公式代入计算即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 因为，则，又因为C是锐角，故. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 又因为a＋b＝3，所以ab＝1， 则． 17. 在矩形 中，，， 是 的中点， 是 边上的三等分点（靠近点 ）， 与 交于点 . （1）设，，请用，表示和； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可得解； （2）法一：利用平角向量的数量积运算求得，，，从而得解； 法二：建立直角坐标系，得到各点坐标，从而求得，，，由此得解. 【小问1详解】 依题意，作出图形如下， 因为 是 的中点， 是 边上的三等分点（靠近点 ）， 所以， . 【小问2详解】 法一： 依题意得，，，则，， 所以，， ， 由于与的夹角等于与的夹角， 所以与夹角的余弦值为， 即与夹角的余弦值为. 法二： 建立直角坐标系，如图，则，，，，，， 故，，，， 则， 由于与的夹角等于与的夹角 所以与夹角的余弦值为， 即与夹角的余弦值为. 18. 如图，在直三棱柱中，为的中点， 为的中点. （1）求证：平面 ； （2）求直线 与平面所成的角. 【答案】（1）取 的中点 ，连接. ∵在中， 为的中点， 为 的中点， ∴是的中位线，∴， 又∵ 为的中点，∴， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面平面 ， ∴平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接，证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到为直线 与平面所成的角，利用正弦定义即可求解. 【详解】（1）略 （2）连接，在直三棱柱中， ∵平面平面 ，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线， ∴平面， 又平面，∴， 又∵在中，为的中点，∴， 又是平面内的两条相交直线， ∴平面. ∴ 是 在平面内的射影， 则为直线 与平面所成的角. 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线 与平面所成的角为. 19. 如图1所示， 是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． （1）求四面体 的体积； （2）试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 【答案】（1）2； （2） ①在平面上存在经过点的直线，使得． 证明：过点作，垂足为 ． 平面，平面， ，又，平面， 平面，平面，故可得 ， 即存在； ②在平面上不存在经过点的直线，使得， 证明：假设存在， 不在平面内，在平面内，则平面， 与平面矛盾． 不存在． 【解析】 【分析】（1）过点 作，垂足为 ．可知 为三棱锥的高，利用等面积法求得 ，再由棱锥体积公式求解； （2）①过点作，垂足为 ，由直线与平面垂直的判定与性质证明； ②利用反证法证明在平面上不存在经过点的直线，使得． 【小问1详解】 过点 作，垂足为 ． 平面平面，两平面交线为， 平面， 平面， 由以及可得． ； 【小问2详解】 ① 略； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2023~2024学年第二学期 高一年级期中考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面平面，直线，直线，则 与 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 平行或异面 C. 异面 D. 异面或相交 2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 在 中，已知， ，，则 等于（ ） A. B. C. D. 或 4. 在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知向量，为单位向量，且与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中， 为的中点，则异面直线 与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 设向量，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 与共线 D. 10. 已知复数z的虚部不为零，同时满足，则（ ） A. B. z在复平面内对应的点在实轴上 C. 为纯虚数 D. 的最大值为 11. 如图，圆台中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，则（ ） A. 圆台的母线长为10 B. 圆台的侧面积为 C. 由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，若是关于 的方程的一个根，则______. 13. 从直线a，b和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若_____，则_____ 14. 如图所示，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为______m． 三、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 16. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． （1）求角C的大小； （2）若，且a＋b＝3，求△ABC的面积． 17. 在矩形 中， ，， 是 的中点， 是 边上的三等分点（靠近点 ）， 与 交于点 . （1）设，，请用，表示和； （2）求与夹角的余弦值. 18. 如图，在直三棱柱中，为的中点， 为的中点. （1）求证：平面 ； （2）求直线 与平面所成的角. 19. 如图1所示， 是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线 向上翻折，使得平面平面． （1）求四面体 的体积 ； （2）试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点 的直线 ，使得？ ② 在平面上是否存在经过点 的直线 ，使得？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $