福建厦门市同安实验中学2023-2024学年高一第二学期期中考试数学试题

**基本信息** 厦门市同安实验中学高一年级期中数学卷，覆盖立体几何、解三角形、复数、向量等核心知识，通过分层设问考查空间观念、运算能力与推理意识，适配高一学生期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|立体几何位置关系、斜二测画法、复数对称|基础概念辨析，如第1题考查面面平行下线线位置关系| |多选题|3/18|向量运算、复数性质、圆台几何量|多维度能力考查，如第11题综合圆台侧面积与最短路径| |填空题|3/15|复数方程、空间线面关系、测量问题|情境化应用，如第14题电视塔高度测量体现数学眼光| |解答题|5/77|线面垂直证明、解三角形、向量表示、翻折问题|分层综合，如19题翻折问题考查空间观念与创新意识|

厦门市同安实验中学2023~2024学年第二学期高一年级期中考 数学试题参考答案 1、 单选题 1-4 BDAA 5-8 DCCB 二、多选题 9.AD 10.ACD 11.ABD 三、填空题 12.1 13.若，则；若，，则；若，，则. （答案不唯一，写出一个即可） 14.40 4、 解答题 15.（1）由AD⊥平面PAB，面，则， 2分 又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD； 6分 （2）由（1）及面，则面面APD， 8分 又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面， 12分 而面， 所以AG⊥BD． 13分 16.（1）因为，所以由正弦定理得， 3分 因为，则， 5分 又因为C是锐角，故. 7分 （2）由余弦定理，得， 9分 所以， 又因为a＋b＝3，所以ab＝1， 12分 则． 15分 17.因为是的中点，是边上的三等分点（靠近点）， 所以， 3分 . 6分 （2）法一： 依题意得，，，则，， 7分 所以，， 10分 ， 12分 由于与的夹角等于与的夹角， 所以与夹角的余弦值为， 14分 即与夹角的余弦值为. 15分 法二： 建立直角坐标系，如图，则，，，，，， 8分    故，，，， 11分 则， 12分 由于与的夹角等于与的夹角 所以与夹角的余弦值为， 14分 即与夹角的余弦值为. 15分 18.（1）取的中点，连接． ∵在中，为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 2分 又∵为的中点，∴， 4分 ∴，∴四边形为平行四边形， 5分 ∴，又平面平面， ∴平面． 7分 （2）在直三棱柱中，∵平面平面，∴， ∵，又是平面内的两条相交直线，∴平面， 又平面，∴， 9分 又∵在中，为的中点，∴， 10分 又是平面内的两条相交直线， ∴平面． 12分 ∴是在平面内的射影， 为直线与平面所成的角． 13分 在中，∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 所以直线与平面所成的角为． 17分 19.（1）过点作，垂足为． 1分 平面平面，两平面交线为， 平面， 平面， 3分 由以及可得． 4分 ； 7分 （2）①在平面上存在经过点的直线，使得． 8分 证明：过点作，垂足为． 平面，平面， ， 9分 又，平面， 平面， 11分 平面，故可得， 即存在； 12分 ②在平面上不存在经过点的直线，使得， 13分 证明：假设存在， 14分 不在平面内，在平面内，则平面， 与平面矛盾． 16分 不存在． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2023~2024学年第二学期高一年级期中考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交 2．若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是正方形（如图）， 则原来图形是（ ）第3题图 A. B． C． D． 3．在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D．或 4．在复平面内，复数对应的两个点关于虚轴对称，已知，则（    ） A． B．2 C． D． 5．向量为单位向量且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（     ） A．1 B． C． D．2 8．已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9．设向量，，则（    ） A． B．与的夹角为 C．与共线 D． 10.已知复数z的虚部不为零，同时满足，则（ ） A． B．z在复平面内对应的点在实轴上 C．为纯虚数 D．的最大值为 11．如图，圆台中，母线与下底面所成的角为，为上底面直径， ，则 A．圆台的母线长为 B．圆台的侧面积为 C．由点出发沿侧面到达的最短距离是 D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的 棱长最大值是 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，若是关于的方程的一个根， 则 13．从直线a，b和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若 ，则 14．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为 m. 三、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA (1)求证：PB⊥平面APD； (2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 16.（15分） 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． (1)求角C的大小； (2)若，且a＋b＝3，求△ABC的面积． 17.（15分） 如图，在矩形中，，，是的中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点. (1)设，，请用，表示和； (2)求与夹角的余弦值. 18.（17分） 如图，在直三棱柱中，为的中点， 为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 19．（17分） 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面． (1)求四面体的体积； (2)试判断与证明以下两个问题： ① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ ② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？ 答案第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $