精品解析：天津市朱唐庄中学2026届高考模拟考试数学试卷

天津市朱唐庄中学2026年高考模拟考试 高三数学 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第百分位数为 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于 D. 若随机变量满足，则 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） 个. ①的最小正周期为； ②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数； ③函数在区间上是减函数； ④“函数取得最大值”的一个充分条件是“” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，，则______. 11. 在的展开式中，的系数是________． 12. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________． 14. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 17. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 19. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市朱唐庄中学2026年高考模拟考试 高三数学 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 所以． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的第百分位数为 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于 D. 若随机变量满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】按选项逐一用对应统计知识判断，A用百分位数公式计算位置并取平均；B明确相关系数绝对值越近相关性越强；C用卡方检验的显著性水平判断；D用方差性质验证，最终确定只有C正确． 【详解】对于A，，共个， 计算位置：， 所以，第80百分位数为，不是17，A错误； 对于B，线性相关系数越接近，线性相关性越强， 正相关时接近1，负相关时接近，不是越接近于1就越强，B错误； 对于C，独立性检验：， 说明在的显著性水平下，拒绝独立的原假设，判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于，C正确； 对于D，方差性质，常数不影响方差， 由，得，不是，D错误． 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ） A. 第28项 B. 第29项 C. 第30项 D. 第32项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差，再求出，进而根据通项公式可得项数. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 7. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） 个. ①的最小正周期为； ②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数； ③函数在区间上是减函数； ④“函数取得最大值”的一个充分条件是“” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式进行化简得，求出最小正周期；利用左加右减得出为偶函数；，函数单调递减；令，求出函数取最大值时x的集合. 【详解】 ①最小正周期为 ； ②的图象向左平移个单位得到 ， ， 所以 为偶函数； ③当 时，， 所以函数在上单调递减； ④令 ，得到， 并且是的真子集， 函数取得最大值”的一个充分条件是“”. 所以正确的有3个. 故选：D 【点睛】二倍角公式的熟练运用，将函数化简为最简形式，求最小正周期，平移，单调区间，以及最值等都要熟练掌握. 8. 已知体积为 的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为 . 则该正四棱锥体积值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，取的中点，设点在侧面上的投影为点，则点在上，利用求出球心到四棱锥顶点的距离，再由棱锥的体积公式计算可得答案. 【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心， 由体积为得， 连接，平面，球心在上，， 取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点， 则点在上，且，， 球心到四棱锥顶点的距离为， 所以，，解得， 所以. 故选：A. 9. 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 11. 在的展开式中，的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理求出的通项，求出的值即可得结果. 【详解】由二项式定理知的展开式的通项为： ， 令，解得， 所以的系数是， 故答案为：. 12. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； 第二空，随机变量服从超几何分布，计算即可. 【详解】解：设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”， 则事件A与事件B互为对立事件， 所以； 随机变量的可能取值为，概率为， 所以随机变量分布列为： 随机变量的数学期望为 故答案为：； 【点睛】本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题. 14. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理求解即可； （2）根据余弦定理求解； （3）由余弦定理及两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以，即. 又由余弦定理得， 又为三角形内角，所以. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得，解得， 所以. 【小问3详解】 由余弦定理得，所以. 所以，. 所以 . 17. 如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离： （3）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ， ， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先建立空间直角坐标系，平面，分别以､的方向为轴，轴，轴的正方向建系，求得的方向向量和平面的法向量平行即可； （2）求得直线的方向向量和平面的法向量，利用投影法即可得解； （3）分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，则平面和平面夹角的余弦值，代入即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 则， 点到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. 18. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率可求得，从而求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出的坐标，再由直线的方程表示出点的坐标，再由等量关系，即可得到结果. 【小问1详解】 由题设得，所以， 又离心率为，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以设直线的方程为，且， 联立，整理可得：， 则，故， 则，所以， 又直线的方程，联立，整理可得：， 所以，则，且满足. 则直线的方程为. 19. 已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列： ，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和． 【答案】（1），. （2） （3）21216 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式； （2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算； （3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和. 【小问1详解】 由得公差， 又因为， 得， 化简得，解得， 所以. 由，，成等差数列，得 由是等比数列，设代入， 得，消去， 得，化简并解得， . 【小问2详解】 由（1）得， ， 第一部分为， 令， ， 两式相减： ， ， ， 第二部分利用裂项求和： ， 合并：； 【小问3详解】 由题可知新数列中，前有项， 令，得前有项， 令，得前有项， 恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项， 剩下的全是中的项，，即的前项， . 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】（1） （2） （3） ， 令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证 ，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程； （2）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得解； （3）根据导数求解函数单调性，进而可得最小值，根据两个零点得，通过代入可将问题转为证明，进而证明得证. 【小问1详解】 ，则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $