精品解析：陕西省镇安中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

高一月考试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 向量的模是一个正实数 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【解析】 【分析】由与向量的相关的定义逐个判断各个选项即可得结果. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 零向量的模是0， B不正确． 因为单位向量的方向不确定， C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 3. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角和余弦公式计算求解. 【详解】， 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用正切的和差公式即可求解. 【详解】由题意得， 则． 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以，即或，经检验均符合题意， 所以或. 故选：D 6. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作图,先求出，再求出，即得这栋小高层的高度. 【详解】依题意作图所示：，仰角，俯角， 在等腰直角中，， 在直角中，， ， 小高层的高度为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 8. 设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是钝角三角形的三边长， 所以，且，所以. 设最长边对的角为， 则， 解得. 故选：B 二、多选题 9. 在中，已知，，，则边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理，即， 即，解得或. 故选：AC 10. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的加减法及数量积的运算法则进行逐项判断. 【详解】解：由题意得： 结合正六边形的性质可知，对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 故选：BD. 11. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为锐角 B. 若，则 C. 方向上的单位向量为 D. 若，则向量在上的投影为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出判断A，根据向量模的坐标表示得到方程，求出t的值，即可判断B，由方向上的单位向量为判断C，根据数量积的几何意义求出投影，即可判断D. 【详解】对于A：当时，因为，所以与不共线， 又因为，所以向量与的夹角为锐角，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以方向上的单位向量为， 即方向上的单位向量为，显然向量不是方向上的单位向量，故C错误； 对于D：当时，所以，， 所以向量在上的投影为，故D正确. 三、填空题 12. 已知，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，而，且， 因此，解得，即，所以. 故答案为： 13. 定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利用定义计算即可. 【详解】由得，又， 所以，所以. 故答案为：. 14. 求值：已知为锐角，且, ，则的值为________，的值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出余弦值后用两角正弦的和差公式求解即可. 【详解】因为都是锐角，且,， 所以,，， 所以， ， 故答案为：， 四、解答题 15. 已知向量 . （1）求和； （2）当为何值时，与平行？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合模长公式即可求解， （2）根据平行满足的坐标关系即可求解. 【小问1详解】 由得，所以， 【小问2详解】 ， 由与平行，可得 16. 已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 因为，所以 所以，解得． 17. 已知，计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1）2 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数商的关系即可求解； （2）利用同角三角函数的平方关系和商的关系将弦化为正切即可求解； （3）利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意有，所以，解得； 【小问2详解】 【小问3详解】 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理统一角的形式，化简得，从而可求出的大小； （2）由余弦定理得到，又因为，可解出未知量，进而求得面积． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为， 所以，即 因为 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理得，， 所以， 因为， 所以，得， 所以. 19. 如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，． （1）请用，来表示，； （2）若，求的值； （3）当时，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法法则可得； （2）由数量积的运算律结合向量垂直的条件可得； （3）由数量积的运算律结合向量的模长和夹角的计算可得. 【小问1详解】 由题意知点D是的中点，故， 则；． 【小问2详解】 由题意，， 当时， ，∴，． 【小问3详解】 时， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 向量的模是一个正实数 C. 起点相同的单位向量，终点必相同 D. 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 3. （ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 8. 设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在中，已知，，，则边的长可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 10. 如图，是正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则向量与的夹角为锐角 B. 若，则 C. 方向上的单位向量为 D. 若，则向量在上的投影为 三、填空题 12. 已知，，，，则______. 13. 定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则__________. 14. 求值：已知为锐角，且, ，则的值为________，的值为________. 四、解答题 15. 已知向量 . （1）求和； （2）当为何值时，与平行？ 16. 已知单位向量与的夹角为． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值； （3）若，求的值． 17. 已知，计算 （1）； （2）； （3） 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且. （1）求的大小； （2）若，求的面积. 19. 如图，中，，，D为中点，E为上一点，且，设，． （1）请用，来表示，； （2）若，求的值； （3）当时，求与夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $