26.1.1二次函数 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的定义、一般形式及特殊形式，通过矩形面积、球队比赛场次、产量增长等实际问题导入，引导学生从具体情境抽象函数关系，构建从实例到概念再到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以实际问题为载体，培养学生抽象能力与模型意识，通过函数辨析例题（如判断含参数函数是否为二次函数）和易错点总结（如强调二次项系数不为0），发展推理意识。分层练习题结合中考真题，学生能提升应用能力，教师可高效落实教学目标。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.1.1二次函数 第二十六章 二次函数 26.1.1 二次函数 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 二次函数的定义 一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$是常数，$$a eq0$$）的函数，叫做二次函数。核心判定条件：自变量最高次数为2、二次项系数不为0、解析式为整式函数，三个条件缺一不可。 2. 二次函数一般形式解读 $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$中，$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。$$a eq0$$是二次函数的核心前提，$$b、c$$可以为0。 3. 特殊形式分类 当$$b=0，c=0$$时，$$y=ax^2$$（最简二次函数）；当$$b=0$$时，$$y=ax^2+c$$；当$$c=0$$时，$$y=ax^2+bx$$，以上均属于二次函数。 4. 自变量取值范围 纯二次函数解析式中，自变量$$x$$的取值范围是全体实数；若结合实际应用题，需根据实际场景限定自变量取值。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. $$y=2x+1$$ B. $$y=\frac{1}{x^2}$$ C. $$y=x^2-2$$ D. $$y=x^3+x$$ 2. 若函数$$y=(m-3)x^2+2x-1$$是二次函数，则$$m$$的取值范围是（ ） A. $$m eq3$$ B. $$m=3$$ C. $$m>3$$ D. $$m<3$$ （二）填空题 3. 二次函数$$y=5x^2-3x+2$$的二次项系数是________，常数项是________。 4. 若函数$$y=(k+2)x^2-3x$$是二次函数，则$$k$$的取值范围是________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 判断下列函数是否为二次函数，说明理由。 （1）$$y=1-3x^2$$ （2）$$y=x(x-2)-x^2$$ （3）$$y=\sqrt{x^2+1}$$ 6. 已知函数$$y=(m^2-4)x^2+(m+2)x+3$$，当$$m$$为何值时，该函数为二次函数？ 7. 已知二次函数$$y=x^2+bx+3$$，当$$x=1$$时，$$y=0$$，求该函数的解析式。 四、参考答案与详细解析 1. C 解析：A是一次函数，B是分式函数，D是三次函数，只有C符合二次函数定义。 2. A 解析：二次函数二次项系数不为0，即$$m-3 eq0$$，解得$$m eq3$$。 3. 5，2 解析：对照二次函数一般形式，直接提取对应系数与常数项。 4. $$k eq-2$$ 解析：由$$k+2 eq0$$，可得$$k eq-2$$。 5. 解析：（1）是二次函数，为整式函数，自变量最高次数为2，二次项系数不为0；（2）不是，化简得$$y=-2x$$，是一次函数；（3）不是，解析式含根号，不是整式函数。 6. 解：由二次函数定义得$$m^2-4 eq0$$，解得$$m eq\pm2$$。答：当$$m eq\pm2$$时，该函数为二次函数。 7. 解：将$$x=1，y=0$$代入解析式得：$$1+b+3=0$$，解得$$b=-4$$，函数解析式为$$y=x^2-4x+3$$。 五、本节易错点总结 1. 判断二次函数必须先化简解析式，化简后无二次项则不是二次函数； 2. 含参数二次函数，核心限制条件为二次项系数不为0，切勿遗漏； 3. 分式、根式形式的函数一定不是二次函数，二次函数必须是整式函数。 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题； 3.能根据实际问题列二次函数关系式.（难点） 学习目标 探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 分析：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数， 则根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 - x)，即 y = - x2 + 20x ① 探究点1： 二次函数的概念 分析：单循环问题 问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 每支球队 n 要与其他 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 (n − 1) ， 即 m = . ② 同理， m 是 n 的函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 ②式表示比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，其中 m和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应，即 m 是 n 的函数. m = ② 探究点1： 二次函数的概念 问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量 y =__________， 即 . ③ 20(1 + x) 20(1 + x)(1 + x) 20(1 + x)2 y = 20x2 + 40x + 20 同理， y 是 x 的函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 ③式表示了两年后的产量 y 与每年的计划增产倍数 x 之间的关系，其中 x 和 y 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. y = 20x2 + 40x + 20 ③ 想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y = 20x2 + 40x + 20 y = - x2 + 20x 探究点1： 二次函数的概念 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数. 二次项系数 自变量 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 探究点1： 二次函数的概念 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 不是，y = 6x + 9 探究点1： 二次函数的概念 【方法归纳】 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 探究点1： 二次函数的概念 【链接中考】 1. 下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1 D. A 探究点1： 二次函数的概念 【归纳总结】 y = 8x2 y = 20x2 + 40x + 20 y = ax² + bx + c (a≠0) y = 3 − 2x² y = ax² + c (a≠0) y = ax² (a≠0) y = ax² + bx (a≠0) b = 0 c = 0 b = 0，c = 0 二次函数的一般形式： 特殊形式 成立条件 函数解析式 【合作探究】 m = 探究点1： 二次函数的概念 例2 若函数 y = (m + 1)xm² - 2m - 1 + (m - 3)x + 4 是二次函数，求 m 的值. ∴ m = 3. 总结 本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案. 解：由题意得 m² - 2m - 1 = 2， m + 1 ≠ 0， 探究点1： 二次函数的概念 【链接中考】2. 已知 y = (m² - m)x² + mx - 2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解：(1) 由题意得 m² - m = 0， m ≠ 0， 探究点1： 二次函数的概念 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 例3 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即 S = 4πr² (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. (2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 探究点2： 根据实际问题列二次函数关系式 【练一练】1. 如图，用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x m，求菜园的面积 y (单位：m2) 与 x (单位：m) 的函数关系式. x 解：矩形面积( y ) = 长×宽 实际问题注意取值范围：0＜x＜30. ∴y = (30－x)x = x2 + 15x . (30－x) 【练一练】2. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档 次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. ∴ y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了 2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 知识点1 二次函数的定义 1. 下列函数中，一定是二次函数的有( ) ；； ； ； . C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 中考考法 19 2.若函数是二次函数，则 ___. 3 【点拨】 当函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系数不为 0，解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系 数的限制，从而导致错误. . . . . 中考考法 20 知识点2 二次函数的一般形式及函数值 3. 把函数 化成一般形式后， 二次项系数和一次项系数分别是( ) B A. 1,9 B. ,9 C. 1， D. ， 中考考法 21 4. [2026合肥期中] “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实 验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的 升空高度与飞行时间 满足的关系为 ．若“水火箭”的升空高度为 ，则此 时的飞行时间为( ) C A. B. C. D. 或 中考考法 22 5. 如图，它是一个运算程序示意图，若第一次 输入1，则输出的结果是____. 11 中考考法 23 知识点3 建立二次函数模型 6. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一. 新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为 元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天 的销售额为元.设增长率为，则关于 的函数关系式为 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 7. 如图,用长为 的 篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长 度是 ）,围成中间有一道篱笆的 （1）求与的函数关系式及 的取值范围. 【解】 . 矩形花圃,设该花圃的一边长是,面积是 . 中考考法 25 （2）如果要围成面积为的矩形花圃,那么 的长应为 多少米？ 当时，,解得, . , . 答：的长应为 . 中考考法 26 8. 已知二次函数 的二次项系数 与一次项系数的和为 ，差为2，则常数项为( ) A A. B. C. D. 中考考法 27 9. 刀削面堪称天下一绝， 传统的操作方法是一手托面，一手拿刀， 直接将面削到开水锅里.如图，面刚被削离 时与开水锅的高度差 D A. B. C. D. ，与锅的水平距离，锅的半径 . 若将 削出的小面条（看作点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使 其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 不可能为 （提示：，，水平移动距离 ） ( ) 中考考法 28 二次函数 定 义 y = ax² + bx + c(a≠0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫作二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________ 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) a≠0 二次项系数 一次项系数 常数项 课堂小结 $