第7讲 函数的性质·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性、周期性综合应用，整合多地区模拟题，覆盖一轮复习核心考法，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性与奇偶性基础|选择1-5、填空12-13|单调性区间判断、奇偶性定义应用|从函数性质概念出发，结合具体函数解析式推导，构建“定义→判定→应用”逻辑链| |周期性与对称性综合|选择6-8、多选9-11|抽象函数性质推导、函数值比较|融合周期性与对称性，通过条件转化建立性质间联系，发展逻辑推理能力| |性质证明与应用|解答15-19|单调性定义证明、参数范围求解|以定义法为核心，结合不等式恒成立问题，体现“性质→论证→应用”的数学思维过程|

第7讲 函数的性质·综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D D D A B 6 7 8 9 10 A C D ACD ABD 11 12 13 14 15 ABD （1），奇函数 （2）证明见解析 16 17 18 19 （1）， （2）单调递减，证明见解析 （1）单调递减，证明见解析 （2） （1）存在， （2）证明见解析 （1） （2）偶函数，证明见解析 1.函数的单调递减区间为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意，得，解得或，∴函数的定义域为，令，则开口向上，对称轴为，∴在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，∴函数的单调递减区间为.故选：D. 【点拨】本题考查复合函数的单调性，需先求出函数的定义域，再利用“同增异减”法则进行判断. 2.（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数与均是增函数，所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，由得，即恒成立，所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，因此，实数的取值范围是. 【点拨】本题考查分段函数的单调性及不等式恒成立问题，根据分段函数的单调性求出是基础，利用单调性将不等式转化为恒成立是解题关键. 3.（2026·郑州四中·适应性考试）下列函数中，既满足，又满足的为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项，，不满足，故A不符合题意；B选项，，不满足，故B不符合题意；C选项，，不符合（），故C不符合题意；D选项，，，故D符合题意. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性，通过逐项验证所给的两个函数方程即可得出结论. 4.（2026·安徽安庆·二模）已知，函数（）为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，得，故，，选A. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数及函数值，根据奇函数在原点有定义时求出参数是解题的关键. 5.（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，令，则，∴为奇函数，又与在上均为增函数，∴在上为增函数，且，∴不等式等价于，即，∴，即对任意恒成立，令，当时，，∴.故选：B. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，通过构造函数并利用其奇偶性和单调性将不等式转化为恒成立问题是解题的关键. 6.（2025·河北承德张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③. 则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由可知，函数图象关于直线对称，即.由可知，函数图象关于点对称，即，将替换为得，所以，即，由可得，，，，，所以.又因为，所以，因此是周期为的周期函数，故，故选A. 【点拨】本题考查函数的对称性与周期性，通过已知条件推导出函数的周期为8，并求出一个周期内的函数值之和是解题的关键. 7.（2026·河北石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，. 若，，，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得，∴函数是周期为的周期函数.∵是偶函数，∴，∵，∴.∵，∴.当时，单调递增，且，∴，即.故选C. 【点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性及单调性的综合应用，利用周期性和奇偶性将自变量转化到同一单调区间内是比较大小的关键. 8.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵函数是上的奇函数，∴，不等式可化为，即，等价于或.∵是奇函数，∴其图象关于原点对称，由当时，函数的部分图象可知，当或时，；当时，.由奇函数的对称性可知，当或时，；当时，.∴不等式的解集为.故选D. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象的综合应用，利用奇函数的性质将不等式化简，并结合图象的对称性数形结合求解是关键. 9.（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为，当时，，且对于任意的，都有，则（ 　　） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】令，所以，解得，故A正确；令，所以，所以为奇函数，故B错误；当时，，因为当时，，为奇函数，所以当时，，所以，故C正确；设，令，，则，因为，所以，因为，所以，因此，即在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，当时，，故，故D正确.故选ACD. 【点拨】本题考查抽象函数的性质，利用赋值法求出并判断奇偶性，再利用定义法判断单调性是解题的核心. 10.（2025·河南创新发展联盟·一模）已知函数，则（ 　　） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 不存在，使得 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】对于A，，∴为偶函数，故A正确；对于B，∵，，∴，故B正确；对于C，若，∵是偶函数，∴，代入得，即，∴，则（），令，则，单调递增，值域为，∴必然存在使得，即存在满足条件，故C错误；对于D，当时，在上单调递增，∵，∴，又在上单调递减，∴在上单调递减，故D正确.故选ABD. 【点拨】本题考查复合函数的奇偶性、值域及单调性的判断，利用内层函数的单调性结合外层余弦函数的性质是解题的关键. 11.（2024·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则A正确；对于选项B，∵，∴，∴的周期为，∴，则B正确；对于选项C，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误；对于选项D，将代入，得，将代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则D正确.故选：ABD. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性，根据已知条件推导出函数的周期及对称轴，进而求出特定函数值是解题的关键. 12.（2024·河南省部分学校大联考·质量检测）已知函数（且），若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得，∴，∵切线与直线垂直，而的斜率为，∴切线斜率为，即，解得，∴，且，显然是增函数，当时，，∴在上单调递增，故. 【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数求函数的最值，根据切线垂直关系求出参数的值是解题的第一步. 13.（2026·广东省汕头市·二模）已知函数是偶函数，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵，故，∵为偶函数，故，即，整理得到，故. 【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义列出恒等式是解题的关键. 14.（2026·江西省八所重点中学·4月联考）已知函数满足对任意实数都成立，若，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵，令，得，即，解得.令，得，即，解得.同理可得，，，，∴是周期为的周期函数，∴. 【点拨】本题考查抽象函数的周期性，通过赋值法依次求出函数值，发现其周期规律是解题的关键. 15.（13分）已知函数（），且. （1） 求的值，并指出函数的奇偶性； （2） 在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数. 【答案】（1），奇函数 （2）证明见解析 【解析】（1） ∵，又，∴， 2 分 ∴，， 4 分 此时，∴为奇函数； 6 分 （2） 任取，则 8 分 ， 10 分 ∵，∴，即， 11 分 又，∴，即， 12 分 ∴函数在上是增函数. 13 分 【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的定义证明，作差、变形、定号是利用定义证明单调性的标准步骤. 16.（15分）（2026·河北沧州十二校·一模）函数是定义在上的奇函数，且. （1） 求，的值； （2） 判断并证明在的单调性. 【答案】（1）， （2）单调递减，证明见解析 【解析】（1） ∵是定义在上的奇函数， ∴， 3 分 又由，故； 6 分 （2） 由（1）中可知，在上单调递减， 8 分 证明：设，且， 9 分 则， 12 分 ∵，∴，，， 14 分 从而，即， 故在上单调递减. 15 分 【点拨】本题考查函数的奇偶性及单调性的定义证明，利用奇函数在原点有定义时求参数是常用的技巧. 17.（15分）（2024·江苏泰州海陵·期中）已知函数，. （1） 判断函数的单调性，并利用定义证明； （2） 若，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 【解析】（1） 在上递减，理由如下： 2 分 任取，且，则 4 分 ， 6 分 ∵，且， ∴，， 7 分 ∴，即， ∴在上递减； 8 分 （2） 由（1）可知在上递减， ∴由，得 10 分 ， 13 分 解得， ∴实数的取值范围为. 15 分 【点拨】本题考查函数单调性的定义证明及应用，利用单调性解不等式时，务必注意函数定义域的限制. 18.（17分）（2024·四川遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①；②. （1） 是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由； （2） 证明：为奇函数. 【答案】（1）存在， （2）证明见解析 【解析】（1） 假设存在一次函数，设 2 分 则， ，∴，. 5 分 ，，故满足条件的一次函数为：. 8 分 （2） 证明：定义在上的函数对任意的， 都有成立， 令，则，得 11 分 令，则 14 分 ∴，即，于是 16 分 ∴为奇函数. 17 分 【点拨】本题考查抽象函数的解析式求解与奇偶性证明，利用赋值法求出的值是证明奇偶性的关键步骤. 19.（17分）（2024·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，. （1） 求的值； （2） 判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 【解析】（1） 依题意，令，则， 4 分 即， 6 分 ∵，∴. 8 分 （2） 由（1）知， ∴，即， 11 分 令，则， 14 分 即，∴， 16 分 又∵的定义域为， ∴函数为偶函数. 17 分 【点拨】本题考查抽象函数的性质，熟练运用赋值法，通过巧妙选取的值探求函数性质是解题的核心. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 函数的性质·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数的单调递减区间为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2025·河北·检测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·郑州四中·检测）下列函数中，既满足，又满足的为（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·安庆·二模）已知，函数（）为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·临沂·一模）函数，若对任意，都有，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.（2025·河北·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③. 则（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，. 若，，，则的大小关系为（ 　　） A. B. C. D. 8.（2025·萍乡实验·一模）函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2025·张家口·二模）已知函数的定义域为，当时，，且对于任意的，都有，则（ 　　） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 10.（2025·创新联盟·一模）已知函数，则（ 　　） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 不存在，使得 D. 在上单调递减 11.（2024·烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2024·河南·3月检测）已知函数（且），若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·汕头·二模）已知函数是偶函数，则＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·江西八校·联考）已知函数满足对任意实数都成立，若，，则＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数（），且. （1） 求的值，并指出函数的奇偶性； （2） 在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数. 16.（15分）（2026·沧州十二校·一模）函数是定义在上的奇函数，且. （1） 求，的值； （2） 判断并证明在的单调性. 17.（15分）（2024·泰州海陵·期中）已知函数，. （1） 判断函数的单调性，并利用定义证明； （2） 若，求实数的取值范围. 18.（17分）（2024·遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①；②. （1） 是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由； （2） 证明：为奇函数. 19.（17分）（2024·蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，. （1） 求的值； （2） 判断并证明函数的奇偶性. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $