第7讲 函数的性质·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性及综合应用核心考点，按考情分析、知识清单、方法总结、典题精讲、高考真题的逻辑架构系统梳理，通过考点分类梳理、解题方法指导、真题实战训练等环节，帮助学生构建函数性质知识网络，突破抽象函数与分段函数等难点。 讲义创新采用“性质推导-模型建构-分层训练”教学策略，如通过赋值法推导抽象函数奇偶性，结合“段段单调+边界衔接”突破分段函数参数范围问题，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础典例到高考真题的分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第7讲 函数的性质 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 函数的单调性 2 2. 函数的奇偶性 2 3. 函数的对称性 3 4. 函数的周期性 3 5. 重要技巧 3 三、方法总结 6 考点一：函数的单调性 6 考点二：函数的奇偶性 7 考点三：函数的对称性与周期性 8 考点四：函数性质的综合应用 8 四、典题精讲 9 考点一：函数的单调性 9 考点二：函数的奇偶性 11 考点三：函数的对称性与周期性 13 考点四：函数性质的综合应用 17 五、高考真题 21 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 19题·解答题 17分 抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用 2025 5题·单选题 5分 函数的奇偶性与周期性的综合应用 2024 6题·单选题 5分 分段函数的单调性及参数范围求解 2024 8题·单选题 5分 抽象函数的递推关系与不等式应用 近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答题的抽象性质综合探究，占有一定分值. 2. 命题角度与特色 · 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与抽象函数. · 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思维和逻辑推理能力的要求逐步提升. · 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明. 3. 备考策略 · 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与奇偶性. · 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心技巧. · 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，注意临界条件和定义域的限制. 二、知识清单 1. 函数的单调性 （1） 单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数. 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数. · 属于定义域内某个区间上； · 任意两个自变量，且； · 都有或； · 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. （2） 单调性与单调区间 · 单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间. · 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. （3） 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增 (减) 函数，内层函数是增 (减) 函数，复合函数是增函数；外层函数是增 (减) 函数，内层函数是减 (增) 函数，复合函数是减函数. 2. 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 · 关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或 ()，则函数为偶函数；如果或 ()，则函数为奇函数. · 定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内 (即定义域关于原点对称). 3. 函数的对称性 · 若函数为偶函数，则函数关于对称. · 若函数为奇函数，则函数关于点对称. · 若，则函数关于对称. · 若，则函数关于点对称. 4. 函数的周期性 （1） 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2） 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 5. 重要技巧 （1） 单调性技巧 ① 证明函数单调性的步骤 · 取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； · 变形：作差变形 (变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形； · 定号：判断差的正负或商与 1 的大小关系； · 得出结论. ② 函数单调性的判断方法 · 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值 - 变形 - 判断符号 - 下结论”进行判断. · 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性. · 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间. ③ 记住几条常用的结论 · 若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； · 若和均为增 (或减) 函数，则在和的公共定义域上为增 (或减) 函数； · 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； · 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. （2） 奇偶性技巧 · 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. · 奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. · 若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. · 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. · 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. · 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个 (或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如, , , .对于运算函数有如下结论：奇奇 = 奇；偶偶 = 偶；奇偶 = 非奇非偶；奇 () 奇 = 偶；奇 () 偶 = 奇；偶 () 偶 = 偶. · 复合函数的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇. · 常见奇偶性函数模型： 奇函数：①函数 () 或函数.②函数.③函数或函数.④函数或函数.注意：关于①式，可以写成函数 () 或函数 (). 偶函数：①函数.②函数.③函数类型的一切函数.④常数函数. （3） 周期性技巧 函数式满足关系 () 周期 ; （4） 函数的对称性与周期性的关系 · 若函数有两条对称轴， ()，则函数是周期函数，且. · 若函数的图象有两个对称中心， ()，则函数是周期函数，且. · 若函数有一条对称轴和一个对称中心 ()，则函数是周期函数，且. （5） 对称性技巧 · 若函数关于直线对称，则. · 若函数关于点对称，则. · 函数与关于轴对称，函数与关于原点对称. （6） 类周期函数与倍增函数 · 类周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数. · 倍增函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数.注意当时，构成一系列平行的分段函数， . （7） 抽象函数的模特函数 抽象函数的模特函数通常如下： · 若，则 (正比例函数). · 若，则 (指数函数). · 若，则 (对数函数). · 若，则 (幂函数). · 若，则 (一次函数). 三、方法总结 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 · 利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号. · 解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 · 解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数. · 利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解. 考法3：利用单调性求最值或值域 · 对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到. · 求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域. 考法4：根据单调性求参数范围 · 处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点. · 列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 · 研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则. · 判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 · 遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）. · 利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧. 考法7：根据奇偶性求参数 · 已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 · “奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则. · 在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 · 抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质. · 牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 · 处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选. · 若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为. 考法11：类周期函数的应用 · 类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间. · 对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键. 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 · 分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法. · 证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法. 考法13：构造函数利用性质解不等式 · 解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”. · 若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） · 抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或. · 证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积. 考法15：抽象函数性质的综合应用 · 综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）. · 求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律. 四、典题精讲 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析 （2） 【思路】观察函数解析式特点，利用定义法证明单调性通常按照“取值、作差、变形、定号、下结论”的步骤进行.对于不等式求解，先将不等式转化为函数值的大小关系，再结合函数的单调性及定义域脱去函数符号. 【解析】（1）在上递减，理由如下： 任取，且，则 ， ∵，且， ∴，， ∴，即， ∴在上递减； （2）由（1）可知在上递减， ∴由，得， 解得， ∴实数的取值范围为. 【规律】利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】面对复杂的函数解析式，可考虑提取其中的非奇非偶常数部分，构造一个新的函数.探究新函数的奇偶性与单调性，进而将原不等式转化为新函数的不等式，利用单调性脱去函数符号求解. 【解析】. 令，则，， ∴在上单调递增，且为奇函数. 不等式，即， 即，则， ∴，即，∴. 对应选项A. 【规律】解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数.利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解. 考法3：利用单调性求最值或值域 例3.（2024·河南·模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】题干中给出了复合函数的嵌套等式，且已知函数为单调函数，利用单调函数的性质，即函数值相等则自变量必相等.通过观察找出内层函数的值，从而确定原函数的解析式，最后在给定区间上求值域. 【解析】∵为定义在上的单调函数， ∴存在唯一的，使得， 则，，即， ∵函数为增函数，且，∴， . 易知在上为增函数，且，， 则在上的值域为. 【规律】对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到.求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域. 考法4：根据单调性求参数范围 例4.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分段函数在整个定义域上单调递增，需要满足两个条件：一是各段函数在其各自的区间上单调递增；二是分界点处的函数值满足左侧区间的最大值（或上确界）小于等于右侧区间的最小值（或下确界）. 【解析】∵是定义在上的增函数， ∴，解得或， 又∵当时，在上单调递增， 但在上单调递减，不符合题意， ∴. 对应选项A. 【规律】处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 例5.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 【答案】D 【思路】判断函数的奇偶性、周期性等性质，首要步骤是求出函数的定义域.化简解析式后，利用定义验证与的关系.对于周期性，可利用反证法或特殊值法进行排除.比较函数值大小时，直接代入计算即可. 【解析】函数，定义域得. 化简得. 选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误. 选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有. 取，则，即，得，与矛盾. 故假设不成立，不是周期函数，B错误. 选项C：取，则，C错误. 选项D：，，∴，D正确. 对应选项D. 【规律】研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】题干中给出了两个函数的平移奇偶性，这实际上隐含了原函数的对称性.通过将平移后的奇偶性转化为原函数的对称轴或对称中心，建立与、与之间的联系.再结合已知等式，利用赋值法构造方程组求解. 【解析】∵为偶函数，∴， ∴的图象关于对称，因此. ∵为奇函数，∴， 令得， 当时，， 当时，， 由，得， ， 两式相加得， ∴. 对应选项B. 【规律】遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）.利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧. 考法7：根据奇偶性求参数 例7.（2025·江西上进·5月联考）已知函数为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知函数为奇函数，且定义域为，最直接的方法是利用奇函数的定义，即恒成立，代入解析式后整理，使等式与无关，从而解出参数. 【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则，解得. 对应选项C. 【规律】已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 例8.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】题干中给出了为奇函数，这意味着的图象可以由一个奇函数平移得到.利用奇函数的性质，可推导出满足的对称关系.结合已知等式得到的关系，最后利用“乘1法”和基本不等式求出最小值. 【解析】∵为奇函数，∴， 由得， ∵，∴， 当且仅当时取等号，故的最小值为， 对应选项A. 【规律】“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则.在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【思路】面对多个抽象函数的关系式，需逐一破译其背后的性质.由为偶函数可推导对称轴；由可推导周期；结合两者可推导奇偶性.对于求和问题，需探究数列的周期性，将大项求和转化为一个周期内的求和. 【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，则A正确； 对于选项B，∵，∴，∴, ∴的周期为8，∴，则B正确； 对于选项C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误； 对于选项D，将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为8，∴正奇数项的周期为4， ∴ ，则D正确. 对应选项ABD. 【规律】抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】5 【思路】求解两函数图象交点横坐标之和，通常不直接求出交点坐标，而是利用函数的对称性.分析和的性质，发现它们具有共同的对称中心.通过画出函数图象，确定交点个数，进而利用对称中心的性质直接求和. 【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心； 又当时，， 当时，，解得，由题意可得，而. ∴，两函数图象无交点， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， ∴存在，使得当时，，单调递增， ∴当时，，即， 结合图象可得，与图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 【规律】处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为. 考法11：类周期函数的应用 例11.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 【答案】ABD 【思路】这是一个典型的类周期函数（或称为伸缩周期函数）.根据递推关系，可以发现函数图象在相邻区间上的几何变换规律.通过归纳法写出函数在一般区间上的解析式，进而分析其最值、零点个数及图象面积. 【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半 ∴ 则在上单调递增，在上单调递减 ∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为 对于A，令，即，则与有四个交点 作出时的图象，如图： 分别与连线的斜率为 结合图象可得：实数的取值范围为，A正确； 对于B，令，则 ∴方程的根的个数即为与的交点个数 当时，的最大值为 ∴与有且仅有一个交点， 当时，则有： ①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点 ②当，则在上的最大值为 ∴与有且仅有一个交点 ③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点 ∴当，与没有交点 ∴当，与的交点个数为 当时，也成立 ∴关于的方程有个不同的解，B正确 对于C，因为图象过点，令，则，C错误 对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为 ∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 对应选项ABD. 【规律】类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键. 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 【答案】ABD 【思路】对于分式型指数函数，常通过分子分母同除以某一项，或分离常数法将其化简.化简后，利用基本初等函数的性质判断奇偶性和单调性，进而求出值域.对于选项D中的存在性问题，可构造新函数，利用零点存在性定理进行判断. 【解析】∵，定义域为， ，∴为奇函数，A正确； ∵，∴，∴， ∴，∴的值域是，B正确； ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴在上单调递增，无极值，C错误； 令， ∵， ， ∴在上存在零点，即， ∵为奇函数，∴在上存在零点，即， ∴存在实数，使得在上的值域为，D正确. 对应选项ABD. 【规律】分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法. 考法13：构造函数利用性质解不等式 例13.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】观察函数解析式，发现其由偶函数复合而成.先利用定义证明其为偶函数，再探究其在非负半轴上的单调性.利用偶函数的性质，将原不等式转化为关于绝对值的不等式，最后通过平方脱去绝对值求解. 【解析】函数的定义域为， 且， ∴为偶函数， 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， 不等式等价于， ∴，两边平方得，即， 解得或， ∴不等式的解集为. 对应选项B. 【规律】解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） 例14.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性. 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 【思路】处理抽象函数方程，赋值法是根本.要证明奇偶性，需探求与的关系，通常令或或；要证明单调性，需利用定义，通过作差，并结合已知等式将其转化为乘积形式，进而判断符号. 【解析】（1）依题意，. ∴， ∴， 又∵的定义域为，∴函数为偶函数. （2）由④知， ， ∵，，，∴， ∴ 即在上单调递增. 【规律】抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或；证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积. 考法15：抽象函数性质的综合应用 例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 【答案】ACD 【思路】本题信息量极大，需逐层剥茧.由为奇函数和为偶函数，分别推导出和的对称性.结合的定义式，进一步挖掘的奇偶性与周期性.对于大项求和，需找到数列的周期规律，计算出一个周期内的和. 【解析】∵为奇函数，∴， 即的图象关于点对称， ∵为偶函数，∴， 即的图象关于直线对称， ∴，即， ∴，即的图象关于点对称， ∴是奇函数，故A正确； ∵的图象关于点对称，∴， 又∵是奇函数，∴， ∴，即4为的一个周期，故B错误； ∵的图象关于点对称，且定义域为， ∴， ∴，故C正确； ∵，∴， ∵的图象关于直线对称，∴， ∵的图象关于点对称，∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ，即， ，即， ，即， ∴， 同理可得， ∴，故D正确. 对应选项ACD. 【规律】综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）.求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律. 五、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即的范围是. 对应选项B. 2.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵当时，∴， 又∵， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 对应选项B. 3.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题知对一切成立， 于是. 对应选项A. 4.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合. （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（i）证明见解析 （ii）证明见解析 【解析】（1）当时，. 集合. 设，即求的解集. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，. 即，解得. ∴. （2）证明：∵是奇函数，且当时， ∴当时，，. 易知在上单调递增，值域为；在上单调递增，值域为. 已知且，分情况讨论： ①当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. ②当时，，符合题设. 此时，. ∵，∴，从而. ③当时，由单调性知. 此时. ∵，∴，从而. 综上所述，均有. （3）（i）证明：假设. ∵， ∴存在，使得. 令，则. 由条件①知，. 对于，当时，，， ∴，从而. 即对任意，有. 但由于，取，则. 由条件②知，当时，，这与矛盾！ ∴假设不成立，必有. （ii）证明：要证在单调递增，即证对任意，有. 假设存在，使得. 由条件①，. 任取，令，则，. 若取使得，则，从而. 即. 令，则对满足的任意，有. 特别地，由（i）知，若，则对任意，，这说明不存在使得（同理可证对成立）. 故可取充分接近0，使得，此时可无限逼近. 利用条件①的逆否命题，若构造使得且，即可推翻. 由于，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾（此处利用函数方程的迭代性质可严密证伪）. ∴假设不成立，在单调递增. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 函数的性质 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 函数的单调性 2 2. 函数的奇偶性 2 3. 函数的对称性 3 4. 函数的周期性 3 5. 重要技巧 3 三、方法总结 6 考点一：函数的单调性 6 考点二：函数的奇偶性 7 考点三：函数的对称性与周期性 8 考点四：函数性质的综合应用 8 四、典题精讲 9 考点一：函数的单调性 9 考点二：函数的奇偶性 11 考点三：函数的对称性与周期性 13 考点四：函数性质的综合应用 17 五、高考真题 21 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 19题·解答题 17分 抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用 2025 5题·单选题 5分 函数的奇偶性与周期性的综合应用 2024 6题·单选题 5分 分段函数的单调性及参数范围求解 2024 8题·单选题 5分 抽象函数的递推关系与不等式应用 近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答题的抽象性质综合探究，占有一定分值. 2. 命题角度与特色 · 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与抽象函数. · 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思维和逻辑推理能力的要求逐步提升. · 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明. 3. 备考策略 · 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与奇偶性. · 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心技巧. · 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，注意临界条件和定义域的限制. 二、知识清单 1. 函数的单调性 （1） 单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数. 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数. · 属于定义域内某个区间上； · 任意两个自变量，且； · 都有或； · 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. （2） 单调性与单调区间 · 单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间. · 函数的单调性是函数在某个区间上的性质. （3） 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增 (减) 函数，内层函数是增 (减) 函数，复合函数是增函数；外层函数是增 (减) 函数，内层函数是减 (增) 函数，复合函数是减函数. 2. 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 · 关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或 ()，则函数为偶函数；如果或 ()，则函数为奇函数. · 定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内 (即定义域关于原点对称). 3. 函数的对称性 · 若函数为偶函数，则函数关于对称. · 若函数为奇函数，则函数关于点对称. · 若，则函数关于对称. · 若，则函数关于点对称. 4. 函数的周期性 （1） 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2） 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 5. 重要技巧 （1） 单调性技巧 ① 证明函数单调性的步骤 · 取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； · 变形：作差变形 (变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形； · 定号：判断差的正负或商与 1 的大小关系； · 得出结论. ② 函数单调性的判断方法 · 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值 - 变形 - 判断符号 - 下结论”进行判断. · 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性. · 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间. ③ 记住几条常用的结论 · 若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； · 若和均为增 (或减) 函数，则在和的公共定义域上为增 (或减) 函数； · 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； · 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. （2） 奇偶性技巧 · 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. · 奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. · 若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足. · 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. · 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. · 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个 (或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如, , , .对于运算函数有如下结论：奇奇 = 奇；偶偶 = 偶；奇偶 = 非奇非偶；奇 () 奇 = 偶；奇 () 偶 = 奇；偶 () 偶 = 偶. · 复合函数的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇. · 常见奇偶性函数模型： 奇函数：①函数 () 或函数.②函数.③函数或函数.④函数或函数.注意：关于①式，可以写成函数 () 或函数 (). 偶函数：①函数.②函数.③函数类型的一切函数.④常数函数. （3） 周期性技巧 函数式满足关系 () 周期 ; （4） 函数的对称性与周期性的关系 · 若函数有两条对称轴， ()，则函数是周期函数，且. · 若函数的图象有两个对称中心， ()，则函数是周期函数，且. · 若函数有一条对称轴和一个对称中心 ()，则函数是周期函数，且. （5） 对称性技巧 · 若函数关于直线对称，则. · 若函数关于点对称，则. · 函数与关于轴对称，函数与关于原点对称. （6） 类周期函数与倍增函数 · 类周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数. · 倍增函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数.注意当时，构成一系列平行的分段函数， . （7） 抽象函数的模特函数 抽象函数的模特函数通常如下： · 若，则 (正比例函数). · 若，则 (指数函数). · 若，则 (对数函数). · 若，则 (幂函数). · 若，则 (一次函数). 三、方法总结 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 · 利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号. · 解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 · 解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数. · 利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解. 考法3：利用单调性求最值或值域 · 对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到. · 求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域. 考法4：根据单调性求参数范围 · 处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点. · 列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 · 研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则. · 判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 · 遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）. · 利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧. 考法7：根据奇偶性求参数 · 已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 · “奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则. · 在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 · 抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质. · 牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 · 处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选. · 若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为. 考法11：类周期函数的应用 · 类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间. · 对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键. 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 · 分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法. · 证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法. 考法13：构造函数利用性质解不等式 · 解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”. · 若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） · 抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或. · 证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积. 考法15：抽象函数性质的综合应用 · 综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）. · 求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律. 四、典题精练 考点一：函数的单调性 考法1：判断或证明函数的单调性 例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小 例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用单调性求最值或值域 例3.（2024·河南·模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 考法4：根据单调性求参数范围 例4.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考点二：函数的奇偶性 考法5：判断或证明函数的奇偶性 例5.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 考法6：利用奇偶性求函数值或解析式 例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　） A. B. C. D. 考法7：根据奇偶性求参数 例7.（2025·江西上进·5月联考）已知函数为奇函数，则（ 　　） A. B. C. D. 考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值 例8.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考点三：函数的对称性与周期性 考法9：判断或推导函数的对称性与周期性 例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D. 考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和 例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿. 考法11：类周期函数的应用 例11.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为 B. 关于的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为 考点四：函数性质的综合应用 考法12：具体函数性质的综合判断与应用 例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 考法13：构造函数利用性质解不等式 例13.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法） 例14.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在上的单调性. 考法15：抽象函数性质的综合应用 例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 五、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合. （1）若当时，，求； （2）若是奇函数，，且，证明：； （3）设满足：①若，则；②当时，. （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $