20.1 认识二次根式 课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦“认识二次根式”，系统讲解定义、有意义条件及性质。通过复习平方根旧知导入，以“逐点导讲练”为支架，从定义特征到条件应用再到性质辨析，构建连贯知识脉络。 其亮点在于以数学眼光抽象定义本质，强调“二次根号+非负被开方数”培养抽象能力。以数学思维对比性质差异，如√a²与(√a)²的表格分析，结合例3双重非负性求值强化推理意识。助力学生夯实基础，教师高效教学。

21.1 认识二次根式 学习目标 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 二次根式的定义 二次根式有意义的条件 二次根式的性质 学习目标 知识点 二次根式的定义 知1－讲 1 1. 二次根式的定义 形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式；“”叫做二次根号 . 感悟新知 知1－讲 示 例 是二次根式 . 二次根号不能少 被开方数是非负数 判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而 不是对计算后的结果进行判断 感悟新知 知1－讲 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 . 感悟新知 知1－讲 特别解读 形如b(a ≥ 0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘 积；当b是带 分 数 时，要写成假分数. 感悟新知 知1－练 例 1 下列式子：① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ . 其中一定是二次根式的是________. (只填序号) 解题秘方：紧扣二次根式的定义识别，注意被开方数不能为负数. ①③⑤ 感悟新知 知1－练 解：②中“ ”是三次根号，不是二次根式； ④中被开方数x＋y可能为负数，不一定是二次根式； ⑥中被开方数－2a2－1小于0，不是二次根式 . 感悟新知 知1－练 1-1. 下列式子：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ . 其中是二次根式的有( ) A. ①③⑤ B. ①③ C. ①②③ D. ①②③⑤ A 感悟新知 知2－讲 知识点 二次根式有意义的条件 2 1. 二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义a ≥ 0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义a<0 感悟新知 知2－讲 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数指数幂和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 感悟新知 知2－讲 巧记口诀 二次根式有意义，被开方数非负数； 二次根式无意义，被开方数是负数； 单个二次根式时，列出不等式求解； 复合形式的式子，列不等式组求解 . 感悟新知 知2－练 当x取怎样的实数时，下列各式有意义？ (1)＋(x＋5)0； (2)－； (3)； (4). 解题秘方：要使式子有意义，必须保证组成该式子的每一部分都有意义，即字母取值是各部分有意义的条件的公共部分. 例 2 感悟新知 知2－练 解：(1)欲使 ＋(x＋5)0有意义，则必有∴ x ≤ －3且x ≠ －5. (2)欲使－有意义，则必有 ∴ 2 ≤ x ≤ 5. 感悟新知 知2－练 (3)欲使有意义，则必有∴ x >－. (4)欲使有意义，则必有∴ x ≥ －4且x ≠ 2 . 感悟新知 知2－练 2-1.[中考·河南]写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______________. 2-2. 使式子＋在实数范围内有意义的整数x有( ) A. 5 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 2 个 3(答案不唯一) C 感悟新知 知3－讲 知识点 二次根式的性质 3 1. 二次根式的性质 性质 文字语言 应用及拓展 ≥0(a≥0) 一个非负数的算术 平方根是非负数 (1)三类常见的非负数： ，|a|，a2； (2)若+|b|+c2=0，则 a= 0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0 二次根式具有双 重非负性 感悟新知 知3－讲 性质 文字语言 应用及拓展 ()2=a (a≥0) 一个非负数的算术 平方根的平方等于 这个数本身 (1)正用公式：()2=2， ()2=a2+2； (2)逆用公式：若a≥0，则a=()2，如5=()2，= ()2 感悟新知 知3－讲 性质 文字语言 应用及拓展 =|a|= 一个数的平方的算 术平方根等于这个 数的绝对值 (1)正用公式：化简形如的式子时，先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，如=|π-4| =4-π； (2)逆用公式：若a≥0，则a= ，如3= 感悟新知 知3－讲 特别提醒 对于公式()2=a(a≥0)，无论是正用，还是逆用，都要注意前提：a ≥ 0. 感悟新知 知3－讲 2. 与()2(a ≥ 0)的区别与联系 ()2 区 别 取值范围不同 a为全体实数 a ≥0 运算顺序不同 是先平方后开方 ()2是先开方后平方 运算结果不同 ＝|a|＝ ()2＝a(a ≥0) 联系 与()2均为非负数，当a ≥0时， ＝()2 感悟新知 知3－练 (1)若y = ++2，则xy = ______. (2)若实数a，b满足+4a2+4ab+b2=0，则ba=_____. 解题秘方： 紧扣二次根式定义中的双重非负性：“a≥0， ≥0”进行解答. 例 3 9 感悟新知 知3－练 解：(1)由二次根式中被开方数的非负性， 得∴x=3. ∵y=++2， ∴y=2， ∴xy=32=9. 二次根式中，a ≥ 0. 感悟新知 知3－练 (2)整理，得+(2a+b)2=0. 由二次根式的非负性及平方的非负性， 得 ∴ ∴ba=2-1=. 几个非负数的和为0，那 么每个非负数都等于0. 感悟新知 知3－练 3-1. 已知a+b+c=0，且b=++3，则c=_______. 3-2. 已知实数x，y满足|x-4|+ =0，则以 x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A. 20 或 16 B. 20 C. 16 D. 以上都不对 -5 B 感悟新知 知3－练 计算：(1)()2；(2)；(3)；(4)(－2)2；(5). 解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两个公式”进行计算 . 例 4 感悟新知 知3－练 解：(1)()2＝； (2) ＝|－6 |＝6； (3)＝＝|10－1|＝10－1＝； (4)(－2)2＝(－2)2×()2＝8； (5)＝|3.14－π| ＝π－3.14 . (b)2=b2()2=b2a(a ≥ 0). 感悟新知 知3－练 4-1. 计算： (1)； (2)； (3)4； 解：=|0.3|=0.3. =|-|=. 4=4×=. 感悟新知 知3－练 (4)(10)2； (5)[]2 解：(10)2=102×()2=100×1.69=169. []2=()2=. 感悟新知 认识二次根式 二次 根式 定义 ≥ 0 a ≥ 0 性质 ()2＝a(a ≥ 0) ＝|a| 课堂小结 应用 利用二次根式的性质求值 1 若已知实数a，b，c满足++ =2，求ab+bc的值. 思路导引： 例 5 综合应用创新 解： 由题意得(a2+2 026)(b-6)≥0. 又因为a2+2 026>0， 所以b-6≥0.所以b≥6. 所以=|10-2b|=2b-10. 所以++2b-10=2. 所以++(2b-12) =0. 因为≥0，≥0，2b-12≥0， 所以a+b+c=0，(a2+2 026)(b-6)=0， 2b-12=0. 所以b=6， a+c=-6. 所以ab+bc=b(a+c) =6×(-6) =-36. 综合应用创新 解法提醒 1. 二次根式的双重非负性是解决二次根式问题的一个重要隐含条件. 2. 非负数除了三个常见形式，a2，|a|以 外，还可以根据取值范围直接确定为非负数. 综合应用创新 应用 利用二次根式的性质化简 2 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图20.1-1所示.试化简：+++-. 类型1 结合数轴化简 例 6 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解： 由数轴上点的位置可知0<a<1，b<-1， 所以a-b>0，b-1<0，a-1<0. 则+++- =|a|+|b|+|a-b|+|b-1|-|a-1| =a-b+a-b+1-b- (1-a) =3a-3b. 综合应用创新 解题通法 运用=|a|进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代数式的符号，因此一定要结合具体问题(如数轴、几何图形的特征等)确定其符号，然后进行化简. 综合应用创新 设a，b，c分别为一个三角形的三边长，试化简： +|a-b-c|+- . 题型2 结合三角形的三边关系化简 例 7 解题秘方： 紧扣“三角形三边关系”判断式子的符号进行化简. 综合应用创新 解： ∵a，b，c分别为一个三角形的三边长， ∴a+b+c>0，a-b-c<0， b-a-c<0，c-b-a<0. ∴原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-a-c|-|c-b-a| = (a+b+c) - (a-b-c) - (b-a-c) + (c-b-a) =a+b+c-a+b+c-b+a+c+c-b-a =4c. 综合应用创新 知识链接 三角形三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 综合应用创新 已知x为任意实数，化简：+. 类型3 分段化简 例 8 思路导引： 综合应用创新 解：+=+=|x-1|+|x+3|. (1)当x<-3时，x-1<0，x+3<0, ∴原式=1-x-x-3=-2x-2； (2)当-3≤x≤1时，x-1≤0，x+3≥0，∴原式=1-x+x+3=4； (3)当x>1时，x-1>0，x+3>0，∴原式=x-1+x+3=2x+2. 综合应用创新 方法总结 零点分段法： 利用代数式的零点进行分类讨论，从而解决含有绝对值的式子的运算的方法称为“ 零点分段法”． 综合应用创新 在实数范围内分解因式： (1)x2-5；(2)x4-4x2+4. 例 9 解题秘方： 逆用()2=a(a≥0)分解因式. 应用 利用二次根式的性质因式分解 3 逆用二次根式的性质时，必须先确定该数为非负数，故一般只对数进行变形，对字母进行变形必须谨慎. 综合应用创新 解：(1)x2-5=x2- ()2=(x+)(x- ) . (2)x4-4x2+4 = (x2-2)2 = [(x+)(x-)]2 = (x+)2(x-)2. 综合应用创新 解法策略 在实数范围内分解因式的策略： 在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为()2，以便于使用平方差公式或完全平方公式进行因式分解. 综合应用创新 计算：()2+. 错解：()2+=5-x+x-6=-1. 易错点 利用二次根式的性质计算时，忽略二次根式有意义的条件而出错 例10 综合应用创新 正解： 由5-x≥0， 得x≤5， 所以x-6<0. 所以()2+=5-x+6-x=11-2x. 综合应用创新 诊误区： 对于此类含字母的二次根式计算题，先根据其有意义的条件确定字母的取值范围，再计算. 综合应用创新 $