河南南阳市镇平县第一高级中学2026届考前自测数学试题

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）

1．已知集合 集合 则（    ）

A． B．

C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知展开后共有30项，则为（    ）

A．5 B．6 C．10 D．12

4．已知，则（   ）

A． B． C． D．

5．已知为平面向量，则“不共线”是“”的（    ）

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

6．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ）

A．1025 B．1023 C． D．

7．如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

8．已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列命题正确的是（   ）

A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4

B．若，，，则

C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为

D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4

10. 已知⊙O：，则下列说法正确的是（   ）

A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是

B．⊙O和圆：的相交弦长是4

C．⊙O和圆：有且只有两条公切线

D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为

11．已知在正四棱锥中，，Q为平面内一点，则（   ）

A．四棱锥的体积为

B．当时，面积的最小值为

C．当（）时，存在使

D．当时，点Q的轨迹为抛物线

三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）

12.如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为______.

13. 已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____.
14. 已知椭圆的坐标原点逆时针旋转角后得到曲线，若点为曲线上的两个动点，满足，记曲线的焦点为，则的最小值是_____

 

四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（13分）15．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知．

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的面积．

（15分）16．如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

 

（15分）17．已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)求证：直线、的斜率之积为定值；

(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．

 

（17分）18.设函数 且c≠0,设m,

(1)证明：函数f(x)在区间(0，1)上存在唯一的极小值点；

(2)证明:

(3)已知 且 证明：

 

（17分）19.某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到n的n张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚.规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券r次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为X.

(1)当n=3,r=2时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率.

(2)若n=4,r=m.

①求最终拿到标号不大于k(1≤k≤4)的奖券的概率；

②求随机变量X的期望E(X)(用m表示).

(3)当r=n时，证明：

 

 

 

数学答案

1.【答案】D

【详解】因为，指数函数是减函数，因此不等式等价于，

即 .

由得得，因此.

所以.

 

2.【答案】A

【详解】设，则，

代入得到，

，

即，

所以，即 ，

所以，

则.

 

3.【答案】A

【详解】根据多项式展开的规律和分步乘法计数原理知：展开式的每一项都是从每个括号中各取一个项相乘得到，总项数等于每个括号内项数的乘积.

第一个括号中有2个项，第二个括号中有3个项，第三个括号中有n 个项，

因此总项数为，解得.

 

4.【答案】C

【详解】因为，所以，

，

故.

 

5.【答案】C

【详解】充分性：若不共线，根据三角形的性质，可得，故充分性成立；

必要性：若同向且，则，

此时，则成立，但此时共线，故必要性不成立，

则“不共线”是“”的充分不必要条件.

6.【答案】A

【详解】因为，所以，

即是以为首项，为公比的等比数列，

故，即，

令，得．

 

7.【答案】D

【详解】由题意知：，

另一方面，三点共线，则存在实数，使得

所以，

所以，即，所以，即，