河南省南阳市部分学校2026届高三下学期考前预测数学试题

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

 

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ）

A． B．

C． D．

5．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知数列，则数列的前9项和为（    ）

A．3 B．6 C．2 D．4

7．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

8．如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（    ）

A． B． C． D．

 

二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

10．已知数列中，，，其前项和为，则（   ）

A． B．

C．当取最小值时， D．数列的前项和为

11．如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点，使得平面

B．三棱锥的体积为定值

C．当点在棱上时，的最小值为

D．若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是

 

三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）

12．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________.

13．已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________．

14．已知函数有零点，则的最小值为________．

 

四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（13分）15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知

(1)求

(2)若，，的面积为.

①求;

②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求.

 

 

（14分）16．已知函数，．

(1)求在内的单调性；

(2)若存在，使得，求实数的取值范围；

 

 

（16分）17．某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立．

(1)从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率；

(2)研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望；

(3)研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案：

甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下：

完美：4台或5台全部完成动作；

合格：恰好2台或3台完成动作；

失败：恰好0台或1台完成动作．

乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下：

完美：两轮都至少2台完成；

合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成；

失败：两轮都不超过1台完成．

甲、乙哪种方案更优秀？

 

 

（17分）18．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．

(1)证明：平面；

(2)若在同一个球面上，求该球的半径；

(3)求平面与平面所成角的余弦值．

 

 

（17分）19．已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.

(1)求双曲线的方程；

(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.

证明：①为定值；

②.

数学参考答案

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	D	A	B	B	C	A	B	B	CD	ABD
题号	11
答案	ABD

 

1．D

【详解】，故选：D.

2．A

【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断．

【详解】解：，

，

则在复平面内对应的点为，位于第一象限．

3．B

【分析】分析可知直线与圆相切或相离，可知圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

因为对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，

所以直线与圆相切或相离，则，解得.故选：B.

4．B

【详解】由题意可得，

令，得，此时，

所以图象的对称中心是.

5．C

【分析】分析事件对应的比赛进程，根据各局胜负独立的条件，用独立事件乘法公式计算对应概率，再用互斥事件加法公式将所得概率相加.

【详解】表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论：

情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜，

对应事件的概率，

情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分，

要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分），

前局的概率为，

第3、4局的概率为

第5、6局甲全负的概率为

因此这种情况的概率，

所以.

6．A

【分析】裂项可得，再分组求和即可得.

【详解】，

则、

.

7．B

【详解】由题当时，，所以，

所以当时，，当时，；

所以在区间上单调递增，在上单调递减，

当时，当时，；

当时，；

所以可作出函数的图象，如下图，

若要使函数有个不同的零点，

所以的图象与直线有个交点，