2026届河南省南阳市部分学校考前预测数学试题

**基本信息** 试卷覆盖函数、几何、概率等核心模块，以机器人表演概率问题、三角板翻折立体几何题、双曲线与圆综合题等设计，体现数学思维与应用，适配三模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/40|集合、复数、直线与圆|基础概念辨析，如复数几何意义| |多选|3/18|立体几何、数列|多维度考查，如正方体动态点轨迹| |填空|3/15|胶囊表面积、椭圆离心率|实际情境应用，如药物胶囊体积计算| |解答|5/77|概率统计（机器人表演）、立体几何（翻折问题）、解析几何（双曲线）|分层设计，如概率题结合期望方差分析方案优劣，体现数据意识与逻辑推理|

数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 7．已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知数列中，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 11．如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在棱上时，的最小值为 D．若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 13．已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 14．已知函数有零点，则的最小值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （13分）15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. （14分）16．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； （16分）17．某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． (1)从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； (2)研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； (3)研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ （17分）18．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)若在同一个球面上，求该球的半径； (3)求平面与平面所成角的余弦值． （17分）19．已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B C A B B CD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】，故选：D. 2．A 【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断． 【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3．B 【分析】分析可知直线与圆相切或相离，可知圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为对直线上任意一点，在圆上存在点，使得， 所以直线与圆相切或相离，则，解得.故选：B. 4．B 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 5．C 【分析】分析事件对应的比赛进程，根据各局胜负独立的条件，用独立事件乘法公式计算对应概率，再用互斥事件加法公式将所得概率相加. 【详解】表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论： 情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜， 对应事件的概率， 情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分， 要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分）， 前局的概率为， 第3、4局的概率为 第5、6局甲全负的概率为 因此这种情况的概率， 所以. 6．A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 7．B 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 8．B 【详解】设，的内切圆圆心分别为, 如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点； 同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴， 设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，， ∴，解得， ∴，∴，则离心率.故选项为：B. 9．CD 【详解】依题意可知，四棱锥是正四棱锥，设， 连接，则平面， 由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 四边形是正方形，， ，， 所以， ， ， ，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项正确. ，所以D选项正确.故选：CD 10．ABD 【详解】由题意，，则，所以数列是公差为的等差数列， 又，所以，故A选项正确； 因为等差数列中，，，所以，故B选项正确； 又， 所以当时，取最小值，故C选项错误； 又，所以， 所以   ，故D选项正确.综上所述，选项ABD正确. 11．ABD 【详解】对于A选项，如图，连接，，    因为在正方体中，平面，平面， 所以，因为为正方形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，，平面，所以平面， 所以当点P与A重合时，平面，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而P到上底面的距离是定值， 所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C选项，当点P在棱上时，把平面沿旋转， 使得旋转面与平面共面，连接，如图，    此时取得最小值，在中，，， 则，故C错误； 对于D，由点P到直线与到直线的距离相等， 可知P在以为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，P的轨迹是抛物线，其方程为， 因为CD的中点为E，、， 所以AE的方程:，与AE平行的抛物线的切线方程设为， 联立，可得， 则由，解得，可得切线方程为， 则点P到直线AE的最短距离为，故D正确；故选：ABD. 12． 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 13．/ 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 14． 【详解】设的零点为，则，即， 可看作直线上的一点， 因坐标原点到直线的距离为，显然到原点的距离， 故可先求的最小值，令，设，则， 当时,当时，, 故在上为减函数，在上为增函数，则， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为. 15．(1) (2)①，；② 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. （2）①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 16．(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 17．(1) (2) 0 1 2 3 (3)甲方案更优秀 【详解】（1）从台机器人中随机抽3台，总事件数为：， 恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的事件数为：, 则概率为：． （2）每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布， 的可能取值为，则： ； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 数学期望： ． （3）已知综合得分公式：，S越大，方案越优秀， ①甲方案：完成台数满足， 当时失败，此时，收益为； 当时合格，此时，收益为； 当时完美，此时，收益为； 期望； 方差：； ， 则甲的综合得分：； ②乙方案：完成台数满足， 单轮至少２台完成的概率：，则单轮不超过1台的概率为， 两轮均，即完美的概率：，收益4； 一轮，一轮，即合格的概率：，收益2； 两轮，即失败的概率：，收益； 期望； 方差：， 则乙的综合得分：， ， 甲方案更优秀． 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2）取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. （3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19．(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $