精品解析：2026届河南省南阳市部分学校考前预测数学试题

数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断． 【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知直线与圆相切或相离，可知圆心到直线的距离不小于圆的半径，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为对直线上任意一点，在圆上存在点，使得， 所以直线与圆相切或相离，则，解得. 故选：B. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 令，得，此时， 所以图象的对称中心是. 5. 甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析事件对应的比赛进程，根据各局胜负独立的条件，用独立事件乘法公式计算对应概率，再用互斥事件加法公式将所得概率相加. 【详解】表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论： 情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜， 对应事件的概率，​ 情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分， 要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分）， 前局的概率为， 第3、4局的概率为 第5、6局甲全负的概率为  因此这种情况的概率， 所以. 6. 已知数列，则数列的前9项和为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 7. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 即实数的取值范围是. 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围. 【详解】设，的内切圆圆心分别为, 如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点； 同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴， 设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，， ∴，解得， ∴，∴，则离心率. 故选项为：B. 【点睛】根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点是第一个突破口；通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是第二个突破口；通过渐近线与相交弦斜率关系得到离心率范围是第三步.本题对相关知识的基本功要求较高，运算能力、数形结合能力要求高，具有典型模型特点. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法确定正确答案. 【详解】依题意可知，四棱锥是正四棱锥，设， 连接，则平面， 由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 四边形是正方形，， ，， 所以， ， ， ，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：CD 10. 已知数列中，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，可得数列是等差数列，进而可求得数列的通项公式，可判断选项A正确； 再根据等差数列的前项和公式，可求得，令，可求得，可得选项B正确； 根据等差数列前项和的二次函数性，可得选项C错误； 由通项可得数列的通项，结合裂项相消法可求得前项和，可得选项D正确. 【详解】由题意，，则，所以数列是公差为的等差数列， 又，所以，故A选项正确； 因为等差数列中，，，所以，故B选项正确； 又， 所以当时，取最小值，故C选项错误； 又，所以， 所以 ，故D选项正确. 综上所述，选项ABD正确. 11. 如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在棱上时，的最小值为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，当点P与A重合时，利用线面垂直的判定定理即可判断；对于B选项，由P到上底面的距离是定值即可判断；对于C选项，将平面沿旋转至平面共面，即可得到的最小值，从而得以判断；对于D选项，先得到点P的轨迹方程，将问题转化为抛物线上的点到直线的最小距离，从而得解. 【详解】对于A选项，如图，连接，， 因为在正方体中，平面，平面， 所以，因为为正方形，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，，平面，所以平面， 所以当点P与A重合时，平面，故A正确； 对于B选项，三棱锥的体积就是三棱锥的体积，而P到上底面的距离是定值， 所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C选项，当点P在棱上时，把平面沿旋转， 使得旋转面与平面共面，连接，如图， 此时取得最小值，在中，，， 则，故C错误； 对于D，由点P到直线与到直线的距离相等， 可知P在以为准线，B为焦点的抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，P的轨迹是抛物线，其方程为， 因为CD的中点为E，、， 所以AE的方程:，与AE平行的抛物线的切线方程设为， 联立，可得， 则由，解得，可得切线方程为， 则点P到直线AE的最短距离为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题D选项的结论的解决关键是利用抛物线的定义，建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程，从而将问题转化为抛物线上的点到直线AE的距离的最值，从而得解. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最小值，再结合几何意义，即可求解. 【详解】设的零点为，则，即， 可看作直线上的一点， 因坐标原点到直线的距离为，显然到原点的距离， 故可先求的最小值，令，设，则， 当时,当时，, 故在上为减函数，在上为增函数，则， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得； （2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将分别用表示，再运用向量数量积的运算律和向量夹角的计算公式求出即得答案. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. 【小问2详解】 ①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 16. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 17. 某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． （1）从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； （2）研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； （3）研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）甲方案更优秀 【解析】 【分析】（1）分别计算总基本事件和符合条件的事件数，再计算概率； （2）每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布，求出相应概率列出分布列，并求出数学期望； （3）根据综合得分公式，分别计算两种方案的期望与方差，进而比较得分大小得出结论． 【小问1详解】 从台机器人中随机抽3台，总事件数为：， 恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的事件数为：, 则概率为：． 【小问2详解】 每台机器人完成动作相互独立，且概率为，故服从二项分布， 的可能取值为，则： ； ； ； ； 分布列为： 0 1 2 3 数学期望： ． 【小问3详解】 已知综合得分公式：，S越大，方案越优秀， ①甲方案：完成台数满足， 当时失败，此时，收益为； 当时合格，此时，收益为； 当时完美，此时，收益为； 期望； 方差：； ， 则甲的综合得分：； ②乙方案：完成台数满足， 单轮至少２台完成的概率：，则单轮不超过1台的概率为， 两轮均，即完美的概率：，收益4； 一轮，一轮，即合格的概率：，收益2； 两轮，即失败的概率：，收益； 期望； 方差：， 则乙的综合得分：， ， 甲方案更优秀． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线的方程； （2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（ ） A B. C. D. 5. 甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列，则数列的前9项和为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 7. 已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列中，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 11. 如图，已知正方体的棱长为为底面正方形内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点在棱上时，的最小值为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，的中点为，则点到直线的最短距离是 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 14. 已知函数有零点，则的最小值为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 16. 已知函数，． （1）求在内的单调性； （2）若存在，使得，求实数的取值范围； 17. 某公司在研发机器人互动节目《机器侠》中，设计台各不相同的人形机器人进行武术表演，其中8台表演“两步登墙后空翻”动作，7台表演“空中大回旋”动作．每台机器人的表演相互独立． （1）从这台机器人中随机抽取3台，求恰好抽到1台表演“两步登墙后空翻”、2台表演“空中大回旋”动作机器人的概率； （2）研发前期每台表演“两步登墙后空翻”的机器人完成动作的概率均为，现使用3台“两步登墙后空翻”机器人完成该动作，设X为完成该动作的机器人的台数，求X的分布列，数学期望； （3）研发前期每台表演“空中大回旋”的机器人完成动作的概率均为，根据各种方案完成的情况分为完美、合格、失败三类，其中完美收益4分，合格收益2分，失败收益分．收益的期望为，方差为，综合得分公式：，S越大，方案越优秀．现有甲、乙两种方案： 甲方案：使用5台表演“空中大回旋”的机器人，具体判定标准如下： 完美：4台或5台全部完成动作； 合格：恰好2台或3台完成动作； 失败：恰好0台或1台完成动作． 乙方案：使用6台表演“空中大回旋”的机器人，分两轮独立执行，每轮各3台，具体判定标准如下： 完美：两轮都至少2台完成； 合格：恰一轮至少2台完成，另一轮不超过1台完成； 失败：两轮都不超过1台完成． 甲、乙哪种方案更优秀？ 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. （1）求双曲线方程； （2）若过点且与轴垂直直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $