精品解析：吉林省松原市滨江中学2025—2026学年度下学期模拟测试卷 九年级数学

松原市滨江中学九年级模拟数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 小敏对自己的体重进行了跟踪统计，为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 4. 下面括号内填入后，等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组的解集如图所示，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的弦，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交优弧于点C，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_________． 8. 随着科技的发展，智能手表逐渐成为人们关注的电子产品．若某品牌智能手表原售价为元/个．现进行促销活动，先打八折，再优惠元，那么该智能手表现在的售价为_____元/个．（用含，的代数式表示） 9. 如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 10. 如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 14. 扬州是个好地方，这座被运河滋润千年的古城，以其独特的文化魅力、精致的园林艺术和鲜美的淮扬风味，吸引着八方来客．某天甲、乙两人来扬州旅游，他们分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择B景点的概率． 15. 如图，在矩形中，点是边上一点，，垂足为．求证：． 16. 某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔的高度，无人机在距地面的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为．求出红山塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 17. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、A、B均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图．不要求写出画法，但要保留必要的痕迹． （1）在图①中，过点 P画直线． （2）在图②中，过点 P画直线 ． （3）在图③中，画线段的垂直平分线． 18. 某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 19. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 20. 如图，在中，，，，动点M从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿向终点B运动，点N是点M关于点B的对称点，过点M作于点Q，以、为边作，点M的运动时间为秒． （1）的长为_________； （2）当点P落在上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 21. 综合与探究 问题情境： 如图1，两块全等的三角形纸片叠放在一起，，． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点与点重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图2位置的绕点顺时针旋转得到．的对应点分别是，． ①如图3，当时，垂足为，与交于点，求线段的长； ②当时，请直接写出点到直线的距离． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点B，点P是该抛物线上的一点，其横坐标为，作轴，且点Q的横坐标为3m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求线段的长度； （3）当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出m的值； （4）已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松原市滨江中学九年级模拟数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 小敏对自己的体重进行了跟踪统计，为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：依题意，体重减少应记作． 2. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图是 ． 3. 如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 4. 下面括号内填入后，等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式不成立，不符合题意； D、，等式成立，符合题意； 故选：D． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组的解集如图所示，则该不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求不等式，由数轴上的解集可知，，已知条件，则需找到解集为的不等式，分别求出各选项的解集即可得出答案． 【详解】解：根据数轴上的解集可知，，已知条件，则需找到解集为的不等式即可． ．，则，故该选项不符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； ．，则，故该选项不符合题意； 故选：D． 6. 如图，为的弦，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线交优弧于点C，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图得出是的垂直平分线，因此，为等腰三角形；利用，算出；根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得；结合等腰三角形性质，算出底角． 【详解】解：连接， 由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线 经过圆心，且点在直线上 ，即为等腰三角形， ， 为等腰三角形， ， ， 是圆周角，是圆心角，它们都对应弧， ， 在中，，且， ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_________． 【答案】6 【解析】 【详解】解： 8. 随着科技的发展，智能手表逐渐成为人们关注的电子产品．若某品牌智能手表原售价为元/个．现进行促销活动，先打八折，再优惠元，那么该智能手表现在的售价为_____元/个．（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出原售价打八折后的价格，再减去优惠的金额，即可得到现在的售价． 【详解】解：原售价为元/个，打八折后的售价为元/个，再优惠元， 因此现在的售价为元/个． 9. 如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图．若，则的度数为_____． 【答案】##135度 【解析】 【分析】先求出，再根据四边形的内角和求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴． 10. 如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，，，连接．若四边形的面积为3，则k的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为， ∴，， 又∵轴于点，轴于点， ∴ 则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，， 则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意得， 解得． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当时，原式． 13. 某商场在世博会上购置A、B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元．求A，B玩具的单价． 【答案】A玩具单价为50元，B玩具单价为75元． 【解析】 【分析】先根据题意设出未知数，再利用题目给出的两个等量关系列出一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：设A玩具单价为元，由题意得B玩具单价为元． ∵购置2个B玩具与3个A玩具共花费300元， ∴， 解得， ∴B玩具单价为（元）． 答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元． 14. 扬州是个好地方，这座被运河滋润千年的古城，以其独特的文化魅力、精致的园林艺术和鲜美的淮扬风味，吸引着八方来客．某天甲、乙两人来扬州旅游，他们分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择A景点的概率为_________； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择B景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择A景点的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人中至少有一人选择B景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲选择A景点的结果有1种， ∴甲选择A景点的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如图． 由树状图知共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人中至少有一人选择B景点的结果有5种， 甲、乙两人中至少有一人选择B景点的概率为． 15. 如图，在矩形中，点是边上一点，，垂足为．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．由平行线的性质导角可得，从而可证明，进而可证明结论． 【详解】略 16. 某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔的高度，无人机在距地面的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为．求出红山塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】铁塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得：，，设，在中，求出，再在中，求出，最后根据，列出方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：红山塔的高度约为． 17. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点P、A、B均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图．不要求写出画法，但要保留必要的痕迹． （1）在图①中，过点 P画直线． （2）在图②中，过点 P画直线 ． （3）在图③中，画线段的垂直平分线． 【答案】（1） 如图①中，直线即为所求； （2） 如图②中，直线即为所求； （3） 如图③中，直线即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可； （3）取格点Q，连接，取的中点M，故的中点N，M作直线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 18. 某校对直播软件功能进行筛选，学校选定了A和B两款软件进行试用，并抽取部分师生对这两款软件打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：分别随机抽取20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 信息二：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 软件 平均数 众数 中位数 A 4 B 4 信息三：抽取的10位教师对A和B这两款软件打分的平均分分别为分和4分． 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）学生对这两款软件评价较高的是哪一款？请说明理由． （3）学校决定选择综合平均分高的软件进行教学，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，请你通过计算分析学校会采用哪款软件进行教学． 【答案】（1）3，4 （2） 学生对这两款软件评价较高的是B，理由如下： ∵学生对B打分的平均数和中位数都比A高， ∴学生对这两款软件评价较高的是B； （3）学校会采用A软件进行教学 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，众数和加权平均数，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义进行求解即可； （2）根据学生对钉钉打分的中位数和平均数都比对直播打分的中位数和平均数高即可得到答案； （3）分别计算出两款软件的得分即可得到答案； 【小问1详解】 解：由折线图可得，第10位与第11位的得分都是3分， ∴中位数， 由折线图可知，B软件得分出现次数最多的是4分． ∴众数， 故答案：3，4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 A软件的得分为（分）， B软件的得分为（分）， ∵， ∴学校会采用A软件进行教学． 19. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 【答案】（1） （2）款汽车比款行驶路程长，长 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据函数图象中的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）令中，得出，根据函数图象求得款新能源电动汽车行驶路程，比较大小，即可求解； （3）令中，，分别求得路程，即可得出能够行驶的路程，再除以速度，即可求解． 【小问1详解】 解：设所对应的函数表达式，依题意， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，， 解得：， 电池电量用完时，款新能源电动汽车行驶路程为， ()， ∴款汽车比款行驶路程长，长； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ， （小时）， 故答案为：． 20. 如图，在中，，，，动点M从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿向终点B运动，点N是点M关于点B的对称点，过点M作于点Q，以、为边作，点M的运动时间为秒． （1）的长为_________； （2）当点P落在上时，求t的值； （3）设与重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】（1）10 （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】(1) 由，求得，再由勾股定理求解即可； (2) 过点Q作于D，在中，，，根据，求得，，再运用等积法求得，然后根据当点P落在上时，得到，在中，，由勾股定理得，求解即可． (3) 分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， ∴ 由勾股定理得：． 【小问2详解】 解：过点Q作于D，如图， 由题意，得，则， 点N是点M关于点B的对称点， ， 在中，， ， ∴设，则， 由勾股定理得，解得， ，， ， ，解得：， 当点P落在上时， ， ， ， ， 四边形为矩形， 在中，， 由勾股定理得， 化简得 解得：，（舍去）， 当点P落在上时，． 【小问3详解】 解：分两种情况：当时，过点P作，如图， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ，， 四边形是矩形， ， ； 即； 当时，如图， ， ，即． 21. 综合与探究 问题情境： 如图1，两块全等的三角形纸片叠放在一起，，． 初步探究： （1）如图2，将沿方向平移，当点与点重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图2位置的绕点顺时针旋转得到．的对应点分别是，． ①如图3，当时，垂足为，与交于点，求线段的长； ②当时，请直接写出点到直线的距离． 【答案】 （1）四边形是菱形，理由如下， ∵， ∴， ∵将沿方向平移，当点与点重合， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①；②点到直线的距离为或． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，由平移的性质得到，，则，，所以四边形是平行四边形，结合菱形的判定方法即可求解； （2）①如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理，锐角三角函数的计算得到，则，，在中，，则，由此即可求解； ②分类讨论：第一种情况，如图所示，与重合，则，延长交于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形；第二种情况，如图所示，与重合，连接，过点作，过点作；由勾股勾股定理，锐角三角函数的计算，数学结合分析即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①如图所示，连接，过点作于点，设与交于点， 根据旋转得到，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 第一种情况，如图所示，与重合，则，延长交于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，则四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∴四边形，是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点到直线的距离为； 第二种情况，如图所示，与重合，连接，过点作，过点作， 根据计算，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为； 综上所述，点到直线的距离为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，锐角三角函数的计算，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点B，点P是该抛物线上的一点，其横坐标为，作轴，且点Q的横坐标为3m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求线段的长度； （3）当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出m的值； （4）已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） （3）m的值为或4 （4）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式配方为顶点式，或直接代入顶点坐标公式计算； （2）因为平行于x轴，所以P、Q纵坐标相等，将Q的横坐标代入抛物线解析式，结合P的纵坐标，建立关于m的方程，解出m后，计算两点横坐标差的绝对值得长度； （3）先确定点B的坐标，再根据m的取值范围，判断P和B之间的抛物线部分的最高点与最低点，分情况计算纵坐标差，令其等于，解方程后验证合理性； （4）先确定P、Q、M三点坐标，判断的区域范围，结合抛物线的对称轴，判断抛物线在三角形内部部分的单调性，分单调递增和单调递减两种情况，列不等式求解． 【小问1详解】 解：对抛物线配方得： ， ∴顶点坐标为 ； 【小问2详解】 由题意，坐标为， 轴， ∴纵坐标为， 且横坐标为， 故， ∵在抛物线上，代入抛物线解析式得： ，  整理得， 解得，， ∵，故， ∴； 【小问3详解】 抛物线与轴交点坐标为，对称轴， ① 当时：点和点之间的部分在对称轴左侧，随增大而减小， ∴最高点为，最低点为， ∴纵坐标之差为： ，  解得，（舍去）； ② 当：点和点之间的部分在对称轴左侧， ∴最高点为，最低点为， ∴纵坐标差： ， 化简得，无解； ③ 当时：对称轴在点和点之间，最低点为顶点， 时，最高点为， ∴纵坐标之差为，解得（舍去）， 时，最高点为， ∴纵坐标之差为， 解得，（舍去）， 综上，的值为 ​ 或 ； 【小问4详解】 ∵， ∴轴， 且轴， ∴为直角三角形， 此时，，， ①当时，在对称轴的左侧， 若抛物线在内部有点，则点在点的上方，如图所示， ∴， 解得， ∴， ②当时， ，此时点在点的上方， 由（2）得，当点在抛物线上时，， 此时， ∴只有当时，三角形内部才有图象，且图像单调，如图所示， 解得或（舍去）， ③当时， 若，此时点在点的上方，如图所示， 此时三角形内部的点随的增大而增大，满足题意， 若，此时点在点的下方，如图所示， 此时三角形内部没有图像，故舍去； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $