精品解析：吉林省松原市滨江中学2025—2026学年 下学期期中考试 九年级数学

松原市滨江中学九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 5的相反数是（　　） A. 5 B. C. 5或 D. 2. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某文创馆设计的礼盒表面展开图，把它折叠成正方体后，则“秋”字对面的字是（ ） A. 礼 B. 易 C. 诗 D. 书 4. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在扇形中，点M在上，点N为上一点，连接，将扇形沿折叠，点A恰好与点O重合，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 9. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题，其大意为：现有一群学生分纸笺，要是个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是个人共用一叠纸笺，会有个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有叠，可列方程为_____． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点C，，若的面积为6，则k的值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措．某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价． 14. 如图，三张“黑桃”扑克牌，背面完全相同将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上甲，乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字再放回洗匀，乙再从中随机抽取一张．利用树状图或列表的方法，求甲乙两人抽到同一张扑克牌的概率． 15. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，．测得，，，求滑轮与地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，）． 16. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，经过A、B、C三个格点，只用无刻度直尺，在给定的网格按要求画图． （1）在图①中的圆上找一格点D，使得； （2）在图②中的圆上找一点E，使得平分； （3）在图③中的圆上找一点F，使得四边形是矩形． 17. 如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． （1）求证：； （2）若，求“翼角”的度数． 18. 某中学“”创新教育实践社团部为提高学生的安全意识和安全技能，组织九年级学生进入消防支队进行实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校随机从中抽取男、女生各25名的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 性别 平均分 中位数 众数 方差 女生 8.76 a 9 1.06 男生 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，________，并把女生竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为女生和男生哪个的成绩更好，并说明理由； （3）若“”创新教育实践社团部九年级共有300人（男女人数相等）参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点E落在边上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 20. 某光伏电站研发团队在光照强度恒定的实验条件下，监测电池板的累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间的关系．实验开始时，电量计量仪已有初始读数3，此后在恒定功率下发电．测得数据如下表： 发电时间 0 10 20 30 40 50 累计发电量 3 6 9 12 15 18 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．根据实验条件，累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式； （3）小明在查看实验记录时发现一组数据，当发电时间为时，累计发电量为，请判断该记录是否合理？并说明理由． 21. 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 操作证明： （1）如图①，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图②，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点，交对角线于点，点的对应点落在对角线上．如图③，此时，直接写出的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为（），点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围； ③若，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松原市滨江中学九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 5的相反数是（　　） A. 5 B. C. 5或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：5的相反数是． 故选：B． 2. 产自中国的“手撕钢”，厚度仅米，约是纸厚度的六分之一，达到世界领先水平，目前广泛应用于手机折叠屏、航天压力传感器、汽车制造等高端领域，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，科学记数法要求形式为，其中，为整数． 将转换为，小数点移动5位，故． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图是某文创馆设计的礼盒表面展开图，把它折叠成正方体后，则“秋”字对面的字是（ ） A. 礼 B. 易 C. 诗 D. 书 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：把它折叠成正方体后，则“秋”字对面的字是“易”． 4. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用合并同类项法则，单项式乘单项式法则对各选项逐一计算，选出结果符合要求的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不等于； 选项B：与是同类项，，运算结果等于； 选项C：与不是同类项，不能合并，运算结果不等于； 选项D：根据单项式乘单项式法则，，运算结果不等于． 5. 如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的旋转角的计算，解决本题的关键是观察图形得到特点． 观察图形可得该图形被平均分成了6份，由此求解即可． 【详解】解：观察图形可知，该图形被平均分成了6份， ∴图形的旋转角度可以为， 即该图形绕中心旋转后，依然与原图形重合． 故选：B ． 6. 如图，在扇形中，点M在上，点N为上一点，连接，将扇形沿折叠，点A恰好与点O重合，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，由折叠得，，，解直角三角形求出，求出，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接 由折叠得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 8. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 9. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 【答案】22.5 【解析】 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴， ∴． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题，其大意为：现有一群学生分纸笺，要是个人共用一叠纸笺，会空出来一叠纸笺没人用；要是个人共用一叠纸笺，会有个学生没有纸笺可用．问学生有多少人，纸笺有多少叠？设纸笺有叠，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由学生总人数不变，分别用含的代数式表示两种分纸笺方式下的学生总人数，再根据等量关系列出方程． 【详解】解：设纸笺有叠， 第一种分法中，6个人共用一叠纸笺，空余1叠， 因此实际使用纸笺叠， 学生总人数为； 第二种分法中，4个人共用一叠纸笺，剩余8个学生没有纸笺， 因此学生总人数为， 因为学生总人数保持不变， 因此可列方程为． 11. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点C，，若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，由题意易得，设点，然后可得，则有，进而根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措．某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，种型号节能灯的单价比种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价． 【答案】A种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、正确列出分式方程是解题的关键． 设A种型号节能灯的单价为x元，则B型号节能灯的单价为元，根据“用5000元购买的种型号节能灯的数量与用3000元购买的种型号节能灯的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设A种型号节能灯的单价为x元，则B型号节能灯的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 所以． 答：A种型号节能灯的单价为25元，则甲型号节能灯的单价为15元． 14. 如图，三张“黑桃”扑克牌，背面完全相同将三张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上甲，乙两人进行摸牌游戏，甲先从中随机抽取一张，记下数字再放回洗匀，乙再从中随机抽取一张．利用树状图或列表的方法，求甲乙两人抽到同一张扑克牌的概率． 【答案】抽到同一张扑克牌的概率为 【解析】 【分析】利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 列举出所有情况，让甲乙两人抽到同一张扑克牌的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，甲乙两人抽到同一张扑克牌的有种情况， ∴两次抽到同一张扑克牌的概率为． 15. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，．测得，，，求滑轮与地面的距离的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】滑轮与地面的距离的长约为． 【解析】 【分析】结合题意容易得到四边形是矩形，则，，利用三角函数计算出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 答：滑轮与地面的距离的长约为． 16. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，经过A、B、C三个格点，只用无刻度直尺，在给定的网格按要求画图． （1）在图①中的圆上找一格点D，使得； （2）在图②中的圆上找一点E，使得平分； （3）在图③中的圆上找一点F，使得四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等进行作图即可； （2）先找到线段的中点，然后连接该中点和点，并延长，进而问题可求解； （3）根据直径所对圆周角为直角可进行作图． 【小问1详解】 解：所作的点D，使得，如图①所示： 【小问2详解】 解：所作的点E，使得平分，如图②所示； 【小问3详解】 解：所作的点F，使得四边形是矩形，如图③所示． 17. 如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． （1）求证：； （2）若，求“翼角”的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 某中学“”创新教育实践社团部为提高学生的安全意识和安全技能，组织九年级学生进入消防支队进行实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校随机从中抽取男、女生各25名的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 性别 平均分 中位数 众数 方差 女生 8.76 a 9 1.06 男生 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：________，________，并把女生竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为女生和男生哪个的成绩更好，并说明理由； （3）若“”创新教育实践社团部九年级共有300人（男女人数相等）参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），；图见解析 （2）女生；理由见解析 （3）180人 【解析】 【分析】（1） 用（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，在B组中，可以确定a值，根据所占百分比最大的数据是众数，计算b；后完成统计图的补充即可． （2）根据方差，中位数判断即可． （3）用总人数乘以优秀率即可得到人数． 【小问1详解】 解：根据题意，得C组的人数为：（人）， 根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中， 故（分）； ∵男生竞赛成绩中A组所占的百分比最大， ∴众数A组中， 故（分），补充统计图如下： 女生竞赛成绩统计图如下： 【小问2详解】 解：女生的成绩更好． 理由：女生和男生的平均分相同，女生中位数大于男生中位数，女生方差小于男生方差，波动较小，所以女生成绩更好． 【小问3详解】 解：达到优秀成绩的男生人，女生人，共有30人，， 答：该社团部九年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有180人． 19. 如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当点E落在边上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得然后根据矩形的性质可进行求解； （2）由题意可知此时，然后问题可求解； （3）由题意可分和进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由题意得：， ∴； 【小问2详解】 解：当点E落在边上时，则有， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时在矩形的内部， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为． 20. 某光伏电站研发团队在光照强度恒定的实验条件下，监测电池板的累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间的关系．实验开始时，电量计量仪已有初始读数3，此后在恒定功率下发电．测得数据如下表： 发电时间 0 10 20 30 40 50 累计发电量 3 6 9 12 15 18 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．根据实验条件，累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式； （3）小明在查看实验记录时发现一组数据，当发电时间为时，累计发电量为，请判断该记录是否合理？并说明理由． 【答案】（1）图见解析，一次 （2） （3）不合理，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，在坐标系中描点，再根据这些点在一条直线上即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时，累计发电量为，由此即可判断小明在实验时记录不合理． 【小问1详解】 解：描点如下： 由图象可知，这些点在一条直线上，故二者可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为． 将点代入， 得， 解得． ∴关于的函数表达式为． 【小问3详解】 解：不合理，理由如下： 依题意，当时，， ∴小明记录不合理． 21. 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 操作证明： （1）如图①，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）如图②，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点，交对角线于点，点的对应点落在对角线上．如图③，此时，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由折叠可得，，，从而可证明，因此； （2）①由勾股定理可得，，由折叠可得垂直平分，则，容易证明，则，计算得，因此； ②由折叠可得，，垂直平分，则，结合可得，则，，因此． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②由折叠的性质可得，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为（），点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围； ③若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）①6，②或，③或或． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解函数解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）①当时，可得点的坐标为，，再结合平行四边形的性质求解三角形的面积即可；②点的坐标为，，解得：，在直线上运动，再分情况讨论，当时，则，如图，当时，重合，不符合题意；当时，如图，当时， 此时不符合题意，舍去，当时，此时为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意，当时，如图，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意，当时，如图，此时不符合题意，舍去，③分情况讨论：如图，当时，显然，，符合题意，当时，此时，不符合题意，当时，此时，，不符合题意；当时，此时，不符合题意，当时，重合，不符合题意；当，此时，符合题意，结合当时，可得当时，不符合题意，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）经过点． ∴， 解得：， ∴抛物线为， 而， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 ①当时， ∴点的坐标为， 当时， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴； ②∵点的坐标为， ∴，解得：， ∴在直线上运动， ∵， ∴， 当时，则，如图， ∴此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意， 当时，重合，不符合题意； 当时，如图， 此时，， 不符合题意，舍去， 当时， ∴，如图， 此时不符合题意，舍去， 当时， ∴，，如图， 此时为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图， 抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图， 此时不符合题意，舍去， 综上：或， ③∵， ∴， 设中边上的高为，中边上的高为， 如图，当时，则， 显然，则，符合题意， 当时， ∴，，如图， 此时，则，不符合题意， 当时， ∴，如图， 此时，则，不符合题意； 当时， ∴，，如图， 此时，则，不符合题意， 当时，重合，不符合题意； 当， ∴，如图， 此时，则，符合题意， 但是当时，，，在同一直线上， 解得：， ∴当时，不符合题意， 当时， ∴，如图， 此时，则，不符合题意， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，平行四边形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $