精品解析：山西忻州一中2027届高三方向卷（一）

忻州一中2027届高三方向卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因，，， 则， 代入可得即．解得． 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 5. 一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据水升高部分的体积就是球的体积可得结果. 【详解】金属球的体积为． 圆柱形水杯的底面积为． 水面上升高度为． 6. 某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（ ） A. 2160 B. 3240 C. 4320 D. 5040 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 7. 某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可. 【详解】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 8. 已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知， 方程等价于． 所以或． 要使方程在内恰有两个不同实数根，需要，，且． 由，得．结合，得． 又两个根不同，所以．因此． 9. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 10. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 对任意恒成立 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实数根 D. 当时，单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的导数求出函数的极小值即可判断AB，方程可化为，构造函数，利用导数分析函数的单调性、极小值，即变化趋势可判断C，设，利用导数判断函数单调性及可判断D. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，． 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以，故AB正确． 方程即,令, 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， ,，所以方程有两个实根．故C错误． 设，则． 令，则，且， 所以当时，，从而，故在上单调递增，D正确． 11. 在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则或 D. 存在直线，使得 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由题意可将，到直线的距离分别表示出来，从而得到弦长，，再逐一分析四个选项即可. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式及多项式乘法，分别计算含的项，再合并同类项即可求解. 【详解】因为， 所以中的系数为． 13. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为．解得， 又图象关于直线对称，则有． 解得． 因，则得或． 又由，． 14. 设数列的前项和为，满足．若数列中存在连续三项成等比数列，则实数的取值集合为____． 【答案】 【解析】 【详解】由得， 当时，． 当时，，也满足． 因此是公差为2的等差数列．若存在连续三项成等比数列， 设这三项为，，． 则应满足，矛盾． 故不存在这样的实数，取值集合为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生每周自主运动时间与体能测试成绩提升值的关系，随机抽取6名学生，得到如下数据： （小时） 1 2 3 4 5 6 （分） 2 3 5 6 8 9 已知经验回归方程为，其中，． （1）求经验回归方程； （2）若将“体能测试成绩提升值不低于10分”记为训练效果明显，按该模型估计每周自主运动时间至少应为多少整数小时？ 【答案】（1） （2）7小时 【解析】 【小问1详解】 由数据得，． 于是 又，，，，，， ，，，，，， 所以 因此． 又． 故经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意，需要． 即． 解得． 因为，所以每周自主运动时间至少应为7小时． 16. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）求的面积； （3）若点在边上，且平分，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）又平分，可知，求出，代入后即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． 【小问2详解】 由，得． 所以． 【小问3详解】 因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点为棱的中点，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，根据向量共面定理证明线面平行； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先求平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，，所以． 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为， 则，得，令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为，则． 18. 已知椭圆．点在椭圆上，且，．过点作轴的垂线，垂足为．点在轴上，满足，其中为坐标原点，且与位于点的同侧．连接，设直线与椭圆的另一个交点为． （1）用表示点的坐标； （2）求直线的方程； （3）求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）先写出点坐标，再根据即可求出； （2）写出直线的斜率为，再根据点斜式即可求出； （3）先令，再将直线参数化得到，，进而得到，最后化简求导求导判断单调性即可. 【小问1详解】 点为点到轴的垂足，所以． 又，且与位于点的同侧，，因此． 【小问2详解】 直线过与．由于，其斜率为． 故直线的方程为． 【小问3详解】 由点在椭圆上，得． 令． 由，，得． 将直线参数化．因为，，故直线上的点可表示为， 即，． 当时，对应点．代入椭圆方程，并利用， 可得关于的方程． 因此另一个交点对应的参数为． 于是． 又． 所以． 记． 则． 故在上单调递增． 当时，． 所以． 19. 已知函数．对于实数，定义． （1）求，并证明在上单调递增； （2）若存在实数，使得，求实数的取值范围； （3）设，证明：存在唯一实数，使得．并判断随的变化趋势． 【答案】（1），证明如下： 因为，且在上单调递增，所以在上单调递增． （2） （3）对，有． 若，则，即． 由于，所以，从而． 右边为正数，因此存在唯一实数； 随的变化趋势为随的增大而减小． 【解析】 【详解】（1）由，得，． 所以，化简得． 证明略． （2）由及，可得． 当时，；当时，．因此的值域为． 所以实数的取值范围为． （3）证明略．下面判断随的变化趋势． 由，得．分母显然为正． 设，则，． 所以当时，，从而．因此随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2027届高三方向卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号. 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内. 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（ ） A. 2160 B. 3240 C. 4320 D. 5040 7. 某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 已知函数．若关于的方程在区间内恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 若原样本中位数为，则新样本中位数为 10. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 对任意恒成立 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实数根 D. 当时，单调递增 11. 在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则或 D. 存在直线，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____． 13. 已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 14. 设数列的前项和为，满足．若数列中存在连续三项成等比数列，则实数的取值集合为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生每周自主运动时间与体能测试成绩提升值的关系，随机抽取6名学生，得到如下数据： （小时） 1 2 3 4 5 6 （分） 2 3 5 6 8 9 已知经验回归方程为，其中，． （1）求经验回归方程； （2）若将“体能测试成绩提升值不低于10分”记为训练效果明显，按该模型估计每周自主运动时间至少应为多少整数小时？ 16. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）求的面积； （3）若点在边上，且平分，求的长． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点为棱的中点，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成二面角的余弦值． 18. 已知椭圆．点在椭圆上，且，．过点作轴的垂线，垂足为．点在轴上，满足，其中为坐标原点，且与位于点的同侧．连接，设直线与椭圆的另一个交点为． （1）用表示点的坐标； （2）求直线的方程； （3）求线段长度的最大值． 19. 已知函数．对于实数，定义． （1）求，并证明在上单调递增； （2）若存在实数，使得，求实数的取值范围； （3）设，证明：存在唯一实数，使得．并判断随的变化趋势． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $