Hello, 各位同学，我是高中数学汤圆老师。这节课我们要讲的是切线应用当中数形结合这样一类题型。其实数形结合这样一类题型，它最重要的其实是去解决很多有关于这个函数，包括不等式恒成立的问题。那么这类题型有一个非常明显的特征，它的特征就是指最终这个恒成立的不等式，它一定可以转换成FX大于等于AX加B也就是说左边我们可以把它看成一个什么函数，右边可以把它分离出来，变成一个关于X的一次表达式。那么大家请想一个问题，如果说在这里为了要去解决这样一个不等式恒成立的问题，那么我们使用数形结合的思想，左边这个FX的图像是不是就一定是在右边这个一次函数图像的上方，对不对？在这里再跟大家说一个点，通常来说这个参数一般来说就是这个X前面的系数，也就是说这个A通常来说就是参数。为什么说会出现这样一种情况呢？我们画一个图跟大家去解释一下，比方说在这里我们画一个曲线，我们任意画一个曲线，那现在这个曲线所代表的就是FX的图像。那么现在对于这个一次函数来说，它你通过研究是可以发现它一定是经过某一个定点。比方说它假设经过P点这个定点，那现在我们只需要去过P点做这样一条直线。我们只需要保证FX的图像永远都在一次函数图像上方就可以了。但是我们要找的是什么呢？我们要找的是临界部分。大家请看，如果说我这条直线这样去画，那肯定是不行的，为什么呢？因为对于这一部分图像来说，很明显我这个FX的图像是在一次函数图像的下方。不满足我们这个题目意思条件，那它的临界情况其实最终就是相切的情况。好，大家请看就是这样一种情况。那么如果说相切的时候，那此时是不是我这个FX的图像除了这个切点之外，剩下所有的图像是不是都在我们这个一次函数的图像上方？但是这个缺点也是满足的，为什么？因为在这里大家请看中间是等号，对不对？它带了一个等号，说明什么？可以有FX，它的函数值和这个一次函数的函数值相等的这样一种情况。如果说不带等号的话，那么我们这个切线仍然是处于临界情况。但是这种情况它就不可取。现在我们最终为了要保证FX大于等于AX加B的话，那么现在是不是只需要我们这个直线在过P点的同时，只需要使得它的斜率与切线的斜率小，是不是就可以了。当然相等的时候是不是也行，所以请记好像这一类恒成立的问题，我们利用数形结合的思想可以快速的把这个参数的取值范围给它求解出来。首先我们先来看这样一个问题，对于任意的X属于尔阵，那么不等式ln x小于等于AX恒成立，则实数A的取值范围是多少？如果说用常规方法做我们怎么办？我们就是要把AX移到左边去。那么移到左边去之后，接下来我们要求的就是ln x减AX在这个零到正无穷上的最大值，只需要使得最大值小于等于0就可以了。但是这样一个求解过程相对来说比较麻烦。如果我们画图的话，这道题可以很好的去解决。大家请看我们先把这个ln x的图像先画出来，它经过10这个点，大家再想想一个问题，AX这个一次的函数图像一定是经过原点的，对不对？那现在我要保证左边的这个函数图像比右边这个函数图像要小，那不就说明在右边这个函数图像的下方。好，那现在我们随便画一条，这种情况肯定是可以的，对不对？但是大家再请看这样一种情况是不是就不行了，对不对？为什么？因为它出现了ln x图像在一次函数图像上方的这样一种情况。所以在这里我们需要去找出临界情况，临界情况其实就是相切的情况。好，各位同学请看，那么相切的时候，此时除了这个切点之外，剩下所有的图像都在一次函数图像的下方。但是这个切点也是满足题目一次条件的，因为毕这是小于等于，所以现在我们的目标就是需要把这种相切情况下它的这样一个斜率的值给它算出来就可以了。好，那怎么去计算呢？根据我们前面所说的当切点未知的时候，我们就需要去假设这个切点。在这里我们不妨假设P点的坐标为X0Y0，我们通过两种方式去计算斜率。首先第一种方式就是利用斜率的定义，那么K是不是等于Y0减0比上X0减0？所以说斜率K就等于Y0比上X零好，这是第一个。第二个就是我们可以通过求导的方式，那么在这里ln x的导数就是X分之一对吧？那它求完导之后就是X分之一。我们现在只需要把X0代入，那斜率K是不是也等于X0分之1？包括Y0也等于ln x0。因为毕竟对于这个切点来说，它是在我们这个曲线上的那这样三个方程，三个未知数是可以把X0Y0K给它求解出来。首先大家请看我们第一个式子，第二个式子相互联立，我们是不是可以得到X0分之Y0等于X0分之1，所以我们得到Y0等于一。那么Y0等于一之后，X0它就等于E因为代入到第三个式子可以计算出来。最后我们再把X0等于E代入到第二个式子，所以最终斜率K就等于1分之1。也就是说对于这条直线的斜率来说，它是1分之1。现在大家请看对于这个参数A来说，它的几何意义就是这条直线的什么斜率。那现在我只要保证这条直线的斜率比1分之1要大不就可以了吗？所以最终A的范围应该是A大于等于1分之1。为什么能取得等号？因为相切的时候也是满足我们这个题目意思条件的，所以最终这道题的答案选择B选项。好，这是我们所说的例一这个问题。我们接下来再来看例2，那么它说已知函数FX等于cosine 2分之派加XX小于等于0，以及E的X次方减1X大于0。现在若FX大于等于AX减一恒成立，那么FX既然比AX减一要大，说明FX的图像它就应该在AX减一的上方。现在我们不妨把这个FX表达式先化简一下，在这里cosine 2分之派加X我们可以通过诱导公式把它变成负的sine x其中X小于等于0，在X大于零的时候，是E的X4次方减一好，那现在我们把这个函数图像给它画出来，这是一个分段函数。首先大家请看，在X大于零的时候，E的X次方减一肯定是单调递增的，而且是经过原点的，对不对？好，这个是我们的第一段函数图像。那么第二段函数图像是负的sine x既然是负的sine x的话，好，那不就相当于是把正的这个sine x给它干嘛？关于X轴做一个对称，是不是？好，那现在我们画一个周期的就可以了。好，这样这个函数图像就画好了。那么画好之后，我们再来看右边这个一次函数。这个一次函数大家请看AX减1，他一定经过一个定点，这个定点就是负一这个点，也就是说在这里，现在我们开始来画图，大家请看，首先我们先画这样一条图像，画一条平行于X轴的图像，这个是满足题目意思条件的。为什么？因为在这条直线平行于X轴的时候，此时FX所有图像都在这个直线的上方，对不对？然后我们再接着来画，如果说经过这个零负一这个定点的时候，我画这样一条直线可不可以？仍然也是可以的，对不对？但是我们要找出最终的临界状态，这个临界状态那不就是与什么与FX相切的时候，对不对？大家请看在这种相切的状态下，我这个FX图像永远都在我们这个什么一次函数图像的上方，那么这种相切的状态也是满足题目意思条件的，为什么？因为毕竟在这里它是大于等于号，所以现在我们的目标是什么呢？求出这个相切状态下这条直线的斜率就可以了。好，同样的仍然是这个切点不知道，那么我们就假设切点，我们不妨设这个切点叫做P点，P点的坐标是X0Y0。我们根据两个状态下去求解出这个斜率，那么两种方式。第一种方式就是这个斜率的定义式，所以最终它可以写成Y0加1，底下再除以X0减0，这是第一种情况。第二个就是什么呢？我们对E的X次方减一去求导。大家请看F1撇X我们在对E的X4次方求导之后，仍然是E的X4次方，所以斜率K它等于E的X0次方。好，最后一种情况最后是什么呢？最后就是X0，Y0肯定得在这个曲线上，对不对？所以你这里的Y0它必然就等于E的X0次方，再减去一个一三个方程，三个未知数。那最终我们就可以把这里的X0Y0K给它求解出来。首先在这里我们把这个Y零给它代入到第一个式子。那么我们可以得到斜率K等于E的X0次方底下再除以这个X0。好，这是第一个。第二个就是第一个式子和第二个式子联立，这个东西是不是也等于E的X0次方，我们可以算出X0等于一。X0在等于一之后，那对于这里的斜率K它不就有了吗？我们带入到第二个式子，是不是可以得到斜率K等于E所以现在我相信各位同学应该能明白了。最终大家请看，我们满足这个不等式恒成立的所有的直线只能是在什么？在这两者之间只能是在这两者之间。因为这是两种临界状态，你这条直线肯定不可能单调递减。因为一旦单调递减的话，那是不满足题目意思条件的。因为它必然会出现什么？FX在这条直线下方的图像它是不行的，所以最终斜率的范围应该是多少呢？这个斜率是K等于0，这个斜率是K等于E所以最终对于A来说，A就是斜率，A的范围就应该在0到1这样一个范围上，但是是B区间，两者都是可以取到的，所以这道题答案选择D选项。好，各位同学听明白了吗？如果说你要用常规方法去做，那肯定非常复杂。好，我们再来看下边例三这个问题，已知函数FX等于好，仍然是一个分段函数。那我先甭管其他的，我先把这个FX图像先给大家画出来。大家请看X小于等于0的时候是一个二次函数。这个二次函数是有讲究的，它是一个开口向下的二次函数，而且我们对它去进行因式分解的话，大家请看我提一个负X出来，它是不是变成了负X乘上X减2。也就是说与X轴的两个交点，一个是00，一个是什么？20开口向下对不对？好，那么我们来画一下，但是我们只需要什么？我们只需要这个X小于等于零的图像。所以大家请看在X小于等于0的时候，此时对于这个二次函数来说，它肯定是单调递增的。好，那在这里怎么办呢？来我们把多余的部分给它擦掉就可以了。好，现在我们一起来画一下X小于等于0的时候，好，图像就是这个样子。那么我们再来看X大于零的时候，X大于零的时候是ln x单调递增大概是这样一种情况，并且这里是10，但是这个问题还没有解决，为什么说还没有解决呢？因为他现在是什么？现在是FX的绝对值大于等于AX减1。那么你既然在整个表达式上加上一个绝对值，它对应到的就是函数的，这个叫做什么？翻折变换。我们需要把下边的图像翻折上去，所以现在FX绝对值的图像就应该是这个样子。好，这是第一个，这是第二个。那么我们把多余的部分给大家擦掉，这些部分就是多余的，不需要了。好，各位同学能看明白吧？那么到这里之后，我们把FX绝对值的图像画出来之后，接下来我们要干嘛？我们现在是不是就看右边这条直线，AX减1，它是经过零负一这个定点。既然经过零负一这个定点的话，首先大家请看，如果说我画一条单调递增的这样一条直线肯定是不行的。为什么说不行呢？因为它一定会出现什么？出现这条直线的图像在我们这个FX图像上方的这样一种情况，那是不行的。因为我们必须要保证左边的图像在右边图像上方才可以，所以这个A大于零肯定不行。那么A等于零可不可以呢？我们再来看一下，如果说A等于零的话，这个是完全可以的。那么A小于零可不可以呢？好，我们再来画一下，A小于零也可以，但是它有一个临界状态，我们需要把这个临界状态给找出来。这个临界状态其实说白了还是什么？还是相切的这样一种情况。好，各位同学请看是不是就是这样一种情况。相切状态下，除了这个切点，剩下所有的这个FX上面的点，是不是都在我们这个一次函数图像的上方，它是满足题目意思条件的，对不对？但是这个缺点也是满足的，因为毕竟这里的不等号带什么？带这个等号对不对？那么在这里我们只需要把临界状态下这个斜率给它算出来就OK了。那怎么算呢？同样的还是设切点，只不过在这里你们要注意一个问题。因为我们左边是FX绝对值，所以对于X小于零这个部分的图像来说，它其实应该要添个负号。那么它的表达式应该是X平方减去2X好，那接下来我们开始去进行研究，我们假设P点的坐标是X0Y0，那么我们仍然是通过两种方式去求斜率。首先第一种方式就利用什么斜率的定义式，这条直线经过零负一这个定点，所以它就是K等于Y0加1，底下再除以X0减0。好，这是第一个。第二个，我们需要通过导数的方式去求斜率，那么我们对X平方减2X求导，求完导之后的结果就是2X减2，所以K也就等于2倍的X0再减去一个2。最后一个是什么呢？我们这个点它一定是在这个曲线上的，所以我们可以得到Y0等于X0的平方，再减去二倍的X63个方程，三个未知数，我们最终一定是可以把斜率计算出来的。那么在这里我们首先把第三个式子代入到第一个式子当中，我们可以得到X0的平方减去二倍的X0，再加一，底下再除以X0。那么这个东西等于谁呢？是不是等于第二个式子2倍X0再减去一个2？好，把X零给它乘过去，那现在我们得到的就是X0平方减去二倍的X0，加上一个一等于2倍X0的平方，再减去二倍的X0。所以最后就是X0的平方等于几？等于一对不对？X0的平方等于一的话，这里X0有2个值，一个是正一，一个是负一。但是你要明白，我这里的切点肯定是在小于零的部分，所以你这里的X0只能是负一。那X零是负一的话，那斜率K就是-2，再减二等于-4。那么我们两种状态，这种状态是斜率K等于-4，这种状态是斜率K等于0。所以最终对于斜率来说，它的范围应该是在-4到0，所以A的范围就是A属于-4到0B区间就可以了。好，所以大家请看我们讲了三个题目，大家有没有觉得套路都是一样的，对不对？找出什么临界状态就好了。我们最后再来看一个问题，已知函数FX等于，首先第一段是根号X第二段是负X平方加上4X好，首先我们还是先把FX图像给大家画出来。在这里再跟大家强调一点，图像要画你就画准了，知道吗？虽然不要求大家画的有多好看，但是一定要画准。首先这是根号X的图像，那么底下负X平方加4X好，大家请看啊，负我提取一个负X出来，是不是变成负X乘上X减4，对不对？那么它与这个X轴交于0和40两个点。好，又是开口向下的这样一个什么图像。那么我们明显会发现在X小于零的时候，这个二次函数单调递增。好，所以在这里我们就只需要X小于等于零的图像就可以了。那么它大概是这样一种情况。好，各位同学没问题吧。但是大家请看，对于这个FX的绝对值来说，我们是不是需要把什么下边的图像翻折上去，对不对？所以现在我们把X小于等于零的图像翻折上去之后，是不是变成这样一种情况？那么变成这样一种情况之后，你看左边的图像就搞定了，我们只需要右边的这个AX减一它的图像就可以了。那对于AX减一来说，仍然它经过零负一这个定点，对吧？那么经过零负一这个定点之后，现在大家请看，如果说你这条直线是一个单调递增的直线，可不可以？肯定是不可以的，为什么？因为它必然会出现我们这个一次函数图像在这个什么FX绝对值图像上方这样一种情况，不符合题意。好，这个不行。那么我们再来看，如果说它是经过零负一并且平行于X轴的直线，可不可以？斜率为零的时候，这是可以的。那么现在大家再请看，如果说它是单调递减的直线可不可以？也行。但是我们要找出临界状态，临界状态仍然是什么？仍然是相切的时候，那么我们现在只需要把相切状态下这条直线的斜率给计算出来不就可以了，对不对？好，那现在你看切点是P我们仍然假设切点的坐标是X0Y0。首先第一种方式求斜率定义是Y0加1，底下再除以X0。好，这是第一种方式。第二种方式我们就听通过这个导数方式。对于这个负X平方加4X来说，这里要注意左边这个函数它的图像是加上绝对值的，所以它的表达式也发生了变化。它应该是X平方再减去一个4X才可以。好，那对它求导之后就是2X减4，所以现在斜率K就等于2倍的X0，再减去一个四。最后对于这个X0Y0来说，它是不是应该在这个什么曲线上，所以我们可以得到Y0等于X0的平方，再减去一个四倍的X0。好，同样的三个方程，三个未知数，现在我们把Y零代入到第一个式子，我们可以得到X0平方减去四倍的X0，再加上一个一，底下我们再除以这个X0，它应该等于2倍X0再减去一个四。好，现在把X0乘过去，我们可以得到X0平方减去四倍的X0，加上一个一等于2倍X0的平方减去四倍的X0。好，消掉之后我们可以得到X0平方等于一。因为你这里的X0肯定是小于零的数，所以X0只能等于负一。X0等于负一之后，斜率K就等于-2减4等于-6。所以这条直线的斜率是-6，这条直线的斜率是0。所以最终对于这个斜率的取值范围来说就是-6到0。那么A的取值范围A属于-6到0。好，结束，各位同学看明白了吗？所以我给大家选的都是同类型问题，那么大家只需要什么？掌握其中一个，剩下所有的几乎都可以解决。好，那么有关于本节课所有的内容到此就结束了。最后感谢各位同学的观看，我是高中数学陶源老师，后续持续给大家带来精品好课。