26.1.1 二次函数 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册
第26章 二次函数
【学习目标】
1.学生能够理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深学生对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学生学好数学的信心。
学习重点：理解掌握二次函数的概念和一般形式.
学习难点：能根据实际问题列二次函数关系式.
【复习导入】
2. 什么是一次函数？正比例函数？
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
【合作探究】
探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？
问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
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想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点?
y = - x2 + 20x y = 20x2 + 40x + 20
要点归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量)
①y=(x+3)²－x²； ②y=3－2x² ； ③y=x2+3x；
④
； ⑤y=x²+x³+25 ； ⑥y=ax2+bx+c；
温馨提示：
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式
(2) a，b，c 为常数，且a≠0；
(3)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
(4)等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
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1. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1
归纳总结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)之外，还有一些特殊形式，如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等.
例2 若函数
是二次函数，求m的值.
归纳：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m = -1的错误答案，需要引起同学们的重视.
链接中考
2. 已知 y = (m²－m)x² + mx－2 (m为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
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