26.1.1 二次函数 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念及实际问题列关系式，课堂导入通过复习函数、一次函数、一元二次方程概念，搭建新旧知识桥梁，以学习支架引导学生从已知平稳过渡到新知学习。 其亮点在于以矩形面积、球队比赛等实际情境引导抽象，培养数学眼光，通过问题探究归纳定义发展数学思维，典例练习强化模型意识提升数学语言表达。帮助学生提升抽象与应用能力，为教师提供结构化教学流程和实例支持。

26.1.1 二次函数 第二十六章 二次函数 人教版九年级（上） 1 新课导入 1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 3. 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 就叫做正比例函数. 2. 什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 探究 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m²) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 - x)，即 y = - x2 + 20x ① 知识点1： 二次函数的相关概念 探究新知 问题1 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 每支球队 n 要与其他 (n − 1) 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 即 m = ② 同理， m 是 n 的函数吗？ ②式表示比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，其中 m和 n 都是变量，而且对于 n 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与其对应，即 m 是 n 的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？ 这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 20(1 + x) t，再经过一年后的产量是 20(1 + x)(1 + x) t，即两年后的产量 y =20(1 + x)2， 即y = 20x2 + 40x + 20. ③ 同理， y 是 x 的函数吗？ ③式表示了两年后的产量 y 与每年的计划增产倍数 x 之间的关系，其中 x 和 y 都是变量，而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 想一想 想一想：上述问题中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y = 20x2 + 40x + 20 y = - x2 + 20x 二次项系数 自变量 归纳总结 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫作二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 + 3x； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. 典例精析 y = 6x + 9 1. 下列函数中，是二次函数的是( ) A. y = 8x2 + 1 B. y = 8x + 1 D. A 练一练 例2 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和， 所以 S = 2πr² + 2πr·r，即 S = 4πr² 知识点2： 根据实际问题列二次函数关系式 (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式. (2) 一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件，所以 y = 8(1－x)2即 y = 8x2－16x＋8. 练一练 1. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式. ∴ y＝[6＋2(x－1)][95−5(x－1)]. 解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了 2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件． 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). 当堂小结 二次函数 定 义 y = ax² + bx + c(a≠0) 一般形式 形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________ 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数) a≠0 二次项系数 一次项系数 常数项 当堂练习 1. 下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C 2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax² + bx + c 的形式， 二次项为_____，一次项系数为_____，常数项 为 . -3x2 -16 12 3. 已知二次函数 . (1) 求 k 的值； (2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式 y = x² + 2x - 1，得 y = (0.5)² + 2×0.5 - 1 = 0.25. (2) 由 (1) 得，y = x² + 2x - 1. 解： (1) 由题意，得 4. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. (1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时，求矩形的面积. 解：(1) y＝(8 − x)x＝−x2＋8x (0＜x＜8). (2) 当 x＝3 时，y＝−32＋8×3＝15 (cm2) . ∴ 矩形的面积是 15 cm2. $