26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，课堂导入通过复习y=ax²+k与y=ax²的平移关系，搭建新旧知识联系，引导学生自然过渡到新内容，形成学习支架。 资料以探究式学习为主，通过列表描点画图培养几何直观，归纳性质发展推理意识，总结平移规律建立模型观念，典例和当堂反馈强化应用，帮助学生用数学眼光观察、思维分析、语言表达，提升学习效率与核心素养。

第26章 二次函数 26.2.2 二次函数 y = a(x－h)2的图象和性质 第2课时 二次函数 y = a(x－h)2 的图象和性质 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数y = a(x－h)2的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等. 2.理解抛物线y = a(x－h)2与y = ax2之间的位置关系，掌握二次函数y = a(x－h)2的图象 的平移规律. 3.在探索二次函数y = a(x－h)2的图象和性质的过程中，会用数形结合的思想与方法解决 问题. 学习重点：会画二次函数y=a(x－h)2的图象. 学习难点：掌握二次函数y=a(x－h)2的性质并会应用其解决问题. 【复习导入】 1.二次函数 y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？ 2.函数的图象，能否也可以由函数平移得到？ 【合作探究】 探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 与抛物线有什么关系？ 列表如下： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … … x … －2 －1 0 1 2 3 4 … … … 描点、连线，如图所示： 想一想 通过上述例子，得出函数y=a(x－h)2的图象特征和性质是什么？ 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 做一做： 根据图象回答下列问题: (1) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (2) 函数的增减性： 想一想：函数 y=a(x－h)2 (a＜0) 的性质是什么？ 典例精析 例1 画出二次函数 y = 2(x + 1)2，y = 2(x－1)2 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 解：列表如下： x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y = 2(x + 1)2 … … y = 2(x－1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，都为_______； (6) 两个函数增减性的共性 ： 想一想：函数 y=a(x－h)2 (a＞0) 的性质是什么？ 归纳总结 y=a(x－h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称性 顶点 最值 增减性 典例精析 例2 已知二次函数y＝(x-1)2 （1） 画出图象，并写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大． （3）若3≤x≤5，求y的取值范围； 想一想：若-1≤x≤5，y的取值范围是什么？； （4）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小． 变式：若点A(m，y1)，B(m+1，y2)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y1，y2的大小，并说明理由． 探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的图象的关系 想一想1 抛物线 y = 2(x + 1)2，y = 2(x－1)2 与抛物线 y = 2x2 有什么样的关系？ 想一想2 抛物线，与抛物线有什么关系？ 要点归纳：二次函数y=a(x－h)2与y=ax2的图象的关系(a≠0) 可以看作互相平移得到( h > 0 )： y=ax2向右平移 h 个单位得到y=a(x－h)2； y=ax2向左平移 h 个单位得到y=a(x+h)2. 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 链接中考 1.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A． 向上平移1个单位 　 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　 D．向右平移1个单位 当堂反馈 1.下列抛物线中，顶点坐标是(－2，0)的是(　　) A.y＝x2＋2 B.y＝x2－2 C.y＝(x＋2)2 D.y＝(x－2)2 2.抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度得到的抛物线的解析式为(　　) A.y＝2x2＋3 B.y＝2x2－3 C.y＝2(x＋3)2 D.y＝2(x－3)2 3.抛物线y＝－(x－3)2的开口向　　，y的最大值是　　，对称轴是直线　　. 当x　　时，y随x的增大而增大；当x　　时，y随x的增大而减小. 4.已知二次函数y＝(x－1)2，当点(－1，y1)，(0，y2)，(，y3)在函数图象上时，则y1，y2，y3的大小关系是　 　(用“＞”连接). 5.已知二次函数y＝－2(x＋b)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小. (1)b＝　　； (2)若点P(1，m)在该二次函数的图象上，求点P的坐标. 参考答案 【复习导入】 1.答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到. 2.形状开口均相同，应该也能. 【合作探究】 探究 解：列表如下： 描点、连线，如图所示： 想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 (a＜0)的图象特征和性质是什么？ 做一做 根据图象回答下列问题: (1) 高 大 0 (2) 例1 解：列表如下： 想一想 (1) 抛物线； (2) 向上； (3) x = -1，x = 1； (4) (−1，0)，(1，0)； (5) 低 小 y = 0 ； (6) 对称轴左侧，y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧，y 随 x 增大而增大 归纳总结 例1 解：（1） 对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0). （2）当x＞1时，y随x的增大而增大. （3）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8. 想一想 ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∴当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤ 8. （4）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2. 变式 ∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2. 想一想1： 形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同. y = 2x2 向右平移1 个单位y = 2(x－1)2 y = 2x2 向左平移1 个单位y = 2(x + 1)2 想一想2： 向右平移1 个单位y = 2(x－1)2 链接中考1.C 当堂反馈 1.C　 2.C　 3.　下　，　0　，x＝3　.　＜3　，　＞3. 4.　y1＞y2＞y3. 5.(1)　3　； (2)解：由(1)可得y＝－2(x＋3)2， ∵点P(1，m)在该函数的图象上， ∴m＝－2(1＋3)2＝－32. ∴点P的坐标为(1，－32). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $