25.3实际问题与一元二次方程（第2课时 病毒传染、平均下降率问题）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与一元二次方程”第2课时，核心内容为病毒传播、平均下降率问题的建模与应用。课堂导入通过温故知新复习列方程解应用题步骤，创设流感传播、成本下降等实际情境，搭建从旧知到新知的学习支架。 导学案以“情境观察—动态分析—模型归纳—变式应用”为主线，突出模型意识与推理能力培养。通过自主探究与合作讨论结合，典型例题与拓展习题联动，规范解题步骤，强化实际问题中方程根的检验，助力学生掌握动态变化问题建模方法，提升数学应用意识与严谨思维。

25.3实际问题与一元二次方程 （第2课时病毒传播、平均下降率问题）（导学案） （1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理方程根. （2）经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力. （3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心. 重点：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤. 难点：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？ 审题意→巧设元→找等量→列方程→解方程→验实际→写答案. 【学法指导】 新知自研：自研课本第21-22页的内容 【学法指导】自研课本P21-22页内容 （一）病毒传播问题 活动1：平均1个人传染了多少个人？ 问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 学生讨论交流，按通用步骤进行思考： （1）审题梳理：初始患病人数1人，经过两轮完整传染，总人数121人，求单人每轮传染人数； （2）规范设元：设每轮传染中平均一个人传染x个人； （3）分步分析数量变化第一轮传染：1个患者传染x人，第一轮后总患病人数：1+x；第二轮传染：(1+x)个患者，每人再传染x人，第二轮新增传染人数：x(1+x)；两轮结束后总患病人数：原有患者+两轮新增患者=(1+x)+x(1+x)=(1+x)； （4）建立方程：(1+x)=121； （5）求解验根：解得传染人数不能为负数，舍去负根； （6）规范作答，梳理完整解题步骤. 师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1人传播，两轮后总人数为(1+x)（x为单人每轮传染人数）. 追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？ (1+x)=(1+10)=1331 （二）平均下降率问题 活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题：两年前⽣产1t甲种⻝品的成本是10000元 , ⽣产1t⼄种⻝品的成本是12000元.随着⽣产技术的进步,现在 ⽣产1t甲种⻝品的成本是6000元,⽣产1t⼄种⻝品的成本是7200元.哪种⻝品成本的年平均下降率较⼤? 追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？ 甲乙两种食品成本年平均下降额分别是（10000-6000）÷2=2000（元），（12000-7200）÷2=2400（元）. 追问2：平均下降额与下降率有什么不同？ 平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值 追问3：怎样比较哪种⻝品成本的年平均下降率较⼤? 可以分别求出两种⻝品成本的年平均下降率，再进行比较. 师生探究建模 先求出甲种⻝品年平均下降率 （1）设元：设平均每年降价的百分率为x； （2）分步表示价格： 甲种⻝品一年后成本：10000(1-x)； 甲种⻝品二年后成本：10000(1-x)(1-x)=10000(1-x)； （3）等量关系：原成本×(1−下降率)²=二年成本； （4）列方程求解：10000(1-x)=6000； （5）解方程，得 （6）验根取舍：下降率小于1、大于0，舍去不符合范围的根，规范作答. 学生自主求解甲种⻝品年平均下降率：得 追问4：经过计算，你得出什么结论？ ⻝品年平均下降率相同 追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？ 年平均下降额大，平均下降率不一定大 师生共同总结模型归纳： 平均变化率通用模型： 连续两次增长：a(1+x)=b；连续两次下降：a(1-x)=b（a初始量，x变化率，b最终量）. （三） 传播问题、下降率变式提升 活动3：讨论交流有2人感染流感，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数. 突破初始人数不为1，总人数公式调整为2(1+x)=288，引导学生灵活变通模型，突破固定思维. 活动4：讨论交流某某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每年增长的百分率. 学生讨论交流增长率设元后，列式建立方程50(1+x)=98. 学生小组纠错、对比辨析，强化两类模型的区别与应用场景. 典型例题 【自研自探】 自研课本P21-22页内容 典型例题 例１.春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键．设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，据此列出方程求解即可. 【详解】解：设每人每轮传染的人数为x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每轮每人传染的人数为15人． 例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元．求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为． 例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为___________件； (2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，列式计算即可； （2）设每件商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：（件）； 故答案为：； （2）设每件商品降价元，由题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵让顾客更实惠， ∴应降价20元； 答：每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 第二环节 合作探究 1.讨论病毒传播问题模型问题模型. 2.讨论平均下降率问题、上升率问题模型. 拓展提升：1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%． （2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利元，每天可售出元， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ． 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：每千克应涨价5元． 课堂练习：课本P22随堂练习 1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨， 又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨， ∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860． 故选：C． 2．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． （2）设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125(1－x)2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品， 根据题意得：(125－25×2)y＋80(100－y)≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 1. 知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数(1+x)，初始多人可灵活套用a(1+x)=b；明确总人数为正整数，需合理验根.（2）平均下降（增长）率模型：熟记连续两次下降（增长）通用公式a(1x)=b，可应用于降价、减产、减排（涨价、增产、增排）等所有等量衰减（增加）问题.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程应用题审、设、列、解、验、答六步规范，能根据人数、百分率、数量的实际取值范围取舍方程根. 2. 思想方法：（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二次方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静态.（3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始1人与初始多人传播模型，归纳通用规律，构建系统化知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑. 3. 易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数；死记公式，不会变通初始人数不为1的题型；忽略人数为正整数，不舍去负根.（2）下降率问题误区：增长、下降公式混用，下降率误用(1+x)列式；忘记百分率取值范围（0＜x＜1），保留不合理根.（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；解题步骤残缺，无检验、无完整作答；计算平方项时出现运算错误. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程 （第2课时病毒传播、平均下降率问题）（导学案） （1）掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理方程根. （2）经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力. （3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心. 重点：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤. 难点：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第21-22页的内容 【学法指导】自研课本P21-22页内容 （一）病毒传播问题 活动1：平均1个人传染了多少个人？ 问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1人传播，两轮后总人数为(1+x)（x为单人每轮传染人数）. 追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？ （二）平均下降率问题 活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题：两年前⽣产1t甲种⻝品的成本是10000元 , ⽣产1t⼄种⻝品的成本是12000元.随着⽣产技术的进步,现在 ⽣产1t甲种⻝品的成本是6000元,⽣产1t⼄种⻝品的成本是7200元.哪种⻝品成本的年平均下降率较⼤? 追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少 追问2：平均下降额与下降率有什么不同？ 追问3：怎样比较哪种⻝品成本的年平均下降率较⼤? 师生探究建模 追问4：经过计算，你得出什么结论？ 追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？ 师生共同总结模型归纳： （三） 传播问题、下降率变式提升 活动3：讨论交流有2人感染流感，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数. 活动4：讨论交流某某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每年增长的百分率. 典型例题 【自研自探】 自研课本P21-22页内容 典型例题 例１.春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元．求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率． 例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为___________件； (2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 第二环节 合作探究 1.讨论病毒传播问题模型问题模型. 2.讨论平均下降率问题、上升率问题模型. 拓展提升：1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 课堂练习：课本P22随堂练习 1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　） A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860 C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860 2．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． （2）设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 1. 知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数 ，初始多人可灵活套用 ；明确总人数为 ，需 .（2）平均下降（增长）率模型：熟记连续 通用公式 ，可应用于 等所有等量衰减（增加）问题.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程应用题 六步规范，能根据人数、百分率、数量的实际取值范围 . 2. 思想方法：（1）动态建模思想：将生活中 问题，抽象为固定的一元二次方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静态.（3）对比归纳思想：对比 模型，归纳通用规律，构建系统化知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证 逻辑. 3. 易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆 ；死记公式，不会 题型；忽略人数为 ，不舍去 .（2）下降率问题误区： 混用，下降率误用 列式；忘记百分率取值范围 ，保留 .（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；解题 ，无检验、无 作答；计算 时出现运算错误. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $